2025高考数学专项讲义第05讲双曲线方程及其性质(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第05讲双曲线方程及其性质(学生版+解析)，共73页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，整体点评等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算
3.能熟练计算双曲线的离心率
4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用
5.会求双曲线中的相关最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练
知识讲解
双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程 焦点在轴上的标准方程

标准方程为： 标准方程为：
双曲线中，，的基本关系

双曲线的几何性质
离心率与渐近线夹角的关系
通径：
（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点一、双曲线的定义及其应用
1．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（ ）
A．5B．16C．21D．26
3．（2024高三·全国·专题练习）若动点Px,y满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ．
3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点二、双曲线的标准方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
2．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二下·甘肃武威·开学考试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)焦点轴上，且过点，.
1．（23-24高三上·河北张家口·开学考试）“”是“表示双曲线”的（ ）．
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点,求该双曲线的标准方程．
考点三、双曲线的几何性质
1．（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A．B．4C．D．
3．（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则 .
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（ ）.
A．B．C．D．
6．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ．
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点的等轴双曲线的方程为 .
2．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 .
4．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 ．
5．（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知，则双曲线与有相同的（ ）
A．焦点B．焦距C．离心率D．渐近线
考点四、双曲线的离心率
1．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
2．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 .
3．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
5．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
1．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·福建泉州·一模）O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为 ．
考点五、双曲线中的最值问题
1．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
2．（22-23高三下·江苏淮安·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
3．（22-23高二上·浙江湖州·期末）双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．4
1．（22-23高三下·福建泉州·阶段练习）双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与分别交于M，N两点，则的最小值为 .
2．（2022高三·全国·专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点六、双曲线的简单应用
1．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ．
1．（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．

3．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
一、单选题
1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高三上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是是双曲线上的一点，且，则双曲线的离心率是（ ）
A．7B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
6．（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
8．（2024·湖南岳阳·三模）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 .
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程：
(1)过点和点的椭圆；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点的双曲线．
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖南长沙·二模）已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（ ）
A．B．−23C．D．
5．（2024·河北·三模）已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲线的切线，与其渐近线交于A，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
7．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
8．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率 .
9．（2024·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 .
1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
6．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
9．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
10．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
11．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
12．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
13．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·全国·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
15．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第12题,5分
求双曲线的离心率
无
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分
求直线与双曲线的交点坐标
由递推关系证明等比数列
向量夹角的坐标表示
2023年新I卷，第16题,5分
利用定义解决双曲线中集点三角形问题
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2023年新Ⅱ卷，第21题,12分
根据a、b、c求双曲线的标准方程
直线的点斜式方程及辨析
双曲线中的定直线问题
2022年新I卷，第21题,12分
求双曲线标准方程
求双曲线中三角形(四边形)的面积问题
根据韦达定理求参数
2022年新Ⅱ卷，第21题,12分
根据双曲线的渐近线求标准方程
求双曲线中的弦长
由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
根据韦达定理求参数
2021年新I卷，第21题,12分
求双曲线的标准方程
双曲线中的轨迹方程
双曲线中的定值问题
2021年新Ⅱ卷，第13题,5分
根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
由双曲线的离心率求参数的取值范围
2020年新I卷，第9题,5分
判断方程是否表示双曲线
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分
判断方程是否表示双曲线
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
实轴
实轴长，实半轴长
虚轴
虚轴长，虚半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影响
越大，双曲线开口越阔
越小，双曲线开口越窄
第05讲 双曲线方程及其性质
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算
3.能熟练计算双曲线的离心率
4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用
5.会求双曲线中的相关最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练
知识讲解
双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程 焦点在轴上的标准方程

标准方程为： 标准方程为：
双曲线中，，的基本关系

双曲线的几何性质
离心率与渐近线夹角的关系
通径：
（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点一、双曲线的定义及其应用
1．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】，
当点在左支时，的最小值为，
当点在右支时，的最小值为，
因为，则点在双曲线的左支上，
由双曲线的定义，解得；
当，点在左支时，；在右支时，；推不出；
故为充分不必要条件，
故选：D.
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（ ）
A．5B．16C．21D．26
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：，即，
所以的周长.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）若动点Px,y满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以A−2,0与为焦点的双曲线，得到答案.
【详解】由题意得点Px,y到点A−2,0与点的距离之差的绝对值为3，且，
故动点P的轨迹方程是以A−2,0与为焦点的双曲线，
故，
所以，
所以双曲线的方程为.
故选：A.
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.
【详解】对于双曲线，则，
根据双曲线定义有，
又，，故．
故选：B

2．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ．
【答案】9
【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案.
【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有，
因为，解得，
由双曲线的定义：，
解得或，
由图可知，可知被舍去，
所以.
故答案为：.
3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.
【详解】因为，，所以，动点满足，
由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
设双曲线方程为，则有，，，
所以动点的轨迹方程为.
故选：D.
考点二、双曲线的标准方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程，列出不等式，结合不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】由方程表示双曲线，可得，
当时，可得，解得或；
当时，可得，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
2．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点，可求得双曲线方程.
【详解】由，得，所以焦点在y轴上，且．
设双曲线的方程为，所以解得，，
所以双曲线的方程为．
故选：D．
3．（22-23高二下·甘肃武威·开学考试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)焦点轴上，且过点，.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解；
(2)可设双曲线方程为，代入两个点的坐标即可求解．
【详解】（1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，
将代入，得．
又点在双曲线上，
有，由此得，不合题意，舍去．
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)，
∵a=4，故，
把点坐标代入，得，解得．
故所求双曲线方程为．
（2）设双曲线方程为，将已知点坐标代入，
得，解得．
∴所求方程为．
1．（23-24高三上·河北张家口·开学考试）“”是“表示双曲线”的（ ）．
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程表示双曲线以及充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】当，即或时，表示双曲线，
所以“”是“表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：B
2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以，
且双曲线C方程满足，
故，则C的方程为．
故选：D．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点,求该双曲线的标准方程．
【答案】
【分析】不知道焦点的位置,可设双曲线的一般式方程,这样可避开讨论,使问题轻松获解．
【详解】设所求双曲线的方程为
由所求双曲线经过点,得解得
故所求双曲线的为
考点三、双曲线的几何性质
1．（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.
【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误，
对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确，
对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误，
对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D错误，
故选：B.
2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解．
【详解】由双曲线的方程知两顶点，，
渐近线方程为，
由对称性，不妨求到直线的距离，．
故选：C．
3．（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，确定双曲线的焦点位置，再列式计算即得.
【详解】显然恒成立，则双曲线的焦点在x轴上，
于是，所以.
故答案为：1
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】椭圆的焦点为，
依题意可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为.
故选：D
5．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】易知，其焦点坐标为，
对于双曲线，可得，其焦点坐标为，
故，
此时，则其渐近线方程为.
故选：D
6．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ．
【答案】
【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解.
【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为，
故答案为：.
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点的等轴双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可.
【详解】因为双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，，
将点代入得，解得，
所以双曲线方程为，
故答案为：
2．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程.
【详解】由焦距为4可得，即，又，
所以，可得，即；
则的渐近线方程为.
故选：B
3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 .
【答案】
【分析】求出渐近线方程，对照得到方程，求出，从而求出焦距.
【详解】由题意得的渐近线方程为，
故，解得，
故，焦距为.
故答案为：
4．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】由条件列出关于的方程，解方程可得的值，由此可得结论.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
又为双曲线的一条渐近线，
所以，
设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点，
所以，又，
所以，
所以.
故答案为：.
5．（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知，则双曲线与有相同的（ ）
A．焦点B．焦距C．离心率D．渐近线
【答案】CD
【分析】由双曲线的几何性质逐一判断即可；
【详解】对于选项A、B：设，易知的左、右焦点坐标分别为和，
而的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和，
显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误；
对于选项C、D：和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确．
故选：CD.
考点四、双曲线的离心率
1．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
2．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 .
【答案】3
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义，
则.
故答案为：3
3．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
5．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
1．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由已知可得，进而可求离心率.
【详解】由题意可知，，则，设，则，
所以，故的离心率为.
故选：C.
2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程解得，再由离心率公式求解即可.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线为( )，
即,
所以渐近线的斜率为，
即，
解得，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】先由一条渐近线的倾斜角求出其斜率，从而可得的值，再结合可求出离心率的值.
【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
所以一条渐近线的斜率为，所以，
所以，得，
所以，得，得，
所以离心率，
故选：C
4．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则，根据双曲线的定义，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于，的关系，可得双曲线的离心率.
【详解】如图：设，则，
根据双曲线的定义，可得，，
因为，所以，
所以
由，
代入可得.
故选：B
【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法.
5．（2024·福建泉州·一模）O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，得到，根据双曲线定义得到，，设，列出方程，解得，这里取，则，由列出方程，求出，得到离心率.
【详解】由题意得为双曲线的一条渐近线，
设双曲线的右焦点为，连接，
因为，所以，
故，，
由双曲线定义得，即，故，
设，则，解得，
这里取，则，
，则，又，
故，
化简得，故.
故答案为：
考点五、双曲线中的最值问题
1．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】C
【分析】画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案.
【详解】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，
，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.
此时的最小值为：.
故选：C.
2．（22-23高三下·江苏淮安·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
【答案】B
【分析】设且，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求的范围，注意等号成立条件，进而可求目标式的最小值.
【详解】令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B
3．（22-23高二上·浙江湖州·期末）双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值.
【详解】由焦半径公式得，，则当时，.
故选：C.
1．（22-23高三下·福建泉州·阶段练习）双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与分别交于M，N两点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，，，，写出直线方程求得点纵坐标后，求出，然后利用导数求得最小值．
【详解】由题意，，设，，，，
直线方程为，令，得，
直线方程为，令，得，
，
设，则，
得，
时，，时，，
∴在上递减，在上递增，
时，，
所以．
故答案为：．
2．（2022高三·全国·专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，
则，，
，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
故选：B．
3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，结合斜率公式得到，设出直线和的方程，求出两点的坐标，得到MN的表达式，设，的外接圆的半径分别为，结合正弦定理以及基本不等式再进行求解即可．
【详解】易知，由双曲线的对称性，
不妨设Px,y在第一象限，此时，，
所以，
不妨设直线的方程为，，令，解得，
不妨设直线的方程为，令，解得，
所以，，
不妨设，的外接圆的半径分别为，
由正弦定理得，，
所以，当且仅当，时，等号成立，
所以．
故选：D．
考点六、双曲线的简单应用
1．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论．
【详解】设，，，由题意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，
所以.
故选：B.
2．（22-23高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点，
以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，
建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.
由题意可知，设，则，
设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，
所以，所以方程可化简为，
将和的坐标代入式可得，解得，
则笔筒最细处的直径为.
故选：C.
3．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ．
【答案】2
【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解．
【详解】如图，延长交延长线于点，
因为点是的角平分线上的一点，且，
所以点为的中点，所以，
又点为的中点，且，
所以．
故答案为：2．
1．（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解.
【详解】因为，所以，得，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则．
所以，解得或（舍去）．
所以．
故选：D．
2．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．

【答案】
【分析】由直线，其中，分别联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解
【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，
由直线，其中，

联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，
根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同,
3．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
【答案】ABD
【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.
B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C选项，由双曲线定义可判断.
D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，
选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知，，
若，则，
因为，
所以，
解得，即B正确；
选项C：，即C错误；
选项D，因为平分，由角分线定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正确.
故选：ABD.
一、单选题
1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合焦距定义与渐近线方程定义计算即可得.
【详解】由题意可得，解得（负值舍去），
则该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，进而求出即可求出离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由点在双曲线的一条渐近线上，得，解得，
所以的离心率.
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意求出的值，即可求得答案.
【详解】双曲线中，半焦距为，即，
又双曲线一个顶点坐标为，即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
4．（2024高三上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是是双曲线上的一点，且，则双曲线的离心率是（ ）
A．7B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由双曲线的离心率公式，即可得到结果．
【详解】设双曲线的半焦距为.
由题意，点在双曲线的右支上，.
由余弦定理得，
解得，即，得，
根据双曲线定义得，解得，
故双曲线的离心率.
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】求出双曲线的渐近线，根据右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率.
【详解】根据双曲线的几何性质可知，右焦点，
其到渐近线的距离为，
因为，所以.
故选：D．
6．（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据双曲线的定义得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理计算可得.
【详解】如图，由于，，且，，
设，则，故，
所以，即，则，，，，
在中由余弦定理.
故选：B
7．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线的性质得到离心率的表达式，再根据得到的范围 ，代入中即可求解.
【详解】由题意可得．
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：B．
二、填空题
8．（2024·湖南岳阳·三模）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】分焦点在轴或轴上两种情况，设出双曲线方程，依题意，得到方程组，解之即得离心率.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，方程组无解；
当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，解得，
则.
故答案为：.
9．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 .
【答案】
【分析】先由双曲线定义得的轨迹和的值，再求出即可求出的方程.
【详解】因为，
所以轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，
则，，可得，，
所以轨迹的方程为.
故答案为：.
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程：
(1)过点和点的椭圆；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点的双曲线．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得.
（2）根据给定条件，结合离心率设出双曲线方程，求出待定系数即得.
【详解】（1）依题意，设椭圆方程为，
则，解得，
所以所求椭圆的方程为.
（2）令双曲线实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为，依题意，，即，
而，则，设双曲线方程为，于是，解得，
所以所求双曲线方程为.
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，，可设，，，由双曲线的定义得到的等量关系求解即可.
【详解】因为，，
所以可设，，．
因为，所以．
在中，，，，
所以，则，又，
所以，故双曲线C的渐近线方程为．
故选：D.
2．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解.
【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4，
结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
易得，，由得，则动点P的轨迹方程为，
如图：
又，则，且
故的周长为:，
当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为．
故选：D
3．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，先求出右焦点为的坐标，将点代入直线方程，即可求出的值.
【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，.
设点坐标为，右焦点.
由得，解得：，
因为是双曲线得一条渐近性，所以，则，
将代入双曲线方程，得.
因为，点在第一象限内，所以，
点在直线上，所以，解得：.
故选：C
4．（2024·湖南长沙·二模）已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（ ）
A．B．−23C．D．
【答案】C
【分析】将所求的斜率之比用坐标表示，再设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，结合根与系数之间的关系进行坐标运算即可求解.
【详解】如图所示，设 ，由题意得，
所以 ，所以 ，
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
所以联立双曲线方程得: ，
消元得 ，
所以 ①，
因为 ，
所以
将①代入得 ，
因为过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点，
所以 比值为负数，所以，
当直线 斜率不存在时，容易验证
故选：C.
5．（2024·河北·三模）已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲线的切线，与其渐近线交于A，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】不妨设是双曲线在第一象限的一点，
不妨设，得，得，所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为，
又由，可得切线方程为，所以与x轴交点坐标为
不妨设是切线与渐近线在第一象限的交点，
是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是，
联立，解得，
联立，解得，
所以，
解得，所以，所以,
故选：C.
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合余弦定理列式计算即得.
【详解】设，则，，由双曲线定义得，
在中，由余弦定理得，
解得，因此，令双曲线的半焦距为c，
在中，由余弦定理得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
7．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，根据和点P在双曲线上，消去x得，由判别式大于0求解可得.
【详解】设，则，
由双曲线方程可得，则，
化简整理得关于的一元二次不等式：有解，
所以，即，
所以，解得（舍去）或.
故选：D
二、填空题
8．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率 .
【答案】/
【分析】根据，得到，利用直角三角形斜边中线性质以及，表示出和的各边，再依据，在两个三角形中分别用余弦定理，进而列出等量关系式并求解.
【详解】不妨取M为渐近线上一点，
因为，所以，
又为的中点，所以，
因为，设，则，
因为，所以，
在和中分别用余弦定理，
则，，
所以，所以，，
则为锐角，，即，
则，，，.
故答案为：.
9．（2024·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则
【答案】
【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
【详解】因为①，
则由余弦定理得，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故答案为：．
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】先由结合正弦定理和双曲线定义求出PF1和，接着由求出和，再结合勾股定理、和离心率公式即可计算得解.
【详解】因为，所以由正弦定理得即，
又，所以即，
故，由得，，
由题可得且，
所以，
所以即.
故答案为：
1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
5．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
6．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
8．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
9．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
10．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
11．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
12．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
13．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
14．（2021·全国·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
15．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得，，
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第12题,5分
求双曲线的离心率
无
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分
求直线与双曲线的交点坐标
由递推关系证明等比数列
向量夹角的坐标表示
2023年新I卷，第16题,5分
利用定义解决双曲线中集点三角形问题
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2023年新Ⅱ卷，第21题,12分
根据a、b、c求双曲线的标准方程
直线的点斜式方程及辨析
双曲线中的定直线问题
2022年新I卷，第21题,12分
求双曲线标准方程
求双曲线中三角形(四边形)的面积问题
根据韦达定理求参数
2022年新Ⅱ卷，第21题,12分
根据双曲线的渐近线求标准方程
求双曲线中的弦长
由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
根据韦达定理求参数
2021年新I卷，第21题,12分
求双曲线的标准方程
双曲线中的轨迹方程
双曲线中的定值问题
2021年新Ⅱ卷，第13题,5分
根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
由双曲线的离心率求参数的取值范围
2020年新I卷，第9题,5分
判断方程是否表示双曲线
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分
判断方程是否表示双曲线
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
实轴
实轴长，实半轴长
虚轴
虚轴长，虚半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影响
越大，双曲线开口越阔
越小，双曲线开口越窄