2025高考数学专项讲义第06讲函数与方程(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第06讲函数与方程(学生版+解析)，共55页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点及零点个数
1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0B．1C．D．
2．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·上海徐汇·一模）函数的零点是 ．
2．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（ ）
A．0B．C．D．
3．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二、求方程的根及根的个数
1．（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（22-23高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
考点三、求图象的交点及交点个数
1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
考点四、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（2022高三·全国·专题练习）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
考点五、根据零点、方程的根及图象交点求参数范围
1．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·重庆·期中）已知，若关于x的方程在上有解，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
2．（22-23高三上·河北张家口·期末）（多选）已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ．
一、单选题
1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝ax2＋2x＋1有且只有一个零点，则实数a的值为 （ ）
A．1B．0
C．0或1D．一切实数
3．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2024高三上·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（ ）
A．1B．2C．3D．0
二、填空题
9．（2024高三·全国·专题练习）函数在所有零点之和为
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数，若方程有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（ ）
A．B．C．D．0
6．（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2024·宁夏银川·二模）函数有两个零点,求a的范围
8．（2024·天津·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
10．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
1．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
2．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
6．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
7．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
10．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第7题,5分
求函数零点或方程根的个数
正弦函数图象的应用
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
函数奇偶性的定义与判断
函数奇偶性的应用
求余弦(型)函数的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第9题,6分
求函数零点或方程根的个数
求含sinx(型)函数的值域和最值
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求正弦(型)函数的最小正周期
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分
判断零点所在的区间
函数对称性的应用
函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
2023年新I卷，第15题,5分
根据函数零点的个数
求参数范围
余弦函数图象的应用
第06讲 函数与方程
（5类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点及零点个数
1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【分析】令，解出即可.
【详解】因为，
令，解得，
即函数的零点为1.
故选：B.
2．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的性质求解即可.
【详解】令，得，则；
故，，
所以在共有4个零点，
故选： C.
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；
对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，
故选:BCD．
1．（2023·上海徐汇·一模）函数的零点是 ．
【答案】/0.5
【分析】
利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为.
，令可得，解得或（舍），
故答案为：.
2．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化简函数，由零点意义求得或，再借助正余弦函数图象性质求解即得.
【详解】依题意，
，
由，得或或（不符合题意，舍去），
函数是偶函数，在上的所有零点关于数0对称，它们的和为0，
正弦函数的周期为，方程在的两根和为，
在上的两根和为，因此在上
的两根和构成首项为，末项为的等差数列，共有项，所有根的和为.
故选：B
3．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断.
【详解】对于A，由题，，
所以即，
所以，故，故A正确；
对于B，由得，
故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点，
如图，由图象性质可知，
又由A得，故，
所以，故B错；
对于C，由上即，以及得：
，故C对；
对于D，由AB得，，，
所以，故D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由和得即，二是数形结合明确零点的取值范围为且，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断.
考点二、求方程的根及根的个数
1．（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案.
【详解】，
当时，，则，
此时在上单调递减，
当时，，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
画出函数和的图象如下：
令得，
故，
令，则，且，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，由3个解，
综上，方程的实数根的个数为5.
故选：D
2．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】首先确定的图象关于对称，然后分和两种情况进行讨论，利用数形结合的方法，在同一直角坐标系中画出、 ，通过判断两函数在上的交点个数即可求出函数的实根和.
【详解】因为，
则，
所以的图象关于对称，因为，此时不成立，
当时，由，即，则，
，，，
在同一平面直角坐标系中画出与，的图象如下所示：
由图可得与在上有且仅有个交点，图象都关于，
所以所有的实根之和为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是判断出关于对称，再将方程的解转化为函数与函数的交点横坐标，根据对称性计算.
2．（22-23高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】A
【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题.
【详解】因为，
当时，则在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，，，，
作出的图象，如图所示：
令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减，
在，上单调递增，且，，则的图象如下所示：
①当时，令或，
则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解，
即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）；
②当时，令或或，此时对应的个数为6；
③当时，
令或或或，
此时对应的个数为；
④当时，或或或，此时对应的个数为；
⑤当时，或或，此时对应的个数为；
⑥当时，或，此时对应的个数为3；
⑦当时，，此时对应的个数为2.
综上可知，实数根个数不可能为5个.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题.
考点三、求图象的交点及交点个数
1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数与都是偶函数，其中，，
在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意明确函数的表达式，数形结合求出二者的交点个数.
【详解】因为函数的零点为轴上的所有整数，所以函数的最小正周期，
所以，且，结合，可得，
所以．
作出函数与函数的图象，如下图所示，
可知函数的图象与函数的图象有个交点，
故选：D．

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
考点四、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（2022高三·全国·专题练习）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以，
根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：B.
2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理进行求解.
【详解】由已知，可知为增函数，
且，
，
根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.
故选：B
1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为的定义域为，且在内单调递增，
可知在内单调递增，
且，
所以函数的唯一一个零点所在的区间是.
故选：B.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增，
又，所以在内存在一个零点，使.
故选：C.
考点五、根据零点、方程的根及图象交点求参数范围
1．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
2．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
【详解】设，当时，，此时，
由得，即，解得或，
所以在上有2个零点；
时，若，对称轴为，函数的大致图象如图：
此时，即，则，
所以无解，则无零点，无零点，
综上，此时只有两个零点，不符合题意，
若，此时的大致图象如下：
令，解得（舍去），
显然在上存在唯一负解，
所以要使恰有5个零点，
需，即，解得，
所以．
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法: 先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法: 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．（23-24高一上·重庆·期中）已知，若关于x的方程在上有解，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知可得.当时，设，，根据函数的单调性以及函数增长速度的快慢，结合函数图象，列出不等式，求解即可得出；当时，代入方程求解，即可判断；当时，设，根据函数的单调性，结合零点存在定理，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
当时，设，，
函数在上单调递减，在上单调递减.
但是函数的递减的速度要慢于函数的递减速度，
且.
作出函数以及的图象
如图，要使与在上有交点，
应满足，即.
又，所以；
当时，由已知可得，
整理可得，解得，或（舍去），
此时方程有解，满足；
当时，设，
函数以及均为上的增函数，
所以，在上单调递增.
要使在上有解，根据零点存在定理可知，
应有，即，解得.
综上所述，.
故选：B.
1．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
2．（22-23高三上·河北张家口·期末）（多选）已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】题意说明分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得，， 直接变形判断AB，利用不等式知识判断C，由零点存在定理确定，构造函数，确定其单调性，由单调性判断D．
【详解】已知两方程化为，，
所以分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，
易知和的图象关于直线对称，
而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称，
，，
，A正确；
又，所以，，
从而，B正确；
，
当且仅当即时取等号，
由于，而，因此，等号不成立，即，C错误，
，
设，则，
，，
所以，所以，
时，是减函数，所以由得，
所以，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题关键是确定分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得出的关系．
3．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
一、单选题
1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝ax2＋2x＋1有且只有一个零点，则实数a的值为 （ ）
A．1B．0
C．0或1D．一切实数
【答案】C
【解析】略
3．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】作出函数和的图象，由图象交点个数得出结论．
【详解】设，．在同一直角坐标系内画出与的大致图象，
当时，；当时，．
根据图象可得两个函数共有11个交点．
故选：C．
4．（2024高三上·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据对数的定义即可求解.
【详解】依题意，
原方程等价于
即，显然只有一个正实根.
故选：B.
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据已知条件先画出在不同定义域内的图象，需要求解函数的零点个数，令，利用函数的图象求解和两个函数图象交点个数即可.
【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.
故选：C．
6．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.
【详解】由，，可得：，令，
依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.
又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故时，取得极大值，且当时，，当时，，
故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.
故选：C.
7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得.
【详解】依题意，，
而，显然且，因此，
由，得，解得或，
所以在上的零点个数是2.
故选：B
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】C
【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
所以的图象关于对称，
令，则，
可得函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，
则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个，
则所以.
故选：C.
二、填空题
9．（2024高三·全国·专题练习）函数在所有零点之和为
【答案】
【分析】化简函数为，令，求得方程的根，即可求解.
【详解】由，
令，即，解得或，
因为，所以或或，所以零点之和为.
故答案为：.
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】方程有解，利用求函数的值域即可得到参数的范围.
【详解】当时，，即有解，则；
当时，，即有解，则，
即实数m的取值范围是.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断.
【详解】因为，
当时，，所以，没有零点，故A错误；
当时与在上单调递增，所以在上单调递增，
，要使有零点，则需，
即，令，则在上单调递减，
且，，，
所以存在使得，
所以有零点的充要条件为，
所以使有零点的一个充分条件是.
故选：D
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
【答案】A
【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直线与函数的图象有5个交点，可得是奇函数，可得只需直线与曲线有2个交点即可，即方程有2个实数根，利用导数即可求解.
【详解】由题意得，则直线与函数的图象有5个交点.
显然，直线与的图象交于点.
又当时，；
当时，；
当时，，所以是奇函数，
则必须且只需直线与曲线有2个交点即可，
所以方程有2个实数根.令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以.
又当趋近于0时，,所以；
当趋近于时，，
所以必须且只需.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法.
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值．
【详解】由题意，，
令，
因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
且的图象也关于直线对称，
设，
则关于直线对称，
所以且
由可得，
所以．
由可得，
所以，
又代入上式可得，
则．
故选：A．
二、多选题
5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数，若方程有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】AB
【分析】画出函数图象，结合图象可知，在有两个零点，列出不等式组求解即可.
【详解】,如图所示，
令，则，
若方程有五个不相等的实数根，则有两个零点分别为，，
由图象可知，即，可得，解得，
则实数的取值范围是，
故选：AB．
6．（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，，，
则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，
而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，
则，于是，，，BC正确，A错误；
，即，D错误.
故选：BC

三、填空题
7．（2024·宁夏银川·二模）函数有两个零点,求a的范围
【答案】
【分析】根据零点的定义,转化为的交点个数问题.结合反函数特征,得解.
【详解】的零点两个,即的根有两个.
即的交点有两个.
而互为反函数,图像关于对称.
当两个图像均与相切时,设切点横坐标为.
分别求导,
所以,所以.,即,所以.
当时候,两图像有一个交点,当,
两图像有两个交点,即的零点两个.综上所.
故答案为: .
8．（2024·天津·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】是函数的一个零点，再分段去绝对值符号，探讨零点个数即得.
【详解】显然是函数的一个零点，
当时，，此时函数无零点；
当时，，由，得，
因为函数有3个零点，必有，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解.
【详解】①当时，，由于时，时，
此时只有一个零点，所以不符合题意；
②当时，，函数的大概图象如图所示，
，
由于时，，时，，当且仅当，即时取等号，
此时在上有，要使有两个零点，只需，即；
③当时，，函数的大概图象如图所示，
，
由于函数在上是增函数，故与x轴有且只有一个交点，
要使有两个零点，只需函数有一个零点即可，
当时，恰好只有一个零点.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
10．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数在区间和上零点个数，然后根据在区间上有1个零点，函数在区间上有2个零点或根据在区间上有2个零点，函数在区间上有1个零点，即可得出结果.
【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根；
当时，令，得，该方程至多两个根，
因为函数恰有3个不同的零点，
所以函数在区间和上均有零点，
若函数在区间上有两个零点，
即直线与函数在区间上有两个交点，
当时，；
当时，，此时函数的值域为，
则，解得，
若函数在区间上有1个零点，则或，
解得或，
若函数在区间上也有两个零点，
令，解得，，
则，解得，
若函数在区间上有1个零点，则且，
解得；
所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得，
当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时,
需满足，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，其中分段函数中一段可以有2个交点也可有1个交点，据此结合总共有3个交点求解，考查分类讨论思想，是难题.
1．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
2．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
6．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
7．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
8．（天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
9．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
10．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第7题,5分
求函数零点或方程根的个数
正弦函数图象的应用
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
函数奇偶性的定义与判断
函数奇偶性的应用
求余弦(型)函数的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第9题,6分
求函数零点或方程根的个数
求含sinx(型)函数的值域和最值
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求正弦(型)函数的最小正周期
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分
判断零点所在的区间
函数对称性的应用
函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
2023年新I卷，第15题,5分
根据函数零点的个数
求参数范围
余弦函数图象的应用