2025高考数学专项讲义第02讲平面向量的数量积(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第02讲平面向量的数量积(学生版+解析)，共68页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分
【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用
5会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。
知识讲解
1．平面向量的数量积
向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积运算律要准确理解、应用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．在用|a|＝eq \r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．
考点一、求平面向量的数量积
1．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量，若，则实数
3．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
2．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若，则 ．
3．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
4．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，，则（ ）
A．B．C．9D．18
考点二、辨析数量积的运算律
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．（湖北·高考真题）已知为非零的平面向量．甲：乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（上海·高考真题）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与垂直D．
5．（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
考点三、模长综合计算
1．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（ ）
A．2B．C．2或D．3或
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，向量满足，且，则（ ）
A．B．5C．D．25
1．（2024·陕西榆林·二模）若向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，，，则的最小值为 .
3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（ ）．
A．B．C．4D．2
4．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 .
考点四、夹角综合计算
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·山东日照·三模）已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 .
3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形中，点分别为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则 ．
考点五、垂直综合计算
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
2．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
3．（2023·浙江宁波·一模）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量，，若当时，，当时，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
考点六、求投影向量
1．（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
1．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
考点七、数量积范围的综合问题
1．（湖南·高考真题）设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．6
4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．B．2C．D．3
4．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题
8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则 .
9．（2024·四川内江·模拟预测）已知向量，满足，则m的值为 .
10．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 .
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线C的方程为，直线l与抛物线C交于A，B两点.设甲：直线l与过点；乙：（O为坐标原点），则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A．B．
C．D．在的方向上的投影向量为
8．（2024·新疆·三模）已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，D．的最大值为
9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．
D．若，则
三、填空题
10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
4．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
6．（2022·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
8．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
9．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
10．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
11．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则 .
12．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
14．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
15．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
16．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
17．（2021·全国·高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（2020·全国·高考真题）设向量，若，则 .
19．（2020·全国·高考真题）设为单位向量，且，则 .
20．（2020·全国·高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
21．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
22．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
23．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2020·全国·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第3题,5分
向量垂直的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
2024年新Ⅱ卷，第3题,5分
数量积的运算律
已知数量积求模
垂直关系的向量表示
模长的相关计算
2023年新I卷，第3题,5分
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
平面向量线性运算的坐标表示
2023年新Ⅱ卷，第13题,5分
数量积的运算律
向量的模长运算
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分
数量积及向量夹角的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
2021年新I卷，第10题,5分
数量积的坐标表示
坐标计算向量的模
逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021年新Ⅱ卷，第15题,5分
数量积的运算律
无
2020年新I卷，第7题,5分
用定义求向量的数量积
无
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，
则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
数量积
|a||b|cs
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
第02讲 平面向量的数量积
（7类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分
【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用
5会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。
知识讲解
1．平面向量的数量积
向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积运算律要准确理解、应用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．在用|a|＝eq \r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．
考点一、求平面向量的数量积
1．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量，若，则实数
【答案】
【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.
【详解】，
，
解得.
故答案为：
3．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.
【详解】由已知有，，，
所以．
已知是AC的中点，则，，
所以，
则．
故选：D．
1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
2．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标表示求出和，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】，即，，，
，，.
故答案为：.
3．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
4．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，，则（ ）
A．B．C．9D．18
【答案】C
【分析】将把与用来表示，进而利用平面向量的数量积即可求解.
【详解】，，
.
故选：C.
考点二、辨析数量积的运算律
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
2．（湖北·高考真题）已知为非零的平面向量．甲：乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据向量运算法则，结合充分，必要条件的定义，即可判断.
【详解】若，则，因为为非零的平面向量，
所以，或，所以甲不是乙的充分条件，
反过来，，能推出，所以甲是乙的必要条件.
综上可知，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.
故选：B
3．（上海·高考真题）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．
【详解】选项A是向量加法的结合律，正确；
选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；
选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；
选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．
故选：D．
4．（2023·全国·模拟预测）设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与垂直D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的运算求解.
【详解】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线，
所以不会同时与垂直，所以与不会同时为0，
所以，故A错误；（注意向量的数量积为一个常数）
选项B：，由于，
（点拨：向量夹角的取值范围是）所以，故B错误；
选项C：因为，
且由A知与不相等，所以与垂直，
（点拨：若两向量的数量积为0，则两向量垂直）故C正确；
选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设，
从而，在中，两边之差小于第三边，所以，
（提示：不共线，所以中的等号不成立）故D错误．
故选:C.
5．（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】ACD
【分析】由数量积性质可判断A，由分配律可判断B，由相反向量可判断C，由向量垂直可以判断D.
【详解】对于A，若，则不一定有，A错误；
对于B，根据分配律即可得到，B正确；
对于C，若，则可能，那么，C错误；
对于D，若，则有，那么就不一定有，D错误.
故选：ACD
考点三、模长综合计算
1．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（ ）
A．2B．C．2或D．3或
【答案】D
【分析】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可.
【详解】，即，
解得或.
故选：D.
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，向量满足，且，则（ ）
A．B．5C．D．25
【答案】B
【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解.
【详解】由于向量，可得，
由，得，
故，得，得或(舍去)．
所以
故选：B
1．（2024·陕西榆林·二模）若向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，从而可得，从而可求解.
【详解】若，则，即，解得.故A正确.
故选：A.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据复数的坐标运算和复数模的坐标表示得到，再利用二次函数性质即可得到答案.
【详解】，
所以.
当时等号成立.
故答案为：.
3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（ ）．
A．B．C．4D．2
【答案】D
【分析】根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模．
【详解】由得，，
又，则．
故选：D.
4．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 .
【答案】/
【分析】结合数量积的定义和性质求出、和，利用即可求出答案.
【详解】因为，所以，
因为，，， ，
所以，
，
因为，
，
所以.
故答案为：.
考点四、夹角综合计算
1．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
2．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
3．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由且，不共线，再用向量的坐标运算求解即可得答案.
【详解】因为，，
所以；
因为向量，的的夹角为锐角，所以有，解得.
又当向量，共线时，，解得：，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】本题考查根据向量的夹角范围求参数的范围问题，考查数量积的坐标运算和向量共线的坐标表示，是中档题.
1．（2024·山东日照·三模）已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的运算、向量的模的计算公式以及向量的数量积求夹角即可求解.
【详解】因为和是单位向量，所以又因为，
所以，
所以，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为.
故选：B.
2．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.
【详解】，令，则，
所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
故答案为：
3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形中，点分别为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量的加法法则可得，两边同时平方可得，由平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】因为平面四边形中，点分别为的中点，
所以，
所以，
由可得：，
两边同时平方可得：，
所以，
解得：，所以.
故选：A.
4．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则 ．
【答案】/0.8
【分析】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解.
【详解】由题，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案为：.
考点五、垂直综合计算
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
1．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】对于A，因为，所以不垂直，故A错误；
对于B，因为，所以不垂直，故B错误；
对于C，因为，所以不垂直，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D
2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为，，
所以，，
因为，
所以，
解得.
故选：D
3．（2023·浙江宁波·一模）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解.
【详解】由题意有，
又因为与垂直，
所以，
整理得，解得.
故选：B.
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量，，若当时，，当时，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解.
【详解】当时，由可知与方向相同，得，解得；
当时，，即，解得．
故选：C
考点六、求投影向量
1．（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.
【详解】依题意，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得.
【详解】因为，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C
3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，即可求解.
【详解】在方向上的投影向量为，即，①
在方向上的投影向量为，即，②
由①②得，又，所以.
故选：D
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答
【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由，可得的角平分线与垂直，
所以为等腰三角形，且，
又，得，所以，
又，所以,
所以为等边三角形，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
1．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，推理得到，再由投影向量求得，联立得到，利用两向量的夹角公式计算即得.
【详解】因为是单位向量，且，
两边平方得，，即（*），
由在上的投影向量为，可得，
所以，即，代入（*）可得，，即，
所以，
因为，所以．
故选：B．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果.
【详解】根据题意可得，
所以，则
所以，
则在方向上的投影向量为.
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的值, 得到和的坐标，即可利用投影向量的公式进行求解.
【详解】由得.由得.所以.
所以，所以在上的投影向量为
，
故选:D.
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.
【详解】在直角梯形中，且，过作于，
则，故，从而.
因此，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设点，根据投影向量的公式求解.
【详解】根据题意，设点，则，
则在上的投影向量为
.
故选：C
考点七、数量积范围的综合问题
1．（湖南·高考真题）设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由有实根，可得，再结合向量的夹角公式和可求得，从而可求出两向量的夹角范围.
【详解】因为关于的方程有实根，
所以，所以，
因为均是非零向量，且，
所以，
因为，
所以，
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.
【详解】
如图，设，，，点在圆上，
点在圆上，则，，由可得：，
作矩形, 则.
下证： .
设交于点，连接,因则 ，
同理可得：，两式左右分别相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故选:C．
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
1．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题.
【详解】

如图，取线段的中点，连接，则，
由，
因直线经过点，考虑临界情况，
当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长，
为，（但此时直线与轴平行，点不存在）；
当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）.
故的范围为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可.
2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设，（且），
则（且），
则在线段上，如图所示，

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；
当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为；
则在上的投影向量的长度的取值范围是．
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．6
【答案】B
【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.
【详解】为单位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
则，
当且仅当与方向相反时“”成立，
如取时，可使“”成立.
所以.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是由已知条件得，这样就能得到.
4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
【答案】C
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】由双曲线方程可知：，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，
圆的圆心为（即），半径为；
圆的圆心为（即），半径为．
连接，，，，则，
可得
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解.
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量即可求得，进而得.
【详解】因为，
所以，，故，
所以.
故选：C.
2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，即可判断A；根据及数量积的坐标表示求出，即可判断B；表示出，，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D.
【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：因为，，
显然，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：D
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】对两边平方化简可得，再对平方化简后再开方即可.
【详解】由两边平方得，，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
4．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用转化法求得，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解.
【详解】因为向量均为单位向量，即，且，，
则，两边平方可得，
即，所以，
又，所以与的夹角为．
故选：C．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，将两边同时平方，即可求解.
【详解】设向量夹角为，
两边平方得则，
又，
即，解得.
故选：A.
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出的表达式，利用二次函数的最值即得.
【详解】由可得
，
因，故时，，即的最小值为.
故选：B．
二、填空题
8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则 .
【答案】
【分析】利用向量的加法结合数量积的定义求解.
【详解】
故答案为：
9．（2024·四川内江·模拟预测）已知向量，满足，则m的值为 .
【答案】
【分析】根据向量坐标运算得，结合得到计算得到答案；
【详解】根据题意，向量，，
因为，所以，则.
故答案为：.
10．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 .
【答案】
【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解.
【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，，
所以.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足，即可求得，的夹角.
【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离，
由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且，
由于，所以.
故选：B
2．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．
【详解】
由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，
则，故，
又，设，
则
，
当且仅当时等号成立，
由可知，，
故的最大值为．
故选：A．
3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线C的方程为，直线l与抛物线C交于A，B两点.设甲：直线l与过点；乙：（O为坐标原点），则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用巧设的直线与抛物线联立方程组，用坐标运算来研究向量积，再分析充要关系，即可得解.
【详解】因为直线的斜率不可能为0，所以可设直线的方程为，
与抛物线联立，消去得：，
再设，则，所以，
由，
当直线经过点时，，则，此时甲是乙的充分条件；
当时，解得或，即直线经过点或，此时甲不是乙的必要条件；
故选：B.
4．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，得到，化简得，代入即可.
【详解】向量满足 ，
,即,
,
,
故选：A.
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得出，再借助平行四边形定则画图可解.
【详解】如图，设的中点为，则，所以，，则．
设，由于，则，则．
假如的起点均为，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点如图所示，所以．
故选：A．
6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【详解】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系，
因为在矩形中，，，，，
所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则,
，
其中锐角满足，故的最大值为,
故选：A.
二、多选题
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A．B．
C．D．在的方向上的投影向量为
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．
【详解】，，故A正确；
，所以，故B正确；
，所以，
又因为，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D错误；
故选：AB．
8．（2024·新疆·三模）已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A，当时，计算即可；对于B，由，即存在实数，使得，计算得即可；对于C，由得，两边平方结合二倍角公式即可；对于D，由向量的模运算得即可.
【详解】由题意可知，，
对于A，当时，，所以,
即，故，故A正确；
对于B，因为，
所以存在实数，使得，即，
解得，故或，故B错误；
对于C，因为，
所以，解得，故C正确；
对于D，因为，
所以
，其中，
所以当时，，故D正确.
故选：ACD.
9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．
D．若，则
【答案】BD
【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
【详解】对于选项A，在上的投影向量为，故选项A错误，
对于选项B，，故选项B正确，
对于选项C，，
显然时，不成立，故选项C错误，
对于选项D，由，所以，则，即，故选项D正确，
故选：BD．
【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可.
三、填空题
10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .
【答案】 6
【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解.
【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，
所以，，
则；
，
显然，当为的中点时，，
所以
故答案为：6；．
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

4．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
6．（2022·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
8．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
9．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
10．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
11．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
12．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
14．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
15．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
16．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
17．（2021·全国·高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
18．（2020·全国·高考真题）设向量，若，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
19．（2020·全国·高考真题）设为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
20．（2020·全国·高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
21．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
22．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
23．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
24．（2020·全国·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
25．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第3题,5分
向量垂直的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
2024年新Ⅱ卷，第3题,5分
数量积的运算律
已知数量积求模
垂直关系的向量表示
模长的相关计算
2023年新I卷，第3题,5分
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
平面向量线性运算的坐标表示
2023年新Ⅱ卷，第13题,5分
数量积的运算律
向量的模长运算
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分
数量积及向量夹角的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
2021年新I卷，第10题,5分
数量积的坐标表示
坐标计算向量的模
逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021年新Ⅱ卷，第15题,5分
数量积的运算律
无
2020年新I卷，第7题,5分
用定义求向量的数量积
无
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，
则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
数量积
|a||b|cs
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))