2025高考数学专项讲义第02讲圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第02讲圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系(学生版+解析)，共61页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，整体点评等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-6分
【备考策略】1.理解、掌握圆的标准方程和一般方程，并会基本量的相关计算
2.能正确处理点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系求解
3.能利用圆中关系进行相关参数求解
4.会解决圆中的最值问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查直线与圆和圆与圆的几何综合，需强化练习
知识讲解
圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
表示圆的充要条件
点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
弦长公式
设，，
则
或：
圆上一点到圆外一点的距离的最值
圆上一点到圆上一点的距离的最值
圆上一点到直线距离的最值
过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
考点一、圆的标准方程
1．（23-24高二上·甘肃武威·期中）以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．（22-23高二下·山东临沂·期末）的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为 .
1．（23-24高二上·江西·阶段练习）圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·浙江·模拟预测）圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则外接圆的方程为 ．
考点二、圆的一般方程
1．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知圆，则圆心、半径的长分别是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
3．（2022高三·全国·专题练习）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆
B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为
D．当时，表示的圆与轴相切
1．（22-23高二·山东临沂·开学考试）已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，5B．，5C．，D．，
2．（2022·陕西榆林·二模）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·安徽淮北·阶段练习）如果圆关于直线对称，那么（ ）
A．B．
C．D．
考点三、直线与圆的位置关系
1．（23-24高二上·广东·期末）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
2．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆被直线平分，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．（22-23高二下·安徽亳州·开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交或相切D．相交
1．（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．B．1C．D．3
3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线与圆相切，则的值（ ）
A．与a有关，与b有关B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关D．与a无关，与b无关
考点四、圆与圆的位置关系
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含B．相切C．相交D．外离
2．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2024·山西吕梁·二模）已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
1．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．内切D．相离
2．（2024·陕西西安·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A．B．
C．D．
考点五、圆中的弦长问题
1．（2024·河南·模拟预测）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．﹣2
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知点在圆上，直线被该圆截得的弦长为2，则（ ）
A．B．C．2D．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆被直线所截线段的长度为（ ）
A．2B．4C．D．
2．（2024·青海·一模）已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4B．C．2D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．B．C．4D．
考点六、圆上的点到点的最值问题综合
1．（2023·甘肃酒泉·三模）点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（22-23高二·全国·课后作业）若，且，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
1．（2021·四川资阳·模拟预测）已知为坐标原点，为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A．2B．
C．D．3
考点七、圆上的点到直线的最值问题综合
1．（21-22高二上·北京·期中）点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·贵州·模拟预测）已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A．1B．2C．3D．
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·模拟预测）圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
考点八、圆中的最长弦与最短弦综合
1．（2024·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京石景山·一模）已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长度的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（20-21高三下·河南·阶段练习）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（ ）
A．3B．6C．D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点九、圆综合
1．（2024·贵州·模拟预测）（多选）已知点，点Q在圆上，则（ ）
A．点P在直线上B．点P可能在圆C上
C．的最小值为1D．圆C上有2个点到点P的距离为1
2．（2024·辽宁丹东·模拟预测）（多选）已知曲线:，则（ ）
A．曲线围成图形面积为
B．曲线的长度为
C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2
D．曲线上任意两点间最大距离
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．点在圆内
B．直线的方程为
C．圆上的点到直线距离的最大值为
D．圆上存在两点P，Q，使得
4．（2024·山东青岛·三模）（多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
1．（2024·山西阳泉·三模）（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．直线与圆始终有两个交点
C．当时，直线与圆相交于两点，则的面积为
D．点到直线的距离最大时，
3．（2024·江西南昌·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B．的面积最大值为1
C．若原点始终在动弦上，则不是定值
D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
4．（2024·浙江绍兴·三模）（多选）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）与x轴相切于原点，且圆心为的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）．
A．B．C．D．
4．（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A．B．
C．D．
6．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（ ）
A．{t|－1＜t＜}
B．{t|－＜t＜1}
C．{t|－1＜t＜}
D．{t|1＜t＜2}
二、多选题
7．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（ ）
A．0B．C．1D．3
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则
9．（2024·北京西城·二模）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为 ．
10．（2024·陕西商洛·三模）已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ）
A．4B．C．D．
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三下·全国·开学考试）圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
7．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时，D．当点到直线距离最大值时，
三、填空题
8．（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ．
9．（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ．
10．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 .
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
4．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

5．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
6．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
7．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
9．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
10．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
11．（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
12．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
13．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点M，N，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
14．（2021·全国·高考真题）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
16．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
圆中切线问题
已知点到直线距离求参数切线长
给值求值型问题
余弦定理解三角形
2023年新Ⅱ卷，第15题,5分
直线与圆的位置关系
无
2022年新I卷，第14题,5分
判断圆与圆的位置关系
圆的公切线方程
2022年新Ⅱ卷，第15题,5分
由直线与圆的位置关系求参数
求点关于直线的对称点
直线关于直线对称问题
2021年新I卷，第11题,5分
直线与圆的位置关系求距离的最值
切线长
2021年新Ⅱ卷，第11题,5分
点与圆的位置关系求参数
判断直线与圆的位置关系
无
2020年新I卷，第9题,5分
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
判断方程是否表示双曲线
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
判断方程是否表示双曲线
第02讲 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
（9类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-6分
【备考策略】1.理解、掌握圆的标准方程和一般方程，并会基本量的相关计算
2.能正确处理点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系求解
3.能利用圆中关系进行相关参数求解
4.会解决圆中的最值问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查直线与圆和圆与圆的几何综合，需强化练习
知识讲解
圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
表示圆的充要条件
点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
弦长公式
设，，
则
或：
圆上一点到圆外一点的距离的最值
圆上一点到圆上一点的距离的最值
圆上一点到直线距离的最值
过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
考点一、圆的标准方程
1．（23-24高二上·甘肃武威·期中）以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，写出圆的标准方程即得.
【详解】由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为.
故选：B
2．（2024高三·全国·专题练习）经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】D
【详解】由得即所求圆的圆心坐标为(1，1).又该圆过点(2，0)，所以其半径为＝，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．（22-23高二下·山东临沂·期末）的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为 .
【答案】
【分析】求得圆心和半径，进而求得圆的方程.
【详解】由于，所以是外接圆的直径，
所以圆心为，半径为，
所以外接圆的方程为.
故答案为：
1．（23-24高二上·江西·阶段练习）圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出圆的半径即可得解.
【详解】依题意，圆心为，且经过坐标原点的圆的半径，
所以所求圆的标准方程为.
故选：D
2．（2023·浙江·模拟预测）圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则外接圆的方程为 ．
【答案】
【分析】设圆的方程为，利用待定系数法求出，即可得解.
【详解】设圆的方程为，
则，解得，
所以外接圆的方程为.
故答案为：.
考点二、圆的一般方程
1．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知圆，则圆心、半径的长分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将圆的一般方程配成标准方程，找到圆心和半径即可.
【详解】因为，所以，
所以圆心，半径长是.
故选：B.
2．（22-23高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程可得答案.
【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
3．（2022高三·全国·专题练习）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆
B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为
D．当时，表示的圆与轴相切
【答案】BC
【分析】将方程化为，讨论的取值，逐一判断即可.
【详解】解：由，得，
当时，方程表示点，故A错误；
当时，方程表示圆心为的圆，故B正确；
当时，方程表示的圆的半径为，故C正确；
当时，方程表示的圆的半径为，与轴相交，
故D错误．
故选：BC．
1．（22-23高二·山东临沂·开学考试）已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，5B．，5C．，D．，
【答案】C
【分析】将圆的方程化为标准方程即可得解.
【详解】解：将圆的一般式方程化为标准方程得，
所以圆心为，半径为.
故选：C.
2．（2022·陕西榆林·二模）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
【详解】由，得，则.
故选：A
3．（23-24高二上·安徽淮北·阶段练习）如果圆关于直线对称，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】圆心在直线上，代入计算即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，
由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即.
故选：B.
考点三、直线与圆的位置关系
1．（23-24高二上·广东·期末）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】A
【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】由题意知，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.
故选：A.
2．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆被直线平分，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由题意得圆心在直线上，
则，解得.
故选：D.
3．（22-23高二下·安徽亳州·开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交或相切D．相交
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，根据定点与圆的关系可得答案.
【详解】因为，所以，即直线恒过定点；
因为点恰在上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.
故选：C.
1．（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】C
【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断.
【详解】因为点在圆内，
所以，
设圆心到直线的距离为,
则，
圆的半径r=1,
因为，所以直线与圆的位置关系为相离.
故选：.
2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】D
【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解.
【详解】由得，
则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称，
故由圆的对称性可知：圆心在直线上，
则.
故选：D.
3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线与圆相切，则的值（ ）
A．与a有关，与b有关B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关D．与a无关，与b无关
【答案】D
【分析】先求得圆的圆心坐标为和半径为，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即，化简即可得到答案.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即，
化简得，可知，
故选：D.
考点四、圆与圆的位置关系
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含B．相切C．相交D．外离
【答案】A
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
则，故，所以两圆内含；
故选：A
2．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数．
【详解】圆标准方程为，
则已知两圆圆心分别为，半径分别为，
圆心距为，
因此两圆外切，它们有三条公切线，
故选：B．
3．（2024·山西吕梁·二模）已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据两圆圆心距离以及半径可得，即可求解.
【详解】圆的圆心为半径，
圆的圆心为半径，
故两圆不是内切和内含，
由题意知的最大值等于12，则，所以.
又，所以.
故选：D.
1．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．内切D．相离
【答案】A
【分析】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论.
【详解】由已知得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
故，
所以圆与圆相交.
故选：A.
2．（2024·陕西西安·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先判断两圆的位置关系，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
圆的圆心为O0,0，半径，
又，所以两圆相内切，
又表示圆及圆内的点，
表示圆及圆内的点，
即由推不出，故充分性不成立，
由推得出，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B

3．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切，
所以，即，所以点的轨迹为圆，
对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合；
对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合；
对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合；
对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合；
故选：D.
考点五、圆中的弦长问题
1．（2024·河南·模拟预测）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把直线方程转化为一般方程，表达出圆心和半径，求解圆心到直线的距离，再求出弦长.
【详解】由题意可得l的一般式方程为，
由圆C：，得圆心，半径为4，
则圆心C到直线l的距离为，
故直线l被圆C截得的弦长为．
故选:B．
2．（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．﹣2
【答案】C
【分析】首先求出圆心到直线的距离，进一步利用垂径定理建立等量关系式，最后求出a的值．
【详解】圆与直线与相交于A，B两点，且．
则圆心到直线的距离，
利用垂径定理得，所以，解得．
故选：C．
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知点在圆上，直线被该圆截得的弦长为2，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式求出弦心距，根据弦长列方程求解可得.
【详解】由题知，∴，
∵圆心到直线的距离，
∴，
又，解得.
故选：B．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆被直线所截线段的长度为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合垂径定理分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以所截线段的长度为.
故选：D.
2．（2024·青海·一模）已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可.
【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离．因为，
所以，即，解得.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】求得圆心坐标为，半径为，由弦长公式可解得.
【详解】易知圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
又，解得.
故选：B.
考点六、圆上的点到点的最值问题综合
1．（2023·甘肃酒泉·三模）点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】可判断在圆外，则，计算即可．
【详解】圆的圆心，半径为，
由于在圆外，
．
故选：D.
2．（22-23高二·全国·课后作业）若，且，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由复数的模的几何意义，可得在复平面的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果.
【详解】设，则，
所以，表示圆心为，半径为的圆.
，表示点和之间的距离，
故.
故选：B.
【点睛】本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
1．（2021·四川资阳·模拟预测）已知为坐标原点，为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】A
【分析】求得圆心坐标和半径，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由圆，可得圆C的圆心坐标为，半径为，
则，所以的最小值为.
故选：A.
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A．2B．
C．D．3
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可.
【详解】设，其中，则，
∵，
∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∴即为圆上动点到定点的距离，
∴的最大值为.
故选：B.
考点七、圆上的点到直线的最值问题综合
1．（21-22高二上·北京·期中）点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】由题意可知，圆心，
所以圆心到的距离为，所以MN的最小值为.
故选：B.
2．（2022·贵州·模拟预测）已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】A
【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线l的最大距离.
【详解】由直线l得：，则直线l恒过定点，
由圆，则圆心，
故圆心C到直线l的最大距离.
故选：A
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，加上圆的半径，即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径为.
则圆心到直线：的距离为：.
所以圆上的点到直线：距离的最大值为：.
故选：C
2．（2023·河南·模拟预测）圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值问题即可求解.
【详解】圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，
故选：A..
考点八、圆中的最长弦与最短弦综合
1．（2024·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由恒过定点可得，过点的直径与直线垂直时，所截得的弦长最小，借助垂径定理计算即可得.
【详解】直线恒过定点，
，即，
设其圆心为，半径为，则，，
又，所以点在圆内，
则当直线与直线垂直时所截得的弦长最小，
最小值为．
故选：D．
2．（2022·北京石景山·一模）已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长度的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题意，可得当直线l垂直于过圆心C与定点的直线时，弦长度取得最小值.
【详解】解：由题意，因为，所以点在圆C内，
因为直线l过点与圆C交于A，B两点，
所以当直线l垂直于时弦长度取得最小值，
因为，
所以，
故选：B.
3．（20-21高三下·河南·阶段练习）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出直线经过的定点，然后结合圆的性质分析出当时，最小即可得出结果.
【详解】可化为，
令
直线恒过定点，该点在圆内，
当时，最小，
此时.
故选：C.
1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】B
【分析】由题可知当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，利用弦长公式即得.
【详解】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．
当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，
即弦长的最小值为.
故选：B．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
求出直线过的定点及圆的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解.
【详解】依题意，直线，由，解得，
所以直线过定点，
由，得，
所以圆心，半径，
显然，即点在圆内，
所以直线斜率，
当时，直线被圆截得的弦最短，
所以，即，解得,
所以直线的方程为，即，
经检验，此时，满足题意.
故选：C.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解.
【详解】因为直线，可得，
由，解得，所以直线恒过点，
可得点在圆内部，
又由圆，可得圆心，半径为，
当直线过圆心时，截得弦长最长，此时，
当直线与垂直时，此时弦长最短，又由，
可得，
所以弦长的取值范围是.
故选：B.
考点九、圆综合
1．（2024·贵州·模拟预测）（多选）已知点，点Q在圆上，则（ ）
A．点P在直线上B．点P可能在圆C上
C．的最小值为1D．圆C上有2个点到点P的距离为1
【答案】AC
【分析】对于A：根据点P的坐标消参即可得结果；对于B：先判断直线与圆的位置关系，结合选项A分析判断；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：分析可知，结合圆的性质分析判断.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为，
对选项A：由得，消去参数m得，
所以点P在直线上，故A正确.
对选项B：因为圆心到直线的距离，
可知直线与圆相离，结合选项A可知：点P不可能在圆C上，故B错误；
对选项C：结合选项B可知的最小值为，故C正确.
对选项D：因为，可知圆C上有且仅有1个点到点P的距离为1，故D错误.
故选：AC.
2．（2024·辽宁丹东·模拟预测）（多选）已知曲线:，则（ ）
A．曲线围成图形面积为
B．曲线的长度为
C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2
D．曲线上任意两点间最大距离
【答案】ABD
【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案.
【详解】当时，曲线；
当时，曲线；
当时，曲线；
当时，曲线；
当时，曲线为原点.
画出曲线的图形，如图所示.
对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆，
故面积为，故A正确；
对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确；
对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误；
对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确.
故选：ABD.
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．点在圆内
B．直线的方程为
C．圆上的点到直线距离的最大值为
D．圆上存在两点P，Q，使得
【答案】BC
【分析】对于A，将点带入圆即可；对于B，圆与圆方程相减即可；对于C，由圆心到直线的距离再加半径2即可；对于D，直线经过圆的圆心，圆中不存在比长的弦.
【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B，圆与圆交于两点，
因为圆和圆相交，将两圆相减可得：，
即公共弦所在直线的方程为，故B正确；
对于C，圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确；
对于D，直线经过圆的圆心，
所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误.
故选：BC.
4．（2024·山东青岛·三模）（多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
【答案】BD
【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，圆的半径为，A错误；
对于B，，圆和圆相离，B正确；
对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，
由圆的性质得，
，当且仅当点与重合，
且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；
对于D，设点，过点的圆的切线长，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD

1．（2024·山西阳泉·三模）（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BD
【分析】由题意可得以为直径的圆与圆相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关系计算即可得.
【详解】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切，
由，则以为直径的圆的圆心为，半径为a>0，
则有或，
分别解得或，故或，
故B、D正确，A、C错误.
故选：BD.
2．（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．直线与圆始终有两个交点
C．当时，直线与圆相交于两点，则的面积为
D．点到直线的距离最大时，
【答案】ABD
【分析】对于A，对圆的方程配方后可求出圆心判断，对于B，先求出过定点，再判断点与圆的位置关系，从而可得结论，对于C，先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，从而可求出的面积，对于D，由于直线过定点，则当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，从而可求出的值.
【详解】对于A：配方得，所以圆心，半径，所以A正确；
对于B：由，得，则直线过定点，
因为，所以点在圆内，
所以直线与圆始终有两个交点，所以B正确;
对于C：设圆心到直线的距离为，则，弦长，
所以面积，所以C不正确．
对于D：由题意得直线过定点，故当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由于，故得，所以D正确．
故选：ABD．
3．（2024·江西南昌·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B．的面积最大值为1
C．若原点始终在动弦上，则不是定值
D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D.
【详解】对于A，圆的圆心为1,0，半径为，
圆的圆心为，半径为，
当圆和圆存在公共点时，，
所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；
对于B，的面积为，
当时，的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦垂直x轴时，，所以，
当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，
与圆联立得，，
设，
则，，
综上，恒为定值，错误；
对于D，设Px0,y0，OP中点，该点也是AB中点，且，
又，所以，
化简得，所以点的轨迹为以1,0为圆心，半径为的圆，
其周长为长度为，正确.
故选：ABD
4．（2024·浙江绍兴·三模）（多选）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
【答案】ABC
【分析】根据圆的性质，可得判定A正确；当线段的中垂线经过点时，此时MN取得最值，结合圆的性质，可判定B正确；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程，可判定以C正确；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程，可判定D错误.
【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内，
对于A中，由，根据圆的性质，可得，
即，即，
所以的最大值为，所以A正确；
对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时MN取得最值，
如图所示，可得时，可得，
时，可得，所以B正确；
对于C中，设的外接圆的圆心为，则，
则有，可得，
即，所以C正确；
对于D中，设的重心为点，则，
由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为，
且点为的中点，即，所以，
即，即，所以D错误.
故选：ABC.
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）与x轴相切于原点，且圆心为的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】借助直线与圆相切的性质可得其半径，即可得解.
【详解】，圆心为，
故该圆的标准方程为.
故选：C.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两圆方程作差即可.
【详解】由圆，圆，
两式作差得，，即，
所以两圆的公共弦所在直线方程是.
故选：B.
3．（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解.
【详解】的圆心和半径分别为,
，故两圆相交，
将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为，
又知，，
则到直线的的距离，
所以公共弦长为，
故选:A．
4．（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】求出圆心和半径，由点到直线距离得到不等式，求出答案.
【详解】由题意可知圆的标准方程为，圆心为，半径，
所以，得，即，
可得，又，故.
故选：B.
5．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.
【详解】因为圆心在上，所以设圆心为,
因为圆的半径为2，
所以设圆的标准方程为,
因为该圆过原点，
所以，
解得,
所以圆心为或,
当圆心为时，圆的标准方程为，D对;
当圆心为时，圆的标准方程为.
故选：D.
6．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（ ）
A．{t|－1＜t＜}
B．{t|－＜t＜1}
C．{t|－1＜t＜}
D．{t|1＜t＜2}
【答案】B
【详解】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.
二、多选题
7．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（ ）
A．0B．C．1D．3
【答案】AC
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求参数的范围，从而可得正确的选项.
【详解】圆即为：，
故圆心，半径为，
因为直线与圆有两个不同的交点，故，
故，结合选项可知AC符合题意.
故选：AC.
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则
【答案】
【分析】先根据圆关于直线对称，得到直线经过圆心，求出圆心，再运用弦长公式求解即可.
【详解】圆0，即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以，解得，
所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离，
所以．
故答案为：.
9．（2024·北京西城·二模）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为 ．
【答案】
【分析】设圆的方程为，进而利用待定系数法求解即可.
【详解】设圆的方程为，
则由题意可得，解得，
所以圆的方程为
故答案为：
10．（2024·陕西商洛·三模）已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ．
【答案】或
【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【详解】若直线与相交于两点，且，
则圆心到直线的距离，所以，
解得或．
故答案为：或.
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可.
【详解】设，则，解得，.
因为在上，所以，解得，经检验，符合题意.
故选：B
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案；
【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.
圆心到直线l距离为，
因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.
故选：D
3．（23-24高三下·全国·开学考试）圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用两圆相交的性质，将两个圆方程相减，得到公共弦方程即可.
【详解】因为圆与圆，
所以的一般方程为，
的一般方程为，
因为两个圆相交，且对两个圆的方程进行联立，
所以的方程为，
化简得，故D正确.
故选：D
4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，，且点的轨迹是以为直径的圆，设，结合三角知识求的取值范围.
【详解】对于动直线可知其过定点，
动直线，即，可知其过定点，
且，可知两条动直线相互垂直，
可知点的轨迹是以为直径的圆，且，
若点与或重合，则；
若点与，不重合，设，
则，
可得，
因为，则，可得，
所以，
综上所述：的取值范围是.
故选：D.
5．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得.
【详解】∵，∴.
∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，
设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点Px,y，满足，
则，
化简得，
又∵，代入得，
要使等式恒成立，则，即.
∴存在定点，使圆上任意一点P满足，
则，
当三点共线（位于两侧）时，等号成立.
又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，
由到直线距离，则.
故.
如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值.
故选：D.
【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值.
二、多选题
6．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
【答案】ACD
【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项；
【详解】将把转化为标准方程,
则，如图所示：
对于A：圆心C的坐标为，故A正确；
对于B：当点在圆上，则有，
化简得，解得.
即，所以直线的斜率为，故B错误；
对于C：因为，所以点在圆外，故C正确；
对于D：因为， ，
所以，即，故D正确.
故选：ACD.
7．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时，D．当点到直线距离最大值时，
【答案】ACD
【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断.
【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，圆的圆心、半径为，
点到直线的距离为，
从而，
取，则此时有，故B错误；
对于C，当直线平分圆时，有点在直线上，
也就是说有成立，解得，故C正确；
对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当，
而的斜率为，
所以当等号成立时有，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ．
【答案】
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.
【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，解得，
所以弦长为，因为，
所以，所以弦长，
当即时，弦长有最大值.
故答案为：.
9．（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ．
【答案】
【分析】利用圆系方程可求圆的方程.
【详解】设圆的方程为：，
整理得到：，
因为圆过，代入该点得到：即，
故圆的方程为：即，
故答案为：.
10．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 .
【答案】
【分析】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段的长度最小，
然后求线段的长度即可.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上，
当时线段的长度最小，
点到直线的距离，
所以.
故答案为：.
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，AB的最小，
此时.
故选：C
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.

故选：C
4．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

【答案】
【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.
【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，

不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为，
化简得，所以圆心为，半径为，且经过点
即，化简得，
解得，
结合题意可得，故圆的周长为.
故答案为：
5．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
6．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
7．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
8．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
9．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
10．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
11．（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
12．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
13．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点M，N，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，MN取得最小值为，解得.
故选：C.
14．（2021·全国·高考真题）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
15．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
16．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
圆中切线问题
已知点到直线距离求参数切线长
给值求值型问题
余弦定理解三角形
2023年新Ⅱ卷，第15题,5分
直线与圆的位置关系
无
2022年新I卷，第14题,5分
判断圆与圆的位置关系
圆的公切线方程
2022年新Ⅱ卷，第15题,5分
由直线与圆的位置关系求参数
求点关于直线的对称点
直线关于直线对称问题
2021年新I卷，第11题,5分
直线与圆的位置关系求距离的最值
切线长
2021年新Ⅱ卷，第11题,5分
点与圆的位置关系求参数
判断直线与圆的位置关系
无
2020年新I卷，第9题,5分
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
判断方程是否表示双曲线
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示椭圆
判断方程是否表示双曲线