2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期期末数学试题（含解析）

这是一份2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期期末数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若“0＜ab＜1”，当a，b均小于0时，b＞即“0＜ab＜1”⇒“b＜”为假命题；
若“b＜当a＜0时，ab＞1，即“b＜”⇒“0＜ab＜1”为假命题，综上“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件，故选D
2．的内角的对边分别为，满足，则角的范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把变形为，由余弦定理及余弦函数性质得结论．
【详解】由得，，
所以，所以．
故选：B.
【点睛】本题考查余弦定理，考查余弦函数的性质．难度不大．
3．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（ ）
A．1147B．1148C．D．
【答案】B
【分析】当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值；当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值.
【详解】①当时，
若，则数列的各项为，
此时数列为周期数列，周期为3，由，
可知数列的前2020项中有673项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列为周期数列，周期为3，由，
可知数列的前2020项中有673项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第3项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有672项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第4项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有672项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第6项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有671项为0；
依次类推，可知当，或时，
数列的前2020项中有100项是0；
②当时，
若，则数列的各项为，
此时数列从第7项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有671项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第9项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有670项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第10项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有670项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第12项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有669项为0；
依次类推，可知当，或时，
数列的前2020项中有100项是0.
综上所述，若数列的前2020项中有100项是0，
则可取的值有.
故选：B.
【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件探究数列的性质，利用赋值法分别令和，可分别求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律.考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
4．已知函数，给出下列四个判断：①函数的值域是；②函数的图像时轴对称图形；③函数的图像时中心对称图形；④方程有实数解.其中正确的判断有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据的几何意义分析即可.
【详解】由题的几何意义为到的距离差的绝对值.其中在轴上运动.
对①,由图像可知,当在处取得最小值,当往两边运动时, 无限接近2,但.故①错误.
对②,易得当往两边运动时, 关于对称.故②正确.
对③,由②有③错误.
对④,由①可知,.由图易得在内单调递减,
故,故有解.故④正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数的问题,需要分析出函数的几何意义再画图求解,属于中等题型.
二、填空题
5．设，，，则m的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意，得，解得，即的取值范围是.
【解析】集合的关系.
6．已知复数（i是虚数单位），则_______.
【答案】
【分析】根据复数模长的性质求解即可.
【详解】因为,故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.
7．已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
【答案】-3
【分析】根据题意求元素的关系．
【详解】解：因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以（无解）或者，
解得：．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题．
8．若，则函数的最小值为___________.
【答案】3
【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值.
【详解】由题意，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为3.
故答案为：3.
9．方程的解集为___________.
【答案】
【分析】根据对数的运算性质得出，解方程即可.
【详解】因为
得
所以
所以
化简得
解得或
经检验或都满足题意，
所以原方程的解集为.
故答案为：
10．已知点A(－1,1)，B(2，－2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是________________．
【答案】
【分析】本道题目先绘图，然后结合图像判断该直线的位置，计算斜率，建立不等式，即可．
【详解】
要使得与线段AB相交,则该直线介于1与2之间,1号直线
的斜率为,2号直线的斜率为,建立
不等式关系转化为,所以或解得m范围为
【点睛】本道题考查了直线与直线的位置关系，结合图像，判断直线的位置，即可．
11．函数的反函数是________.
【答案】,()
【分析】由二次函数值域的求法可得,再用表示，反函数的定义域即原函数的值域，即可得原函数的反函数.
【详解】解：因为,
所以函数在为减函数,所以,
由,则,
即函数的反函数,(),
故答案为:,().
【点睛】本题考查了函数反函数的求法及函数值域的求法，属基础题.
12．行列式的最小值为 .
【答案】
【详解】
，即其最小值为.
【解析】行列式、三角函数的变换与求值.
13．某小区有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法共有___________种.
【答案】120
【分析】利用“捆绑法”，将剩余的4个车位看作一个整体，进而与4辆车全排列可得出答案.
【详解】将剩余的4个车位看作一个整体，与4辆不同型号的车全排列得.
故答案为：120.
14．已知某缺角棱柱的三视图(单位)如图所示，则该几何体的体积为___________.
【答案】100
【详解】由三视图可知几何体的直观图是一个长方体切去一个角，即沿一个顶点切去一个三棱锥，如图所示：
几何体的体积为.
故答案为：100
15．已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________
【答案】20.
【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得
，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.
【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，
，
由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，
所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，
所以，，故答案为.
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.
16．由“无穷等比数列各项的和”可知，当时，有，若对于任意的，都有，则______.
【答案】
【分析】根据当时,有,可将与同理展开.
再分析即可.
【详解】由题,当时满足,
又.
故,
由题即求项的系数.
即中的系数.
故只需考虑五项分别对应的情况即可.
故含的项为
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了无穷数列求和的问题的迁移.需要根据题意找到题中所给的等式对应的展开式,再分情况计算对应项的系数.属于难题.
三、解答题
17．如图，是圆柱体的一条母线，过底面圆的圆心，是圆上不与、重合的任意一点，已知棱，，.
（1）求异面直线与平面所成角的大小；
（2）将四面体绕母线旋转一周，求三边旋转过程中所围成的几何体的体积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）欲求直线与平面所成的角，先证明出平面，从而得出为直线与平面所成的角，最后在中求解即可；
（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差， 只需分别求出这两个锥体的体积后求它们的差即得.
【详解】（1）因为点在以为直径的圆上，所以，
平面，平面，，
平面，，则，
，平面.
所以，为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
因此，直线与平面所成的角为；
（2）由题意可知，所求几何体的体积为两个圆锥体的体积之差，
即，
故所求几何体的体积为.
【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角、圆锥的体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．已知函数.
（1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)
【分析】（1）先求出的值，再比较与的关系，根据的取值讨论函数的奇偶性；
（2）由题意可知，在上恒成立，令，，那么本题转化为在上恒成立，本题就转化为求在上的最小值问题.
【详解】（1），，若，则，此时函数为偶函数；若，则，此时函数为奇函数；若时，为非奇非偶函数.
（2）由得，令，
原不等式等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
当时，有最小值，
所以.
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用分类讨论的思想方法和奇偶性的定义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.
19．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙的长度为米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.
（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.
【答案】(1) 米.
(2) 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形
，.
【详解】分析：(1)在中，由正弦定理可得，即可求的周长；
(2)利用余弦定理列出关系式，将的值代入并利用基本不等式求出的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时的值.
详解：（1）在中，有正弦定理可得，
,
的周长为米.
（2）在中，有余弦定理得
当且仅当时等号成立，此时为等边三角形
，.
点睛：该题考查的是有关通过解三角形来解决实际问题的事例，在解题的过程中，注意应用正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得结果.
20．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行.
（1）求的方程；
（2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值.
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）最大值.
【分析】（1）根据椭圆的方程，即可求得双曲线的顶点坐标，利用直线的斜率及双曲线的性质，即可求得双曲线的方程；
（2）根据双曲线的方程，求得焦点坐标，分别求得，方程，根据角平分线的性质，即可求得，，即可求得；
（3）将直线方程代入双曲线方程，根据韦达定理及三角形的面积公式，换元及二次函数的性质，即可求得△的面积最大值．
【详解】解：（1）椭圆的右焦点为为双曲线，的右顶点，
，
直线与的一条渐近线平行，，，
双曲线的方程为，
（2），
理由如下：、为 的左右焦点，，，，，
直线方程为，直线方程为，
即直线方程为，
直线方程为，
由点在的平分线上，得，
由，，以及，解得，
，
，解得，结合，则
；
（3）由（2）可知：直线的方程为：，
令，得，故点，，
由，消去得，
，
设，，，，则，，
，
由，，，
，，△的面积，
设，，则△的面积，
时，即为，时，△的面积最大值为．
【点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法.
21．对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
【答案】（1）；（2）是向量组，，，…，的“向量”，理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据“向量”的定义，列不等式，求的取值范围；（2）分为奇数和偶数两种情况说明是向量组，，，…，的“向量”；（3）首先由､､均是向量组，，的“向量”，变形得到，设由由条件列式，变形为，转化为求的最小值.
【详解】解：（1）由题意，得：，
则
解得：
（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组，，，…，的“向量”
（3）由题意，得，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
当且仅当时等号成立
故
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为.