江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求解集合B，接着再求集合的交集.
【详解】由于得到，
所以，
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. 不存在，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：B
3. “”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可
【详解】当时，为奇函数，故充分性成立；
当函数为奇函数，故，故必要性不成立；
则“”是“函数为奇函数”的充分而不必要条件
故选：A
4. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式得到，并得到，，比较出大小.
【详解】，
，，
则.
故选：A
5. 函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】由得到，利用左加右减的平移规律，得到答案.
【详解】，故向右平行移动个单位长度，
得到，故D正确，其他选项不正确.
故选：D.
6. 函数的零点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先得到函数的单调性，由零点存在性定理得到存在唯一的，使得，又，故零点个数为2.
【详解】定义域为，
由于在上单调递增，
故在上单调递增，
其中，，
由零点存在性定值可知，存在唯一的，使得，
又，故的零点个数为2.
故选：C
7. 已知角满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可.
【详解】，
由积化和差得，
即，
故，解得.
故选：C
8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 6B. 12C. 4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】求出，得到，由基本不等式求出面积最大值.
详解】由题意得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故此三角形面积最大值为12.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
A，取判断；B，取，判断； C，利用不等式的加法性质判断；D，根据为增函数判断.
【详解】A，当时不成立.故A错误.
B，当，时不成立.故B错误.
C，因为，两边同时减去有成立.故C正确.
D，因为，又为增函数.故成立.故D正确.
故选：CD
10. 下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 最小正周期是
C. 图象关于点成中心对称D. 图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦函数的单调性可得A正确，利用周期公式可得B正确，再由对称性代入验证可得C错误，D正确.
【详解】对于A，当时，，
由正弦函数性质可得在上单调递增，因此A正确；
对于B，由解析式可得其最小正周期是，即B正确；
对于C，当时，可得，
即可得函数图象关于点成中心对称，即C错误；
对于D，将代入可得，取得最小值，
因此图象关于直线对称，即D正确.
故选：ABD
11. 已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
分别作图与得，又因为即可判断出结果.
【详解】令则 ，分别作图与如图所示：
由图可得 ，所以成立，故A正确；
由于
所以故B正确，C、D错误；
故选：AB
【点睛】方法点晴：将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题处理.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ___________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由幂的运算法则和对数运算法则计算．
【详解】原式＝．
故答案为：6．
13. 函数的图象如图所示，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依据图象求得函数解析式，代入即可求得结果.
【详解】根据图象可知，
且，所以，解得，
又图象过点，所以，
即，解得，
又，所以，可得；
因此.
故答案为：
14. 已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为______.
【答案】15
【解析】
【分析】，恒成立，变形得到，分，和，结合函数单调性得到函数值域，根据得到不等式，得到，求出答案.
【详解】根据题意可知，，恒成立，
，，
当时，，此时，满足，
当时，因为在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故，
故，
，恒成立，故，解得，
故，
当时，同上，可得，
，恒成立，故，解得，
故，
综上，，满足要求的整数为，
和为.
故答案为：15
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角的终边经过点，
（1）求值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，，利用诱导公式和同角三角函数关系得到；
（2）添加分母，齐次化，化弦为切，代入求值即可.
【小问1详解】
因为角终边经过点，
所以，，，
故
；
【小问2详解】
.
16. 已知函数.
（1）求；
（2）解关于的不等式；
（3）若存在，使得，且，求的最小值.
【答案】（1）0 （2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据分段函数解析式代入求值即可得出结果；
（2）利用指数函数和对数函数单调性解不等式即可；
（3）结合函数图象并利用函数单调性可求得结果.
【小问1详解】
易知，
所以；
【小问2详解】
当时，fx=12x−2>2，
即12x>4，得，
当时，fx=lg2x+1>2，
所以，解得，
故原不等式解集为−∞,−2∪3,+∞
【小问3详解】
画出函数的图象如下所示：
由图象可知最小值为1.
证明如下：设，
易知在上单调递减且，在上单调递增且；
所以，不妨设，
由可得，
且可得；
因此，
令，易知在上单调递增，且；
即，
所以最小值为1.
17. 校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0.
（1）根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
（2）池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：)
【答案】（1）甲，
（2）6月份
【解析】
【分析】（1）根据三月底水生植物面积增量几乎是二月份的一倍，可确定甲同学的模型较合适，代值即得方程组，解之可得函数模型的解析式；
（2）依题意列出不等式，通过取对数，将其化成，代值计算即得.
【小问1详解】
因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适，
由题意得，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，一月底时水生植物面积为，
假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即
，
所以，
所以，
因为，所以，
所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的单调递增区间；
（3）函数在区间上恰好有18个零点，求的取值范围.
【答案】（1）π； （2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，进而求出周期.
（2）利用正弦函数的单调性质求出单调递增区间.
（3）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数零点个数列式求解即得.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
当时，，
由，得；由，得，
所以函数在区间上的单调递增区间是，.
【小问3详解】
当时，，
由函数在区间上恰好有18个零点，得，解得，
所以的取值范围是.
19. 已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.
（1）类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程；
（2）求函数的零点；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1），证明见解析
（2），
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）类比得到，并计算证明；
（2）计算得到，解方程得到，即，求出零点；
（3）求出，，不等式等价于fx2gx+2fx−2a>0，即ex−1ex−a>0，分，和00⇔ex−1ex−a>0，
当时，，故只需，解得，
原不等式的解集为0,+∞；
当时，ex−12>0，只需，解得，
原不等式的解集为；
当0