江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】或，
所以．
故选：D.
2. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为：，
因其图象经过点，则得，解得，
于是，则该函数的定义域为，关于原点对称，
因，故函数为偶函数，图象关于y轴对称.
故选：B.
3. 已知α的终边经过点，且，则＝（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】A
【解析】因为α的终边经过点，且，
所以，再由，解得，
由正切函数定义得：，
故选：A.
4. 已知扇形OAB的周长为8cm，圆心角，则该扇形中弦长（ ）
A. 2 cmB. 4 cm
C. 2sin1 cmD. 4sin1 cm
【答案】D
【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，
由已知得，解得，则弦长（cm）．
故选：D.
5. 如果是实数，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，不妨设，则.而当时，可能，此时，而.综上所述“”是“”的充分不必要条件.
6. 已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，csα，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】关于x的一元二次方程的两根为
，可得m，
又由韦达定理可得
所以
解得即m．
故选：C.
7. 已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A. 9B. C. 3D.
【答案】B
【解析】由题设，又，得，
整理得，且，则，
u所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：B.
8. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
作出函数的图象，如图所示：
关于x的方程至少有两个不等的实根，
即关于x的方程至少有两个不同的交点，
所以，
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以，解得．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】A中，因为，可得，所以，所以A正确；
B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确；
C中，，
因为，，而，所以，即，所以C正确；
D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确．
故选：AC.
10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（ ）
A. 点P所满足的函数表达式为
B. 点P第一次到达最高点需用时5秒
C. P再次接触水面需用时10秒
D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
【答案】BC
【解析】函数中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，A错误；
令得，则，解得，
所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．
故选：BC.
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数的周期为π
C. 函数在区间上为增函数
D. 当时，函数的图象恒在直线的下方
【答案】ACD
【解析】对于A，函数的定义域为R，有，
则为奇函数，故A正确；
对于B，因，
故π不是函数的周期，故B错误；
对于C，因，
当时，为增函数且，
由复合函数的单调性知， 也是增函数，
故在上递增，，
又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确；
对于D，，
当时，由函数与的图象（如图）可知：，
因，则有恒成立，故，
即函数的图象恒在直线的下方，故D正确．
故选：ACD.
在上的单调性判断其在上的单调性，有时还需结合函数的结构组成运用不等式性质说明函数图象的位置.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _______．
【答案】
【解析】
故答案为：.
13. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________．
【答案】
【解析】因函数为奇函数，，
函数关于x＝1对称，则有，
则有，变形可得，
则有，即4是函数的一个周期，
则，
又由当时，，则，
则.
故答案为：.
14. 已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______．
【答案】
【解析】首先分析对，均有或，令，解得，
故当时需要，
易得二次函数的对称轴为，
故需确保且右边根，
,解得，
，解得，
综上，①；
再分析存在当时，，
故存在，，
故左边根，解得②，
综合①②取交集，可得，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：（1）
集合，
当时，，所以.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，得集合B是A的真子集，
而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
16. 已知第三象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为为第三象限角，且，
所以，解得（正值舍去），
所以；
（2）
17. 已知函数的图象过点．
（1）求实数的值；
（2）证明：函数为偶函数；
（3）求关于的不等式的解集．
解：（1）函数的图象过点，
所以，即，，
则，则，所以；
（2）证明：函数，
故为偶函数；
（3）不等式可化为，
即，解得，
所以，
故不等式的解集为．
18. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为．
（1）求函数的解析式；
（2）设在上的两个零点为，求的值；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b．
解：（1）因为，得到，
所以的一条对称轴为，
此时，则，从而解得，
又，且，得．
从而；
（2）由题意得，
令，得到，
因为，，
所以，解得，
从而；
（3）根据图象平移得，
令，则或，
由在[0,b]（）上至少有10个零点，易知，则，
所以，又b为正整数，故最小正整数b为10．
19. 已知函数，．
（1）若方程有4解，求a的取值范围；
（2）对恒成立，求a的取值范围；
（3）对，恒成立，求λ的取值范围．
解：（1）令，且函数最小值，则在上存在两个不等的实数解，
所以且，解得，即a的取值范围是．
（2）因为，设，且在是单调递增，
，即解得，满足题设；
，即，解得，满足题设；
若，则在上恒有，而，显然不满足题设；
若，，解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
（3）因为，在是单调递增，所以，
设，则，，不妨设，而，
，
当，，即时，取得等号，
从而，
所以，
综上所述，实数λ的取值范围是.