2022-2023学年江苏省南京师大附属实验学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京师大附属实验学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用并集的定义即可求解

【详解】因为，，所以，

故选：B

2．已知命题，则 （     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用全称命题的否定形式，即得解

【详解】利用全称命题的否定形式，可得：

：

故选：C

3．不等式的解集是（   ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】依题意，

解得或，

所以不等式的解集是或

故选：D

4．已知，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】由于，所以，构造基本不等式即可解决问题.

【详解】，

，

当且仅当，即时取等号，

故选：D.

5．下列计算正确的是（　　）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】根据指数幂的运算法则逐项分析即得.

【详解】A，，故A错误；

B，，故B错误；

C，，故C正确；

D，，故D错误.

故选：C．

6．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A，D选项.

【详解】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；

对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.

故选：B．

7．已知，则（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】B

【解析】令，求得，然后可计算．

【详解】设，则，∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查求函数解析式，解题方法是换元法．

8．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（    ）

A．2 B．10 C．100 D．10000

【答案】C

【分析】根据对数运算结合题意运算求解.

【详解】设乙市地震所散发出来的能量为，甲市地震所散发出来的能量为，

则，，两式作差得，

故，则.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题中不正确的是（    ）

A．， B．

C．， D．

【答案】ABC

【分析】举反例判断出选项中的命题不正确，或使用不等式的性质证明选项中的命题正确即可.

【详解】对于A，若，，，则，不能推出，故A不正确；

对于B，若，，，则不能推出，故B不正确；

对于C，若，，，，则，不能推出，故C不正确；

对于D，若，则且，所以，即，故D正确.

故选：ABC.

10．已知，且，下列说法不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】AD可举出反例；C选项可推导出或；B选项，根据单调可得到.

【详解】若，则无意义，A错误；

因为，且为单调函数，所以，B正确；

因为，则，所以或，C错误；

若，则无意义，D错误.

故选：ACD

11．以下函数图象中不为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据奇函数图象的对称性确定正确答案.

【详解】奇函数的图象关于原点对称，

所以A选项的图象是奇函数的图象，BCD选项的不是奇函数的图象.

故选：BCD

12．已知定义在上的偶函数，它在上的图象如图所示，则该函数（    ）

A．有两个单调递增区间 B．有三个单调递减区间

C．在其定义域内有最大值7 D．在其定义域内有最小值

【答案】AC

【分析】根据题意补全函数的图象，进而观察图象求得答案.

【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示．由图象可知该函数有两个单调递增区间，两个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值．

故选：AC．

三、填空题

13．设a，b为实数，已知，且M＝N，则a＝________．

【答案】1

【分析】由集合相等的定义求解即可

【详解】因为，

所以，

故答案为：1

14．若，则_______________．

【答案】

【分析】利用指数对数互化式即可求出答案.

【详解】因为，所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查指数的定义，熟练掌握指数对数互化式为解题的关键，属于简单题.

15．设函数，则___________.

【答案】

【分析】代入即可求值.

【详解】 ,

故答案为：

16．设m为实数，若函数是偶函数，则m的值是_______．

【答案】0

【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.

【详解】因为函数是偶函数，所以，

所以，得，所以，

故答案为：0.

四、解答题

17．已知集合．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据并集的定义计算可得；

（2）根据交集、补集的定义计算可得；

【详解】（1）解：因为，，

所以．

（2）解：因为，，，

所以，

所以．

18．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|m－4≤x≤3m＋1}．

(1)求A；

(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解出即可；

（2）由题意知若“”是“”的充分不必要条件则集合是集合的真子集，从而求出m的取值范围，讨论即可.

【详解】（1）由，

所以，即集合.

（2）若“”是“”的充分不必要条件

则集合是集合的真子集，

由集合不是空集，故集合也不是空集

所以有

当，满足题意，

当，满足题意，

故，即m的取值范围为：.

19．计算：

(1)log3(27×92)；

(2)log2(log232＋＋log436)；

(3)log730－log712－；

(4)＋．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】利用指数运算公式以及对数公式即可求解.

【详解】（1）

（2）

（3）

（4）

20．已知，，且．

(1)求的最大值，以及取最大值时、的值；

(2)求证：．

【答案】(1)的最大值为，取最大值时，

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式即得；

（2）利用“乘1法”可证.

【详解】（1）由基本不等式，得，

则，得．

当且仅当时，等号成立，

故的最大值为，取最大值时，．

（2）证明：

，

当且仅当时，等号成立，

故，当且仅当时，等号成立．

21．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?

【答案】将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.

【分析】设底面长为，宽为，由容积为，可得，列出水池的总造价关于的函数关系可得，借助均值不等式即得解

【详解】设底面长为，宽为

则

水池的总造价：

（元）

当且仅当时，等号成立.

所以，将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.

22．已知函数.

（1）用分段函数的形式表示；

（2）画出的图象，并写出函数的单调区间、值域.

【答案】（1）；（2）图象见解析，单调递增区间为，无单调递减区间，值域为.

【分析】（1）分、两种情况可化简函数的解析式；

（2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的单调区间与值域.

【详解】（1）当时，，

当时，.

故；

（2）函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，

函数的值域为.