上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷（解析版）

这是一份上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷（解析版），共11页。
1. 已知集合，则__________.
【答案】
【解析】依题意，.
2. 经过化简，可得恒等式（其中），则__________.
【答案】
【解析】依题意，，而，
则，而，解得，所以.
3. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】因为函数 ，所以，解得，
函数定义域为.
4. 函数 的最小值是__________.
【答案】
【解析】因为函数是单调减函数，
所以函数的最小值是x=6时，.
5. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________.
【答案】
【解析】因为函数是定义域为的奇函数，
所以.
6. 已知常数a>0且，假设无论取何值，函数的图象恒经过一个定点，则此点的坐标是__________.
【答案】
【解析】依题意，当时，恒有，因此函数图象过定点.
7. 已知，则______．
【答案】1
【解析】，则，，
．
8. 已知幂函数在上是严格减函数，则实数__________.
【答案】1
【解析】由幂函数在上是严格减函数，
得，解得，所以实数.
9. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为，
关于的不等式有解，
即，所以，解得：，则实数取值范围是.
10. 已知函数的表达式是，则满足的实数的最大值是__________.
【答案】
【解析】当时，有，
又定义域为，故为偶函数，
又当时，单调递增，故对有，
即，即有，解得，
故的最大值为.
11. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若ΔABC是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________．
【答案】
【解析】设
因为，所以，
因为ΔABC是等腰直角三角形，所以可得，
又因为在函数图象上，
所以，解得
点A的横坐标为.
12. 同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ，称与为同构式. 已知实数满足，则__________.
【答案】3
【解析】函数在R上单调递增，且，
由，得，则，
即，因此，则，
所以.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 在二十四节气中，冬季的节气有立冬､小雪､大雪､冬至､小寒和大寒，则“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”，
“甲出生冬季”不能推出“甲出生在冬至”，
所以“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要条件.
故选：B.
14. 用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（ ）
A. 且B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】用反证法证明时，假设结论的反面成立：即假设且成立.
故选：C.
15. 已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为对任意，都有，且，
所以在上单调递增，且；
因为恒成立，所以，解得，
所以的零点为，
故选：B.
16. 根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响. 若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中 . 当不变，与均变为原来的2倍时，有关于的两个命题:
①存在和，使得变为原来的2倍；
②若，则最多可变为原来的2倍.
则下列说法正确的是（ ）
A. ①②都是真命题B. ①是真命题②是假命题
C. ①假命题②是真命题D. ①②都是假命题
【答案】C
【解析】在中，当不变，与均变为原来的2倍时，
，
对于①，若变为原来的2倍，则，即有，
当，时，，则，
因此无解，即不存在和，使得变为原来的2倍，①错误；
对于②，由，得，
因此，解得，
当且仅当，即时取等号，，
所以最多可变为原来的2倍，②正确.
故选：C.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知关于的一元二次方程的两个根为，其中m>0，且.
（1）求实数的值；
（2）求和的值.
解：（1）依题意，，由，得，
则，而，所以.
（2）由（1）知，，
所以；
.
18. 设全集，集合.
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
解：（1）解不等式，得，则，
不等式，解得，则，
或，所以.
（2）选择条件①，，则，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
选择条件②，，则，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数取值范围是.
选择条件③，，而，因此，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）.
（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
（2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值.
解：（1）由题意得，
令即，整理得：，
即，解得，
所以设备占地面积的取值范围为.
（2），由基本不等式得
，
当且仅当，即时等号成立，
所以设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元.
20. 已知函数是定义域为的奇函数，且.
（1）求函数的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）依题意函数是定义域为的奇函数，所以，所以，
又，解得.
此时，经检验，该函数为奇函数．
故.
（2）函数在上递增，证明如下：
任取，则，，
因为，，所以，
所以，故在上递增.
（3）由（1）得，
若对任意的，存在，使得成立，则，
由（2）得在上递增，所以，
存在，成立，即，
若，则在上为增函数，
，，
若，则，此时符合题意．
若，则在上为减函数，
，符合题意，
综上可知：.
即实数的取值范围是：.
21. 对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．
（1）判断函数，是否是“型函数”；
（2）若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式：
（3）若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域．
解：（1）对于函数，
对定义域中的任意不可能恒成立，
因此函数不是“型函数”；
对于函数，
，
故存在实数对，使对定义域中的任意都成立，
因此函数是“型函数”.
（2）因为函数（其中为常数，且）是“型函数”，
且存在满足条件的实数对，
所以对定义域中的任意都成立，
则，
所以且，所以.
（3）∵定义域为的函数是“型函数”，
且存在满足条件的实数对和，
∴，且，
由，用替换可得，
∵当时，的值域为，
当时，，，∴，
当时，，即．
由，用替换可得，
又，，则，
用替换可得.
当时，，，∴，
当时，，，∴，
依次类推可知，当时，，
当时，，
∴当时，，
当时，，∴，
∴，
综上可知，当时，函数的值域为.