上海市松江区2025届高三下学期模拟考质量监控数学试题（解析版）

这是一份上海市松江区2025届高三下学期模拟考质量监控数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A={-1,0,1,2},B=x∣y=lg2x，则A∩B= .
【答案】{1,2}
【解析】集合B是函数y=lg2x的定义域，对数函数中真数大于0，所以B={x∣x>0}，
又A={-1,0,1,2}，所以A∩B=1,2.
故答案为：1,2.
2．抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是 .
【答案】4
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.
3．若复数z满足1+iz=i（其中i是虚数单位），则|z|= .
【答案】2
【解析】已知1+iz=i，
则z=1+ii．将分子分母同时乘以i的共轭复数-i进行化简，
z=(1+i)(-i)i×(-i)=-i-i2-i2，因为i2=-1，所以z=-i-(-1)-(-1)=1-i，
|z|=1+1=2．
故答案为：2．
4．已知空间向量a=2,m,3,b=-4,2,2，若a⊥b，则m= .
【答案】1
【解析】因为a⊥b，所以a⋅b=-8+2m+6=0，解得m=1.
故答案为：1.
5．3x2+1x6的二项展开式中的常数项为 .
【答案】135
【解析】由题，二项展开式的通项为Tr+1=C6r3x26-r⋅1xr=C6r36-r⋅x12-2r⋅x-r=C6r36-r⋅x12-3r.
令12-3r=0，得r=4.
所以常数项为C6432=6!4!(6-4)!×9=15×9=135.
故答案为：135.
6．根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为y=ax+10.3，则回归系数a的值为 .
【答案】-0.7/-710
【解析】首先计算x=6+8+9+10+125=9,y=6+5+4+3+25=4.
因为回归直线过样本中心点(x,y)，把(9,4)代入y=ax+10.3，
可得4=9a+10.3,9a=-6.3，解得a=-0.7.
故答案为：-0.7.
7．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法.
【答案】12
【解析】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放.
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有A22种排法，与余下的两辆车全排有A33种排法，
所以共有A22⋅A33=12种不同的停放方法.
故答案为：12.
8．在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东80°的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西40°的方向，甲丙两人间的距离为7km，则乙丙两人间的距离为 km.
【答案】1
【解析】如图，在△ABC中，∠A=80°+40°=120°，AB=2,BC=7.
由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅csA，可得
7=22+AC2-2×2×AC×cs120°=4+AC2-4AC×-12=AC2+4+2AC，
即AC2+2AC-3=0，
解得AC=1，即乙丙两人间的距离为1km.
故答案为：1.
9．已知点P为直线l:x+y+1=0上的点，过点P作圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的切线PA，切点为A，则cs∠PNA最大值为 .
【答案】23
【解析】圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1,1)，半径r=1，
∴cs∠PNA=NANP=1NP，
当NP最小时，cs∠PNA最大.
NP的最小值为圆心N到直线l:x+y+1=0的距离d，
根据点到直线距离公式d=|1+1+1|12+12=32=322，
所以(cs∠PNA)max=1322=23.
故答案为：23.
10．如图在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3,PB=2,PC=1，设M是底面ABC内一点，定义f(M)=(m,n,p)，其中m,n,p分别表示三棱锥M-PAB，三棱锥M-PBC，三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=(23,x,y)，且ax+1y≥12恒成立，则正实数a的最小值为 .
【答案】1
【解析】在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3,PB=2,PC=1，
则x+y+23=VP-ABC=16PA⋅PB⋅PC=1，解得 x+y=13，又x>0,y>0,a>0，
因此ax+1y=3(ax+1y)(x+y)=3(a+1+ayx+xy)≥3(a+1+2a)，
当且仅当ayx=xy时取等号，由ax+1y≥12恒成立，得3(a+1+2a)≥12，
于是(a+1)2≥4，解得a≥1，所以正实数a的最小值为1.
故答案为：1.
11．设向量a=x1,y1,b=x2,y2，记a⋆b=x1x2-y1y2.若点A1、A2、A3为圆C：x2+y2+4x-2y=0上任意三点，且满足A1A2⊥A2A3，则OA1⋆OA2+OA2⋆OA3的取值范围是 .
【答案】0,16
【解析】将圆C:x2+y2+4x-2y=0化为标准方程(x+2)2+(y-1)2=5，圆心C(-2,1)，半径r=5.
因为A1A2⊥A2A3，所以A1A3为圆的直径.
设A1x1,y1,A2x2,y2，A3x3,y3,OA1=x1,y1,OA2=x2,y2,OA3=x3,y3.
由OA1*OA2+OA2*OA3=x1x2-y1y2+x2x3-y2y3=x2x1+x3-y2y1+y3.
因为A1A3为直径，所以x1+x3=-4,y1+y3=2，
则OA1*OA2+OA2*OA3=-4x2-2y2.
令z=-4x-2y，即y=-2x-z2，且(x+2)2+(y-1)2=5，
当直线y=-2x-z2与圆相切时，z取得最值.
根据圆心到直线的距离等于半径，可得4×(-2)+2×1+z42+22=5，解得z=16或z=-4，
所以z∈0,16，则OA1*OA2+OA2*OA3的取值范围是0,16.
故答案为：0,16.
12．设a∈R，若函数f(x)=sin(2πx-2πa),x0，
所以h(t)在1,+∞上单调递增，则h(t)>h(1)=0，即t-1>lnt；
再证t-1lnt1，即证t-11，则m'(t)=lnt+1-1=lnt>0，
所以m(t)在1,+∞上单调递增，则m(t)>m(1)=0，即t-1