上海市松江区2026届高三上学期期末质量监控（一模）数学试卷（Word版附解析）

这是一份上海市松江区2026届高三上学期期末质量监控（一模）数学试卷（Word版附解析），文件包含上海市松江区2026届高三上学期期末数学试题原卷版docx、上海市松江区2026届高三上学期期末数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
（满分150分，完卷时间120分钟） 2025.12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名.
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合，，则________．
2. 抛物线焦点到其准线的距离为________．
3. 不等式的解集为________．
4. 复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________．
5. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为________．
6. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是_________.
7. 比较两数的大小：________．
8. 设，若，则的值为________．
9. 已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________．
10. 将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有________种不同的排法．（结果用数值表示）
11. 某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为________．（结果精确到）
12. 在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 下列函数中，对任意的、时，均有的是（ ）
A B.
C. D.
15. 已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论：
①当时，；②的最大值为（ ）
A. ①正确，②错误B. ①②都正确C. ①错误，②正确D. ①②都错误
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记．
（1）求函数的表达式；
（2）若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和．
18. 已知四棱锥底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
19. 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9．
（1）求这组数据的极差和中位数；
（2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率；
（3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由．
20. 已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率；
（3）设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围．
21. 已知函数，正常数，记．
（1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围；
（3）求证：对于任意正整数n，都有．