2022-2023学年北京市丰台区高三上学期期末练习数学试题（PDF版）

丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习参考答案

高三数学

2023. 01

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．          12．；5                   13．

14．4                       15． ①④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题13分）

（Ⅰ）证明：连接，交于点，

依题意知，四边形为正方形，所以是

线段的中点，

        连接，因为为棱的中点，

            所以，        

            因为平面，平面，           

            所以平面.                               ………………5分

（Ⅱ）解：设正方体的棱长为1,    

            以为坐标原点，，， 所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，           

            则，，，，

  ，  

            因为点是线段的中点，为棱的中

  点，     

            所以，，                       

            所以，，.

            设是平面的一个法向量，则

取，则，.

于是是平面的一个法向量.        

设直线DF与平面所成角为，

所以，

所以直线DF与平面所成角的正弦值为.        ………………13分

17.（本小题14分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得，

因为

所以，                                

因为，

所以，                                       

因为，

所以或；                                    ………………7分

（Ⅱ）若选择①，

在△ABC中，，

因为，所以．

又因为，

所以

，

在△ABC中，由正弦定理可得，

所以.             ………………14分

若选择②，

在△ABC中，因为，所以，

因为，，，

所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以，

所以．

18.（本小题14分）

解：（Ⅰ）由题意

          所以；                                       ………………3分

（Ⅱ）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A，

    ，

    所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为0.3.

X可能取值为0,1,2.

；                           

；                       

.                           

所以X的分布列为

 .                 ……………11分

（或因为，所以）

（Ⅲ）.                                                ………………14分

19.（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题意得

解得，.

所以椭圆的方程是.                       ………………5分

（Ⅱ）因为，，所以直线的方程为（）.

           由得，

即.

     因为点的横坐标为，所以点的横坐标为，

代入直线的方程可得点的纵坐标为，

即.

           又点的坐标为，

           所以，

又因为，所以.

           即为定值.                              ………………15分

20.（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题意得，，所以，

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；                      ………………4分

（Ⅱ）因为，

因为和均在区间因为上单调递减，

所以在区间上单调递减，

因为，，

所以在上有且只有一个零点，记为，

所以时，；时，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

因为，所以在区间上的最小值为.

………………10分

（Ⅲ）函数的定义域为，

由（Ⅱ）知，在区间上的最小值，

又当时，，

所以在区间上没有零点；

当时，，所以在区间上单调递增，

因为，

所以在区间上仅存在一个零点；

综上所述，函数有且仅有一个零点.                    ………………15分

21.（本小题14分）

解：（Ⅰ）数列A是数列，                                 

         数列B不是数列.                                  ………………3分

（Ⅱ）不存在正实数，使得数列是数列.        

      说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列 .

      则，.

因为，

所以，   

当时，，这与假设矛盾.

         所以不存在正实数，使得数列是数列.       ………………7分

（Ⅲ）因为数列是数列，则，

所以

所以，，，……，，

所以

即

所以，

所以，

所以的最小值不小于30.                            

假设，必有，

解得，

因为，所以，                    

当m=9时，=21，存在满足条件的数列 ；

当m=10时，=20，存在满足条件的数列；

当m=11时，=19，存在满足条件的数列；

当m=12时，=18，存在满足条件的数列.

以上都是的充分条件.

所以的最小值为30，此时的所有可能取值为18，19，20，21.  …14分