人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)学案，共37页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3等内容，欢迎下载使用。


知识点01 常见的几类函数模型及其应用
1．指数函数模型
能用指数型函数f(x)abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，且b≠1)表达的函数模型叫做指数函数模型，若a＞1，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“爆炸式增长”．指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类．
(1)平均增长率问题：若原来产值或产量的基数为N，平均增长率为P，则对于时间x的产值或产量y，可以用公式yN(1＋P)x(N≠0)表示．
(2)储蓄中的复利计算问题：若本金为a元，每期利率为r，本息和为y，存期为x，则ya(1＋r)x(a≠0)．
2．对数函数模型
能用对数型函数f(x)mlgax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，且a≠1)表达的函数模型叫做对数函数模型，若a＞1，则其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着自变量的逐渐增大，函数值增大的速度越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，对于此类问题，我们要从中提炼出数据，代入函数关系式求出参数的值，然后解答实际问题．
3．幂函数模型
能用幂型函数f(x)axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
【即学即练1】某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
知识点02 用函数模型求解应用问题的步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
【即学即练2】某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( )
A．x＞22%B．x＜22%
C．x22%D．x的大小由第一年产量确定
知识点03拟合函数模型的建立
1.数学建模
研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模．
2.函数拟合
根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．
3.函数拟合与预测的一般步骤
(1)绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图；
(2)连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；
(3)列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；
(5)预测：利用选取的拟合函数进行预测；
(6)结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
【即学即练3】
1.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则每年沙漠面积增加值y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y0.2x B．yeq \f(1,10)(x2＋2x)
C．yeq \f(2x,10) D．y0.2＋lg16x
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( A )
A．指数函数：y2t B．对数函数：ylg2t
C．幂函数：yt3D．二次函数：y2t2
题型01 指数函数模型的应用
【典例1】（23-24高一上·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（ ）
A．15hB．30hC．40hD．80h
【变式1】（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）
A．100B．230C．130D．365
【变式2】国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．3.8小时B．4小时C．4.4小时D．5小时
【变式3】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，若当空气温度为30 ℃时，某物体的温度从90 ℃下降到80 ℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________ ℃.
【变式4】假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（参考数据：，，）
A．85B．100C．170D．225
题型02 对数函数模型的应用
【典例2】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则，则a的值可以是（ ）（参考数据：，）
A．4.7B．4.5C．4.8D．5.0
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）

A．5米B．10米C．45米D．70米
【变式2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
【变式3】2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级：
设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
题型03 幂函数模型的应用
【典例3】．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金170万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【变式1】某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.
题型04 利用给定函数模型解决实际问题
【典例4】（24-25高三上·安徽·阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ）
A．4hB．6hC．8hD．12h
【变式1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则 .
【变式2】2018年“平安夜”前后，某水果超市从12月15日至1月5日（共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天），某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日卖出了这种苹果 千克.
题型05 拟合函数模型的建立与应用
【典例5】数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示：
根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择.
(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，）
【变式1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：
①；②且.
(1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式；
(2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，）
【变式2】由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据．
(1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式；
(2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算）
一、单项选择题
1.某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：Tt3－3t＋80.若t0表示中午12∶00，下午t取值为正，则上午8：00的温度是( D )
A．112 ℃ B．58 ℃
C．18 ℃D．8 ℃
2．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ）
A．1.1倍B．1.25倍C．1.1025倍D．1.0025倍
3.（24-25高一上·全国·课后作业）某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，第五个月销售了1800台，则下列函数模型中能较好地反映销量与投放市场的月数（，）之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一上·江西景德镇·期末）地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（ ）倍（参考数据：）
A．110B．115C．120D．125
5.（23-24高一上·广东广州·期末）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（ ）
A．8小时B．9小时C．10小时D．11小时
6.（23-24高一下·广东揭阳·期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区，假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取，）
A．10B．9C．8D．7
7.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据：
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
8.（23-24高一上·四川雅安·期末）碳14是一种放射性物质，当生物死亡后，机体内的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14所剩的质量为.一名学者在今年的一次考古活动中，对出土的文物标本进行研究，发现碳14的含量是原来的，可以推测该文物属于下列哪个时期（ ）（参考数据：）
参考时间线：

A．战国B．汉C．唐D．宋
二、多项选择题
9．如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( )
A．图2的建议为减少运营成本B．图2的建议可能是提高票价
C．图3的建议为减少运营成本D．图3的建议可能是提高票价
10.（23-24高一上·广东·期末）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.本金为（单位：元），每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则下列命题是真命题的是（ ）
A．本利和关于存期数的函数解析式为
B．本利和关于存期数的函数解析式为
C．若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为1022.5元
D．若存入本金1000元，每期利率为，则4期后的本利和为1090元
11. （23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示.则下列说法错误的是（ ）

A．浮萍面积的月增长率为1B．浮萍面积的月增加量都相等
C．第4个月，浮泙面积为D．
填空题
12．（24-25高一上·全国·课前预习）某种动物繁殖的数量y（只）与时间x（年）的关系为，若这种动物第一年有100只，则到第15年会有 只．
13．（24-25高一上·上海·期中）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年（年底统计）全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ．（年底统计）
14．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的命题序号是 ．
（1）这个指数函数的底数为3；
（2）浮萍每月增加的面积都相等；
（3）第4个月时，浮萍面积不超过；
（4）若浮萍曼延到、、所经过的时间分别是、、，则．
解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业）富兰克林（Benjamin Franklin，1706-1790）是美国著名的政治家和物理学家，去世后留下的财产并不可观，大致只有英镑．但令人惊奇的是，他竟然留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱！这份遗嘱是这样写的：
“……英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这英镑，那么这笔钱应托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年的利率借给一些年轻的手工业者去生息，这笔钱过了年增加到英镑．我希望那时候用英镑来建立一座公共建筑物，剩下的英镑拿去继续生息年．在第二个年末了，这笔款增加到英镑，其中英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的英镑让马萨诸塞州的公众来管理，从此之后，我可不敢多作主张了．”
你认为富兰克林的设想有道理吗？为什么？
16．（23-24高一上·福建南平·期末）燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度（米/秒）之间满足关系：．
(1)当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？
(2)若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：）
17．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
18．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米.
(1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围；
(2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小.
19．（22-23高一上·广东清远·期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.
(1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.课程标准
学习目标
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
1.理解指数函数模型.
2.理解对数函数模型.
3.理解幂函数模型.
4.理解几类函数模型的建立及应用．
声源
与声源的距离（单位：）
声强级范围
内燃列车
20
电力列车
20
高速列车
20
月份
2
3
4
5
6
月收入（万元）
1.4
2.580
5.31
11
21.3
月
吨
刹车时车速
15
30
40
70
80
80
刹车距离
1.23
6.20
11.5
17.80
25.20
44.40
0
40
80
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
2
3
5
3.5
4.5
5.5
第08讲 函数的应用（二）

知识点01 常见的几类函数模型及其应用
1．指数函数模型
能用指数型函数f(x)abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，且b≠1)表达的函数模型叫做指数函数模型，若a＞1，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“爆炸式增长”．指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类．
(1)平均增长率问题：若原来产值或产量的基数为N，平均增长率为P，则对于时间x的产值或产量y，可以用公式yN(1＋P)x(N≠0)表示．
(2)储蓄中的复利计算问题：若本金为a元，每期利率为r，本息和为y，存期为x，则ya(1＋r)x(a≠0)．
2．对数函数模型
能用对数型函数f(x)mlgax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，且a≠1)表达的函数模型叫做对数函数模型，若a＞1，则其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着自变量的逐渐增大，函数值增大的速度越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，对于此类问题，我们要从中提炼出数据，代入函数关系式求出参数的值，然后解答实际问题．
3．幂函数模型
能用幂型函数f(x)axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
【即学即练1】某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
【答案】D
【解析】 细菌的个数y与分裂次数x的函数关系为y2x，令2x212，解得x12，又每15 min分裂一次，所以共需15×12180 min，即3 h．
知识点02 用函数模型求解应用问题的步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
【即学即练2】某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( )
A．x＞22%B．x＜22%
C．x22%D．x的大小由第一年产量确定
【答案】C
【解析】 由题意设第一年产量为a，则第三年产量为a(1＋44%)a(1＋x)2，∴x0.2.故选B．
知识点03拟合函数模型的建立
1.数学建模
研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模．
2.函数拟合
根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．
3.函数拟合与预测的一般步骤
(1)绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图；
(2)连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；
(3)列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；
(5)预测：利用选取的拟合函数进行预测；
(6)结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
【即学即练3】
1.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则每年沙漠面积增加值y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y0.2x B．yeq \f(1,10)(x2＋2x)
C．yeq \f(2x,10) D．y0.2＋lg16x
【答案】D
【解析】当x1时，排除选项B；当x3时，排除选项A、D，检验C项较为接近．
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( A )
A．指数函数：y2t B．对数函数：ylg2t
C．幂函数：yt3D．二次函数：y2t2
【答案】A
【解析】由题意知函数的图像在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图像过(1,2)点，所以图像由指数函数来模拟比较好，故选A．
题型01 指数函数模型的应用
【典例1】（23-24高一上·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（ ）
A．15hB．30hC．40hD．80h
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解．
【详解】，
当时，，
当时，，解得，
当时，
【变式1】（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）
A．100B．230C．130D．365
【答案】C
【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得.
【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，
此时“进步值”为，“退步值”为，即，
所以，则，
所以天．
【变式2】国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．3.8小时B．4小时C．4.4小时D．5小时
【答案】C
【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解.
【详解】由题意可知，即有，
令，则有，解得，
，故还需要4小时才能消除至最初的.
.
【变式3】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，若当空气温度为30 ℃时，某物体的温度从90 ℃下降到80 ℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________ ℃.
【答案】37.5
【解析】 ∵θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，
又∵当空气温度为30 ℃时，某物体的温度从90 ℃下降到80 ℃用时14分钟，
∴8030＋(90－30)e－14k，解得e－14keq \f(1,2)，
则再经过28分钟后，相当于当过了42分钟后，
θ30＋(90－30)e－42k30＋80×(e－14k)330＋80×eq \f(1,8)37.5 (℃)．
故答案为：37.5.
【变式4】假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（参考数据：，，）
A．85B．100C．170D．225
【答案】C
【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.
【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为，天后，甲、乙的“日能力值”分别、，
依题意可得，即，两边取对数得，
因此，
所以大约需要经过天，甲的“日能力值”是乙的倍.
题型02 对数函数模型的应用
【典例2】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则，则a的值可以是（ ）（参考数据：，）
A．4.7B．4.5C．4.8D．5.0
【答案】A
【分析】根据给定条件，建立方程，结合对数运算及对数函数单调性求解即得.
【详解】依题意，，则，即
由，得，因此，解得，
所以a的值可以是.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）

A．5米B．10米C．45米D．70米
【答案】D
【分析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，可得，，两式相减即可求出的值.
【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为，
则同学的声强为，喷出泉水高度为，
由题意知，，
即①，
又，
即②，
得，
解得.
.
【变式2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解.
【详解】由题意可得，当时，，
当时，，
所以
，
所以的增长率约为.
【变式3】2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级：
设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级，即可判断A；计算可得大小关系，即可判断B，D；计算可得大小关系，即可判断.
【详解】对于：因为声强时，声强级，
所以，解得，故错误；
对于B：因为，
所以，即，故B正确；
对于C：，
所以，即，故C不正确；
对于D，，
所以，即，故D不正确．
．
【变式4】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
【答案】A
【解析】由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，
则由m2－m1eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，
得－26.7＋1.45eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)－25.25，
∴lg eq \f(E1,E2)－10.1，lg eq \f(E2,E1)10.1，eq \f(E2,E1)1010.1.
题型03 幂函数模型的应用
【典例3】．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金170万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【答案】C
【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可.
【详解】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
【变式1】某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出年通过理财业务的收入为亿元，根据题意可得出关于的不等式，解出的范围即可得解.
【详解】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元，
因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，
所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为，
.
【变式2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
．
【变式3】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.
【答案】125
【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可.
【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，
所以，即
当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为，
故答案为：
题型04 利用给定函数模型解决实际问题
【典例4】（24-25高三上·安徽·阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ）
A．4hB．6hC．8hD．12h
【答案】D
【分析】根据给定条件求出值，再由废气中的污染物含量不超过的列出不等式求解即得.
【详解】依题意得，当时，，
当时，，则，
可得，即，所以，
当时，解得，
故至少需要过滤8h才能达到排放标准．
.
【变式1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则 .
【答案】
【分析】根据题意，将点代入函数模型，求出的值，从而可求解.
【详解】由题意可得则，解得.
因为，即，
所以，所以，解得.
故答案为：.
【变式2】2018年“平安夜”前后，某水果超市从12月15日至1月5日（共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天），某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日卖出了这种苹果 千克.
【答案】21.
【分析】计算得到直线方程为，当时计算得到答案.
【详解】当时，设直线方程为，
将点，代入直线解得 ，故
当时，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据图像求解析式，意在考查学生的应用能力.
题型05 拟合函数模型的建立与应用
【典例5】数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示：
根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择.
(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，）
【答案】(1)用函数这一模型较好，理由见解析
(2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元
【分析】（1）由题意，描点并和函数图象比较，可得答案；
（2）解法一：根据题意建立不等式，利用对数运算即可；解法二：指数函数的单调性试根.
【详解】（1）对已知数据进行描点：
由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近，
因此用函数这一模型较好
（2）解法一：当时，即，∴，即，
∴，
故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.
解法二：当时，即，∵，，
故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元
【变式1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：
①；②且.
(1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式；
(2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)第二个模型与监测数据差距较小；总量再翻一番时还需要经过个月
【分析】（1）将前列数据代入第一个函数模型即可解方程组求得结果；
（2）将前列数据代入第二个函数模型可求得第二个函数模型的解析式；再将列数据分别代入两个模型，比较预估值与检测数据即可确定差距较小的函数模型；将代入模型即可求得总量再翻一番时所需时长，进而得到结果.
【详解】（1）将前列数据代入第一个函数模型得：，解得：，
第一个函数模型的解析式为：.
（2）将前列数据代入第二个函数模型得：，解得：，
第二个函数模型的解析式为：；
将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：；
将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：；
根据第列数据，第二个模型与监测数据差距较小；
总量翻一番时，，此时；
若总量再翻一番，则，由得：，，
，总量再翻一番时还需要经过个月.
【变式2】由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据．
(1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式；
(2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算）
【答案】(1)选择二次函数模型，
(2)，
【分析】（1）选择二次函数模型，结合图象经过点，再代入两个点，求出答案；
（2）在（1）的基础上，代入求值即可.
【详解】（1）选择二次函数模型，显然函数图象经过点，再近似地选取两个点和，
设二次函数为，
故，解得，
可求得；
（注：本题选取的点不同，所得到的函数解析式和下面所得的结果均可能不同．）
（2）当时，；
当时，有，解得（负舍）．
一、单项选择题
1.某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：Tt3－3t＋80.若t0表示中午12∶00，下午t取值为正，则上午8：00的温度是( D )
A．112 ℃ B．58 ℃
C．18 ℃D．8 ℃
【答案】A
【解析】本题考查函数的应用．由题意，上午8∶00时，t－4，所以温度T(－4)3－3×(－4)＋808(℃)，故选D．
2．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ）
A．1.1倍B．1.25倍C．1.1025倍D．1.0025倍
【答案】D
【分析】根据指数函数求解即可.
【详解】解：设某湖泊的蓝藻量为1，
由题意可知，每天的蓝藻量是以1.05为底的指数函数，
即，
所以经过2天后，湖泊的蓝藻量，
所以该湖泊的蓝澡变为原来的倍.
.
3.（24-25高一上·全国·课后作业）某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，第五个月销售了1800台，则下列函数模型中能较好地反映销量与投放市场的月数（，）之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好与题中的数据相对应.
【详解】将代入函数中观察可知，
函数符合条件.
.
4．（23-24高一上·江西景德镇·期末）地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（ ）倍（参考数据：）
A．110B．115C．120D．125
【答案】A
【分析】根据题意结合对数运算分析求解.
【详解】第一次，即①，
第二次，即②，
①②得，，即由题可知，，
．
5.（23-24高一上·广东广州·期末）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（ ）
A．8小时B．9小时C．10小时D．11小时
【答案】D
【分析】根据前5个小时消除了的污染物，由，求得k，再设污染物减少所用的时间为t，由求解.
【详解】因为在前5个小时消除了的污染物，所以，
解得，所以，
设污染物减少所用的时间为t，
所以，
所以，解得.
.
6.（23-24高一下·广东揭阳·期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区，假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取，）
A．10B．9C．8D．7
【答案】A
【分析】先根据条件建立对数不等式，从而得到，再利用换底公式即可求出的值，进而求出的范围得到结果.
【详解】假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过x年该种植区的脐橙产量为，
由题意得，得到，
又因为
所以，故至少需要经过的年数为10.
7.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据：
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.
【详解】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.
A选项：函数在定义域内单调递减，故A错误；
B选项：函数的单位增长率恒定不变，故B错误；
C选项：满足上述三点，故C正确；
D选项：函数在处无意义，D错误.
8.（23-24高一上·四川雅安·期末）碳14是一种放射性物质，当生物死亡后，机体内的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14所剩的质量为.一名学者在今年的一次考古活动中，对出土的文物标本进行研究，发现碳14的含量是原来的，可以推测该文物属于下列哪个时期（ ）（参考数据：）
参考时间线：

A．战国B．汉C．唐D．宋
【答案】A
【分析】列出方程，求出，，从而判断出答案.
【详解】令，
方程两边取对数得，
即，
又，故，
，
由于，故推测该文物属于战国时期，A正确.
二、多项选择题
9．如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( )
A．图2的建议为减少运营成本B．图2的建议可能是提高票价
C．图3的建议为减少运营成本D．图3的建议可能是提高票价
【答案】CC
【解析】根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得AD正确，BC错误．
10.（23-24高一上·广东·期末）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.本金为（单位：元），每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则下列命题是真命题的是（ ）
A．本利和关于存期数的函数解析式为
B．本利和关于存期数的函数解析式为
C．若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为1022.5元
D．若存入本金1000元，每期利率为，则4期后的本利和为1090元
【答案】AC
【分析】根据题目条件求出本利和的函数解析式，并代入计算出结果即可判断正误．
【详解】本利和关于存期数的函数解析式为，A正确，B错误．
若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为元，
4期后的本利和为元，，C正确，D错误．
C．
11. （23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示.则下列说法错误的是（ ）

A．浮萍面积的月增长率为1B．浮萍面积的月增加量都相等
C．第4个月，浮泙面积为D．
【答案】CC
【分析】根据图象所过点可求得函数解析式，可判断AB；代入可知C错误；分别求出相应函数值可得D.
【详解】过点，，则；
对于A，每个月的月增长率为，A正确；
对于B，浮萍面积第个月的增加量为；
第个月的增加量为，增加量不相等，B错误；
对于C，当时，，即浮萍面积为，C错误；
对于D，，则，D正确.
C.
填空题
12．（24-25高一上·全国·课前预习）某种动物繁殖的数量y（只）与时间x（年）的关系为，若这种动物第一年有100只，则到第15年会有 只．
【答案】400
【分析】令，解得：，再令，代入函数即可求解.
【详解】当时，，代入可得，
∴，∴当时，．
故答案为：400
13．（24-25高一上·上海·期中）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年（年底统计）全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ．（年底统计）
【答案】2023
【分析】结合指数的运算公式解决函数的实际应用.
【详解】，
故答案为：2023
14．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的命题序号是 ．
（1）这个指数函数的底数为3；
（2）浮萍每月增加的面积都相等；
（3）第4个月时，浮萍面积不超过；
（4）若浮萍曼延到、、所经过的时间分别是、、，则．
【答案】（1）（4）
【分析】将特殊点代入，求出解析式，逐个分析即可．
【详解】，将代入，即，则，则（1）正确；
因为
所以浮萍每月增加的面积是上一个月增加的面积的3倍，不相等，故（2）错误；
令，代入，解得，则（3）错误；
令，求得；令，求得；令，求得；
则，则（4）正确.
故答案为：（1）（4）.
解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业）富兰克林（Benjamin Franklin，1706-1790）是美国著名的政治家和物理学家，去世后留下的财产并不可观，大致只有英镑．但令人惊奇的是，他竟然留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱！这份遗嘱是这样写的：
“……英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这英镑，那么这笔钱应托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年的利率借给一些年轻的手工业者去生息，这笔钱过了年增加到英镑．我希望那时候用英镑来建立一座公共建筑物，剩下的英镑拿去继续生息年．在第二个年末了，这笔款增加到英镑，其中英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的英镑让马萨诸塞州的公众来管理，从此之后，我可不敢多作主张了．”
你认为富兰克林的设想有道理吗？为什么？
【答案】有道理，理由见解析
【分析】根据题意可知，通过计算英镑在年后的结果，即可求解.
【详解】根据题意可知，，
所以英镑在年后为英镑，
又英镑在年后为，
所以在理论上说，富兰克林的设想有道理.
16．（23-24高一上·福建南平·期末）燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度（米/秒）之间满足关系：．
(1)当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？
(2)若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：）
【答案】(1)35（米/秒）
(2)8（米/秒）
【分析】（1）由题意可列出指数方程，结合指数运算，即可求得答案；
（2）设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，可设燕子的耗氧量为时，飞行速度为，由题意列式，化简可得，两边取对数，结合对数运算，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，有，即，.
又，
所以，所以，
解得，故该燕子的飞行速度是35（米/秒）．
（2）设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，
则该燕子的耗氧量为，飞行速度记为，
依题意，有，
所以，则，
则，所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）.
17．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【答案】(1)
(2)当万元时，取最大值万元.
【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到；
（2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案.
【详解】（1），
因为，所以；
（2），
又因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号不成立，
所以，
故当万元时，取最大值万元.
18．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米.
(1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围；
(2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）表达出人行道占地面积，得到不等式，求出；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出面积最小值.
【详解】（1）矩形绿地东西侧边长为m，
则人行道占地面积为，
故，解得，
故x的取值范围为；
（2）
，
当且仅当，即m时，等号不成立，
故x为m时，才能使人行道的占地面积最小.
19．（22-23高一上·广东清远·期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.
(1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
【答案】(1)，
(2)模型①是“理想函数模型”，理由见解析
(3)（百万个
【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可；
（3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
由图表数据可得，
，，
联立上式，解方程可得，，
则；
当时，，
由图表数据可得，
联立上式，解方程可得，
则；
（2）考虑①，由，
可得，而
，
可得模型①是“理想函数模型”；
考虑②，由，可得
而，
所以模型②不是“理想函数模型”；
（3）由（2）可得时，
（百万个
课程标准
学习目标
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
1.理解指数函数模型.
2.理解对数函数模型.
3.理解幂函数模型.
4.理解几类函数模型的建立及应用．
声源
与声源的距离（单位：）
声强级范围
内燃列车
20
电力列车
20
高速列车
20
月份
2
3
4
5
6
月收入（万元）
1.4
2.580
5.31
11
21.3
月
吨
刹车时车速
15
30
40
70
80
80
刹车距离
1.23
6.20
11.5
17.80
25.20
44.40
0
40
80
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
2
3
5
3.5
4.5
5.5