人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系学案，共38页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4，典例01等内容，欢迎下载使用。


知识点01 反函数的概念
一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数．此时，称yf(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数yf(x)的反函数的表达式，可以通过对调yf(x)中的x与y，然后从xf(y)中求出y得到．
【即学即练1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
知识点02 反函数的性质
一般地，函数yf(x)的反函数记作yf－1(x)．则
(1)yf(x)的定义域与yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域与yf－1(x)的定义域相同．
(2)yf(x)与yf－1(x)的图像关于直线yx对称．
(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．
【即学即练2】函数ylg3 x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞)B．R
C．(－∞，0)D．(0,1)
知识点03求反函数的步骤
(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围．
(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y互换得yf－1(x)，注意定义域得反函数．
提醒：求反函数时，若原函数yf(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．
【即学即练3】函数yx＋3的反函数为__________．
知识点04指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数yax与对数函数ylgax互为反函数．
(2)指数函数yax与对数函数ylgax的图像关于直线yx对称．
【即学即练4】已知a>0，且a≠1，则函数yax与ylgax的图像只能是( )
A B C D
题型01 反函数存在的条件
【典例01】判断下列函数是否有反函数．
(1)f(x)eq \f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.
【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．
【变式4】判断下列函数是否存在反函数．
(1)yeq \f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．
题型02 求反函数的解析式
【典例2】（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数y=fx的反函数为，则y=fx的解析式为 ．
【变式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则 .
【变式4】（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 .
题型03 反函数过定点问题
【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）函数（且）的反函数过定点 ．
【变式1】（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 .
【变式2】已知函数y=fx存在反函数y=f−1x．若函数y=fx+2的图像经过点（1，1），则函数y=f−1x−2的图像必经过点______．
【变式3】已知函数f−1x为函数fx的反函数，且函数fx−1的图象经过点1,1，则函数f−1x的图象一定经过点___________.
题型04 根据反函数求参数
【典例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，若f(m)=−1，则m的值是（ ）
A．−eB．−1eC．eD．1e
【变式2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为
题型05 反函数的定义域问题
【典例5】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2】函数的反函数的定义域为 ．
【变式3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（ ）
A． B．R C． D．
【变式4】（多选）已知函数和，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称
题型06 反函数的图像
【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【变式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
题型07 单调性问题
【典例7】（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
题型08反函数与零点问题
【典例8】（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．1B．2023C．D．4046
【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（ ）
A．B．2023C．D．4046
【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型09 指数函数与对数函数的综合应用
【典例9】 已知f(x)eq \f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>lg2eq \f(1＋x,k)．
【变式1】已知指数函数的反函数为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求不等式的解集．
【变式2】设函数（其中a>0且）．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，，如果当时，恒不成立，求a的取值范围．
【变式3】已知，
(1)求的反函数；
(2)已知，若，使得，求的最大值．
一、单选题
1．下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0B．1C．2D．3
2．函数是与函数的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
3．若函数是函数（且）的反函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的反函数为，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的反函数的解析表达式为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的反函数为，则必有（ ）
A．，为任意实数；B．，为任意实数；
C．，；D．，或，为任意实数．
8．已知函数的反函数图像的对称中心是，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设且，函数，下列说法正确的是（ ）
A．与在各自的定义域内有相同的单调性
B．与两者的图象关于直线对称
C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数
D．与有相同的定义域和值域
10．设分别是方程与的实数解，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于轴对称
C．函数的最小值为D．函数在上为减函数
三、填空题
12．已知函数是函数的反函数，则过定点 .
13．已知函数，，则 .
14．定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．函数与互为反函数，若（x0，且a≠1，则函数yax与ylgax的图像只能是( )
A B C D
【答案】A
【详解】因为a>1时，是减函数，恒过(0,1)点，ylgax为增函数，恒过(1,0)点，故选A．
题型01 反函数存在的条件
【典例01】判断下列函数是否有反函数．
(1)f(x)eq \f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.
【分析】由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明．
【详解】 (1)令yf(x)，因为yeq \f(x＋1,x－1)1＋eq \f(2,x－1)，是由反比例函数yeq \f(2,x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．
(2)令g(x)3，即x2－2x－30，
解得x－1或x3，
即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．
【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x.
对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错；
对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错；
对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错；
对于D，满足反函数的定义，D对.
【变式2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函数在上存在反函数，
则函数在上单调即可，
又因为函数在上递减，在上递增，
所以，所以..
【变式3】设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．
【答案】或.
【解析】当时，，，是定义在上的奇函数，
所以，即时，，
所以，
若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，
当，，；
所以或
所以或.
【变式4】判断下列函数是否存在反函数．
(1)yeq \f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．
【解析】 (1)yeq \f(1,x＋1)－2是由函数yeq \f(1,x)向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
(2)y－2x2＋4x－2(x－1)2＋2，对称轴为x1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
题型02 求反函数的解析式
【典例2】（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解.
【详解】设指数函数且，点在的图象上，
所以，解得.
所以，故反函数.
【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据反函数定义求解即可.
【详解】解：∵y，∴，
∴，即，∴，
将x，y调换可得，，
故函数y的反函数是．
．
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数y=fx的反函数为，则y=fx的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据反函数的定义求解即可.
【详解】由，
得，
将互换得，，
且函数的值域为R，
因此，函数，
故答案为：．
【变式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则 .
【答案】9
【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案.
【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得，
故.
故答案为：9.
【变式4】（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 .
【答案】
【分析】利用反函数的定义求解即可.
【详解】因为的反函数为，
所以，则.
故答案为：.
题型03 反函数过定点问题
【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）函数（且）的反函数过定点 ．
【答案】2,1
【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.
【详解】对于函数（且），令，即，所以，
即函数（且）恒过点，
所以函数（且）的反函数恒过点.
故答案为：
【变式1】（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 .
【答案】.
【分析】利用互为反函数的两函数图象对称性可得函数也过，代入点的坐标待定系数可得.
【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称，
又其反函数的图象过点，则函数的图象过点.
则，解得.
又函数的图象过点，
则，解得.
故.
故答案为：.
【变式2】已知函数y=fx存在反函数y=f−1x．若函数y=fx+2的图像经过点（1，1），则函数y=f−1x−2的图像必经过点______．
【答案】−1,−1
【分析】由已知可得f(1)=−1，再由反函数的性质可得f−1−1=1，从而可得f−1−1−2=−1，进而可得答案
【详解】因为函数y=fx+2的图像经过点（1，1），所以f(1)+2=1，得f(1)=−1，
所以由反函数的性质可得f−1−1=1，所以f−1−1−2=−1，所以函数y=f−1x−2的图像必经过点−1,−1，故答案为：−1,−1
【变式3】已知函数f−1x为函数fx的反函数，且函数fx−1的图象经过点1,1，则函数f−1x的图象一定经过点___________.
【答案】1,0
【分析】先求出函数fx的的图象经过点的坐标，再由函数f−1x与函数fx的图象关于y=x对称即可求解.
【详解】因为函数fx−1的图象经过点1,1，所以函数fx的的图象经过点0,1，因为函数f−1x与函数fx的图象关于y=x对称，所以函数f−1x的图象一定经过点1,0，故答案为：1,0.
题型04 根据反函数求参数
【典例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ．
【答案】 －9
【分析】根据反函数的定义即可求解.
【详解】因为直线与直线关于直线对称，
所以函数与互为反函数，
又的反函数为，
所以，．
故答案为：；.
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，若f(m)=−1，则m的值是（ ）
A．−eB．−1eC．eD．1e
【答案】A
【分析】由题得f(x)=lnx,根据f(m)=−1即得解.
【详解】解：因为函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=lnx,因为f(m)=−1，所以lnm=−1,∴m=1e.
【变式2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为
【答案】1
【解析】由得，
即，即的反函数为，
因为函数的图象关于直线对称，
故与为同一函数，故.
题型05 反函数的定义域问题
【典例5】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域.
【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为，
则反函数的定义域为.
.
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可.
【详解】因为函数在单调递增，
所以，
即，
因为反函数的定义域是原函数的值域，
所以反函数的定义域为，
．
【变式2】函数的反函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴函数的值域为．
∵的定义域即函数的值域
∴的定义域为．
【变式3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（ ）
A． B．R C． D．
【答案】D
【解析】∵当时，，
∴函数，的值域为，
又与互为反函数互为反函数，
故的定义域为..
【变式4】（多选）已知函数和，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称
【答案】ABD
【解析】A选项，注意到，则其与函数互为反函数，故A正确；
B选项，函数定义域为，值域为R.
函数定义域为R，值域为.故B正确；
C选项，当时，两函数均在定义域内单调递减.
当时，两函数均在定义域内单调递增.故C错误；
D选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线对称，故D正确.
BD.
题型06 反函数的图像
【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，函数的反函数是，
这是一个在上的单调递增函数，且，
所以只有选项C的图像符合..
【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【答案】D
【解析】∵的图像与的图像关于直线对称，
若函数的图像经过第二象限，
即的图像上的任意点满足，
则关于直线的对称点在第四象限，
且在的图像上，
∴的图像经过第四象限；
同理可得：若函数的图像经过第三象限，
则的图像经过第三象限；
故的图像经过第三、第四象限..
【变式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
.
【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】利用反函数的性质直接求解即可.
【详解】因为直线与直线关于直线对称，显然，
所以函数与函数互为反函数，
又因为的反函数为，
所以，即，
题型07 单调性问题
【典例7】（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，
所以，
因为，所以，解得：.
所以，
由，可得的定义域为，
令，则在单调递减，
而在定义域单调递增，
由复合函数的单调性可知:在单调递减.
.
【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.
【详解】由题意，函数与互为反函数，则，
所以，
由，解得或，即函数的定义域为或，
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为.
.
【变式2】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.
【详解】∵函数与的图象关于直线对称，
∴函数是的反函数，则，
∴，
由，解得，
所以的定义域为，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递减，
∴的单调减区间为.
.
题型08反函数与零点问题
【典例8】（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对于A，用函数图象的对称性来判断；对于B，利用零点存在定理来判断；对于C，直接计算可得答案；对于D，作差判断大小．
【详解】对于A、C，方程与的根分别为，，
即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为，
由题知，，
与的图象关于对称，
都与相交，可得点与点,关于对称，
所以，即，故A，C正确；
设，显然函数在R上单调递增，
又，
对于B，由零点存在定理可知，根据对称性可得，B正确；
对于D，由B选项知，，，
则，
所以，D错误，
．
【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．1B．2023C．D．4046
【答案】C
【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，结合反比例函数的图象也关于对称，从而数形结合即可得解.
【详解】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，
所以，，即，，
设函数与的交点为，则Ax1,y1，，
设函数与的交点为，则Bx2,y2，，
因为函数与函数互为反函数，
所以它们的图象关于对称，
而的图象也关于对称，
所以点关于对称，即，
所以由得，即.
.
【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（ ）
A．B．2023C．D．4046
【答案】A
【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值.
【详解】
由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标，
因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以.
【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断
【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，
故.
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题型09 指数函数与对数函数的综合应用
【典例9】 已知f(x)eq \f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>lg2eq \f(1＋x,k)．
【分析】(1)判断奇偶性⇒奇偶性定义．
(2)求反函数⇒反解，改写，标注定义域．
(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集．
【详解】(1)由f(0)0，得a1，所以f(x)eq \f(2x－1,2x＋1)．
因为f(x)＋f(－x)eq \f(2x－1,2x＋1)＋eq \f(2－x－1,2－x＋1)eq \f(2x－1,2x＋1)＋eq \f(1－2x,1＋2x)0，所以f(－x)－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)yeq \f(2x－1,2x＋1)1－eq \f(2,2x＋1)，
所以2xeq \f(1＋y,1－y)(－1