福建省永春第一中学2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份福建省永春第一中学2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣y＝1B．x2﹣2＝C．x2＝0D．
2．线段是由线段平移得到的，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆B．两个菱形C．两个等腰直角三角形D．两个等边三角形
6．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）

A．18B．12C．24D．9
7．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（0，）C．（0，2）D．（0，3）
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．10B．8C．6D．5
9．自然数n满足，这样的n的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则D．若，则0＜a＜1
二、填空题（本题共16题，每小题4分，共24分．）
11．若，则＝ ．
12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米．
14．如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么的值为 ．
15．若m是的一个实数根，则 ．
16．如图，矩形中，，，E为线段上一动点，作点B关于的轴对称点F，连接，，G为中点．当D，F，E三点共线时，的长为 ；在E的整个运动过程中，C，G两点距离的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共86分．）
17．计算：．
18．解方程：．
19．已知：如图，，，，，，求，的长．
20．如图，在中，是边上的中线，是上一点，．
（1）求证：；
（2）若，则的度数为______°．
21．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是 （请直接写出答案）；
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
22．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求m的值；
(2)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与的分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点，点C在反比例函数图象上．
(1)求a，b，m的值；
(2)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求k的值．
1．C
解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，选项不符合题意；
B、含有，不是整式方程，选项不符合题意；
C、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，为整式方程，选项符合题意；
D、含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，选项不符合题意；
故选C
2．B
解：点的对应点为，可知横坐标由变为2，向右移动了3个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，
于是的对应点D的横坐标为，点D的纵坐标为，
故．
故选：B．
3．A
解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、不能合并，故C错误；
D、，故D错误；
故选：A．
4．A
解：设长为x步，根据题意得，
．
故选：A．
5．B
解：A、两个圆的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意；
B、两个菱形的各角不一定相等，故不一定相似，故选项B符合题意；
C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意；
D、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．C
解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴且相似比为，
∴的面积的面积，
∵的面积是6，，
∴的面积为24，
故选：C
7．A
解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）．
故选A
8．C
解：①当 时，无论指数为何值等式成立．
解方程得，（不合题意，舍去）；
②当 时，
∴
∴n不为自然数；
③当时，当n为自然数，则，
所以等式成立．
解方程得 ，．
综上所述，满足条件的n值有3个，
故选B．
10．D
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a−b−1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x1＝x2＝−1，
∴k＝−1，
∵＝，
∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，
此时＞0，即；
当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，
此时＜0，即；
故A、C错误；
当时，即＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当时，即＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
11．
∵，
∴x＝，
∴＝＝，
故答案为．
12．
解：根据题意得：，
解得：
故答案为：．
13．##
解：∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
14．
解：∵CE是△ABC的中线，
∴AE＝EB，
∵EF∥BC，
∴＝＝1，
∴＝，
∵△ABC的两条中线AD和CE相交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴EG＝CG，DG＝AG，
∵EF∥BC，
∴＝＝，即DG＝2FG，
∵AF＝FD，
AF＝3FG，
∴，
故答案为：．
15．3
解：∵m是的一个实数根，
∴，
∴，
∴
故答案为：3．
16．
解：如图，连接AF，取AD中点H，连接GH，GC，HC，
四边形ABCD是矩形，则AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=90°，
由折叠的性质可得AF=AB=3，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，
设CE=x，则BE=EF=4-x，
当点E、F、D三点共线时，AF⊥DE，
Rt△AFD中，DF=，
Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2，
∴（+4-x）2=x2+9，
-2（+4）x+23+8=9，
解得：x=；
∵H为AD中点，G为DF中点，
∴HG为△DAF中位线，
∴HG=AF=，
Rt△DHC中，HC=，
当点G不在直线HC上时，
△GHC中，GC＞HC-HG，
当点G在直线HC上时，GC=HC-HG，
∴CG的最小值为；
故答案为：，；
17．
解：
；
18．，
解：，
，
，
，．
19．，．
解：∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
20．（1）见解析；（2）110.
（1）证明：在和中
∵，,
∴,
∴,
又∵是边上中线,
∴,
∴,
∴．
（2）由（1）可知，
∴,
∵，，
∴,
∴,
∴,
∴中，
．
21．(1)3
(2)
（1）解：当x=2，
则，
∵，
∴的最长边的长度是3；
（2）解：由二次根式有意义的条件得，
解得：，
∴，，
∴
．
22．(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
23．(1)12
(2)
（1）解：是方程的一个根，代入方程得：，
即，
；
（2）解： a与（）分别是关于x的方程的两个根，
，，
与都是整数，
与同为整数，
，
，
，
，
将代入，
原式，
，
．
24．(1)，，
(2)
（1）解：由题意，将代入中，
得，则，
将代入中，
得，则，
∴，
将代入中，
得，则；
（2）解：如图，设点，则，，
∵与相似，
∴只能在点左侧，
∴，
若，则，即，
∴，即，
解得，
∵，
∴，则，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
联立方程组，得，
∵有且只有一点，
∴方程有且只有一个实数根，
∴，解得；
故满足条件的k值为．