2025中考数学基础知识专项训练题17 直角三角形的边角关系【含答案】

这是一份2025中考数学基础知识专项训练题17 直角三角形的边角关系【含答案】，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．tan45°的相反数是（ ）
A．1B．−1C．22D．−22
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，csA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（ ）．
A． B． C． D．1
4．下列式子错误的是（ ）
A．sin260°+cs260°=1B．tan30°⋅tan60°=1
C．cs60°=2cs30°D．tan45°=sin45°cs45°
6题
2题
5题
5．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度AC=18米，坡度为，则斜坡的垂直高度为（ ）
A．36米B．12米C．9米D．6米
6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）.
A．4 km B．km C．km D．(km
8．某一时刻，与地面垂直的长2m的木杆在地面上的影长为1m．同一时刻，树AB的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为45°的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长AC为2m．落在斜坡上的影长CD为2m．根据以上条件，可求出树高AB为（ ）．（结果精确到0.1m）
A．4.0mB．4.2mC．8.0mD．8.2m

9题图
10题图
7题图
8题图
9．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
10．如图，点A在反比例函数y=―（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°．则tan∠OBA的值等于（ ）.
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（11-14每小题4分，15-16每小题5分，共26分）
11．在RtΔABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin= ．
12．计算：2cs230°−2sin45°+tan60°⋅sin60°= ．
13．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为，A、C之间的距离为4 m．则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）
12题

12题图
13题图
14．已知△ADB（AD＜AB），AD⊥AB，CF垂直平分DB，AE⊥BD，BC=BE=1，则AB= .
14题图
15题图
16题图

*15．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD=10米，坡度i=1:3，大楼底端B到山坡底端C的距离BC=30米，则该基站的高度DE= 米．
*16．如图，在边长为6的正方形中，为边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则当取得最小值时，的值为_____________．
三、解答题（共64分：17题12分，18-21每题10分，22题120分）
17．计算：(每小题4分，共8分)
（1）1−tan60°−−12−1+sin45°+12 ; （2）|−tan60°|−−12024+cs45°+12．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝，AC＝，AB＝4，求BD的长．(结果保留根号）
19．已知：如图E点是正方形ABCD的边CD上的一点，AE与对角线BD相交于点F，若EC=EF．
（1）sin∠EAD=
（2）若正方形ABCD的边长为33，求AF的长.
20．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）
图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A−C−E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN（其厚度忽略不计）相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD=6cm，AB=2BD=4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM=60°，∠ABD=120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD=150°，如图3所示，求点A的位置较原来的位置上升的高度．
*22.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
(1)小明的证明过程中的“依据”指的是______；
(2)小亮的证明过程不完善，请你帮助小亮完成证明；
(3)如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6．若∠ACB的平分线CD交AB于点D，则tan∠ACD的值为______．

参考答案
一、选择题
1.B 2．B 3. B 4.C 5．C 6. B 7.C 8.D 9.B 10.D
二、填空题
11. ； 12. 2 ； 13.23；14 ．32； 15. 25−53； 16.5+12
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式=3−1+22+22=3+2−1
18. 解：AD是BC边上的高．∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，
∵tan C＝，∴＝.
∴CD＝2AD，∴AD2＋(2AD)2＝(3)2，
∴AD＝3，∴在Rt△ADB中，BD＝＝.
19.解：（1）12；
（2）∵正方形ABCD的边长为33，
∴AD=CD=33，
∵∠DAE=30°，
∴DEAD=tan30°，ADAE=cs30°，
∴DE=3，AE=6，
∴EC=EF=DC−DE=33−3，
∴AF=AE−EF=6−33−3=9−33，
故答案为：9−33．
20、【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，
∴CD=320，AD=320，
∴BD=CD=320，BC=320，
∴AC+BC=640+320≈1088，
∴AB=AD+BD=320+320≈864，
∴1088﹣864=224（公里），
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
21.解：如图2，过点A作AQ⊥MN交MN于点Q，过点B作BG∥MN交AQ于点G，过点B作BF⊥MN于点F，如图3，延长BC交MN于点H
旋转前如图3：
∵∠BDM=60°，∠ABD=120°，BG∥MN，
∴∠ABG=∠DBG=60°，
∵AB=2BD=4BC,BD=6cm，
∴AB=12cm,BE=3cm，
∵∠AGB=∠BFD=90°，
∴在Rt△ABG和Rt△BDF中，
AG=AB⋅sin60°=12×32=63 cm，
BF=BD⋅sin60°=6×32=33 cm，
故点A到MN的距离为：63+33=93 cm，
旋转后如图3：
∵∠ABD=150°，
∴∠DBC=30°，
∵∠BDM=60°，
∴∠DHB=90°，
在Rt△BDH中，
BH=BD⋅sin60°=6×32=33 cm，
故AH=AB+BH=12+33 cm，
点A的位置较原来的位置上升高度为: 12+33−93=12−63 cm，
22.（1）解：依据为角平分线的性质定理，
故答案为：角平分线的性质定理；
（2）如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
∵BE∥AC，
∴∠BED=∠CAD．
∴∠BAD=∠BED．
∴AB=BE．
∵∠BDE=∠CDA，
∴△BDE∽△CDA．
∴BECA=BDCD．
∴ABAC=BDCD．

（3）解：∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴BC=AB2+BC2=82+62=10，
∠ACB的平分线CD交AB于点D，
∴∠ACD=∠BCD，且BDAD=BCAC=610=35，
∴BD=38AB=38×8=3，
∴tan∠ACD=tan∠BCD=BDBC=36=12．
角平分线分线段成比例
我们知道，在数学中经过证明的真命题称为定理．下面是人们在解决数学问题时发现的一个定理，我们暂且称它为角平分线分线段成比例定理．其内容如下：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则BDCD=ABAC．下面分别是小明和小亮的证明方法．

小明：如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∵AD是∠BAC的平分线，
∵DE=DF．（依据）
∵S△ABD=12AB⋅DE，S△ACD=12AC⋅DF，
∴S△ABDS△ACD=ABAC．
∵S△ABD=12BD⋅AG，S△ACD=12CD⋅AG，
∴S△ABDS△ACD=BDCD．
∴BDCD=ABAC．
小亮：如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
∵BE∥AC，
∴∠BED=∠CAD．……