四川省遂宁市射洪中学校2024-2025学年九年级上学期12月期末 数学试题（含解析）

这是一份四川省遂宁市射洪中学校2024-2025学年九年级上学期12月期末 数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．要使有意义，则x应满足（ ）
A．≤x≤3B．x≤3且x≠C．＜x＜3D．＜x≤3
2．下列根式中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如果是锐角，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
7．六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选）如图，下列条件中，能够判定的为（ ）
A． B．
C．D．
10．在下图的各事件中，是随机事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．若非零实数，（）满足，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．
13．如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（ ）
A．千米B．千米
C．千米D．千米
14．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，点D在上，点E在上，，，则（ ）
A．B．C．D．
16．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5B．0.9C．1D．1.25
17．若关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，点E在正方形的对角线上，交于点F，的延长线交于点P，交于点G，连接，则下列结论中；①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的结论有（ ）个．
A．6B．5C．4D．3
二、填空题（本大题共6小题）
19． （选填“”或“”或“”）．
20．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
21．若关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是 ．
22．在锐角中，已知满足，则 ．
23．若，那么的值为 ．
24．如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则= ．
三、解答题（本大题共7小题）
25．计算或解方程
(1)；
(2)．
26．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
27．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为，在B点处测得碑顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
28．游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？
29．根据以下素材，探索完成任务．
30．如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为F．
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若，EF＝4，求AB的长．
31．如图，在直角坐标系中，点坐标为1,0，点坐标为0,1，、是线段上的两个动点，且，过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，垂足分别为、、设点的坐标为，令，
(1)求证：；
(2)当时，求的值；
(3)在点、运动过程中，点也随之运动，探索：是否为定值？请证明你的结论．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得：
解不等式①得，≤3，
解不等式②的，＞，
所以，＜≤3．
故此题答案为D．
2．【答案】B
【分析】根据最简二次根式的被开方数的因数是整数因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断．
【详解】A、被开方数27=93，含能开得尽方的因数9，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含分母，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因式a2，故D错误．
故此题答案为B．
3．【答案】B
【分析】根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
【详解】解：，
，
，
，
故此题答案为B．
4．【答案】A
【分析】根据，得到，代入进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故此题答案为A．
5．【答案】B
【分析】先解直角三角形得到，设，则由勾股定理得，即可得到．
【详解】解：如图所示，在中，，
∴，
设，
∴，
∴，
故此题答案为B．
6．【答案】D
【分析】由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故此题答案为D．
7．【答案】C
【分析】分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可．
【详解】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，
列树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有种，
即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是，
故此题答案为C．
8．【答案】B
【分析】根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，
故此题答案为B．
9．【答案】ABD
【分析】根据相似三角形判定定理进行分析即可．
【详解】解：A、由于，，∴，故该选项符合题意；
B、由于，，∴，故该选项符合题意；
C、不符合相似三角形判定定理，故该选项不符合题意；
D、由，得，又，∴，故该选项符合题意；
故此题答案为ABD．
10．【答案】B
【分析】根据随机事件的概率值即可判断．
【详解】解：因为不可能事件的概率为0，0＜随机事件的概率＜1，必然事件的概率为1，
所以在如图的各事件中，是随机事件的有：事件B和事件C，共有2个，
故此题答案为B．
11．【答案】B
【分析】根据非零实数，()满足，，得出是方程的解，再根据一元二次方程根根与系数的关系得出与的值，把算式变形代入计算即可
【详解】解：∵非零实数，()满足，，
∴是方程的解，
∴，，
∴，
故此题答案为．
12．【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠-2，
故此题答案为A．
13．【答案】A
【分析】找到飞行高度不变的隐含条件，建立等量关系．
【详解】解：作交于点，
，，
，即：，
故此题答案为．
14．【答案】A
【分析】根据已知得出方程有，再判断即可．
【详解】解：由题意得：
把代入方程得出，
，
∵方程有两个相等的实数根，
，
故此题答案为A．
15．【答案】C
【分析】根据得到，再结合相似比是得，再由得，进而得，最后利用等高模型求面积比可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为C．
16．【答案】C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】
解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故此题答案为C．
17．【答案】C
【分析】先把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于x的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系得到结论．
【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，
设关于x的方程的两根为，
则方程的两根为，
∵关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，
，
．
故此题答案为C．
18．【答案】A
【分析】证明A、B、E、F四点共圆，则，即可判断①；延长，截取，连接，证明，则证明，得到，则，即可判断②；作交的延长线于点H，连接，证明，则,得到,则，即可判断③；作，截取，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，得到，则，即可判断④；证明，设，则，得到，由得到，解得,则，即可判断⑤；证明，则，由②可知，，则,证明，得到连接证明，则，证明，则，得到，则，即可判断⑥．
【详解】解：①∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
故①正确；
②由①可知，，
∴A、G、P、D四点共圆，
∴，
∵，
∴，
延长，截取，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③作交的延长线于点H，连接，如图，
由正方形的对称性得到， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵,
∴，
故③正确；
④作，截取，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
⑤由②可知，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得,
∴，
∴，
故⑤正确；
⑥∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∵，
∴，
∴
由②可知，，
∴,
∵
∴，
∴
连接
则，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故⑥正确，
综上可知，①②③④⑤⑥均正确．
故此题答案为A
19．【答案】
【分析】互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案．
【详解】解：∵，且，
∴
20．【答案】2
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
21．【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可；
【详解】解：根据题意可知，
解得：且
22．【答案】/75度
【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后求出的度数，继而可求得．
【详解】解：由题意得，，，
∴，，
则，，
∴．
23．【答案】−2
【分析】利用完全平方公式将变形为，再代入的值进行运算求值即可得．
【详解】解：，
24．【答案】
【分析】由，得出，设，，推出，根据，，得出，，再分别用勾股定理求出，，故，再运用解直角三角形得出，，根据平行线分线段成比例，代入，化简得出答案即可．
【详解】解：如图，过点作垂足为，过点作垂足为，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴
25．【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∴，，，
∴，
解得：，．
26．【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
；
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：，
∵，
∴，
解得，
∵此方程恰有一个根小于，
∴，
解得．
27．【答案】烈士纪念碑的通高约为
【分析】根据题意可得，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可得的答案．
【详解】解：由题意得：，
∵是的外角，
在中，(m)，
．
答：烈士纪念碑的通高约为．
28．【答案】(1)
(2)
(3)公平，见解析
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可；
（3）首先求出某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，然后判断即可．
【详解】（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况，
∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为；
（2）解：列表如下：
由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种，
∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为；
（3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，
∵
∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的．
29．【答案】任务1：平均增长率为：；任务2：该零件的实际售价应定为40元
【分析】任务1：设平均增长率为，根据该零件7月份生产500个，9月份生产720个，列出方程进行求解即可；
任务2：设该零件的实际售价应定为元，根据利润等于单件利润乘以销量加上政府补贴，列出方程进行求解即可．
【详解】解：任务1：设平均增长率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：平均增长率为：；
任务2：设该零件的实际售价应定为元，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
当时，销售数量为，符合题意；
答：该零件的实际售价应定为40元．
30．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边ABCD是矩形，得到，从而有，根据得，即可求证；
（2）设，由得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
．
（2）设，
在中，，
，
，
，点为CD的中点，
，
，
，
，
，且，
，
解得，
．
31．【答案】(1)见解析
(2)
(3)为定值，理由见解析
【分析】（1）根据点、坐标得出，根据等边对等角推出，根据，结合三角形外角的性质，推出，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明；
（2）过点作于点，根据点、点得出，推出，推出，，根据等角对等边得出，结合勾股定理求出，利用证明，计算角度推出，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出，则，计算求出的值即可；
（3）过点作于点，过点作于点，由（1）得，根据相似三角形的性质得出，则，推出，，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据勾股定理推出，，进一步得出，则，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵点坐标为1,0，点坐标为0,1，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵点坐标为1,0，点坐标为0,1，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∵过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴此时点的坐标为，；
（3）解：为定值，理由如下，
如图，过点作于点，过点作于点，
由（1）得，
∴，
∴，
∵点坐标为1,0，点坐标为0,1，
∴，
∴，
∵，过点作于点，过点作于点，
∴，，，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值．背景素材
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个．
素材2
该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴．
问题解决
任务1
该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？
小刚二叔
小刚父亲
A
B
C
D