四川省雅安市雨城区雅安中学2024-2025学年九年级上学期12月教学质量评估 数学试题（含解析）

这是一份四川省雅安市雨城区雅安中学2024-2025学年九年级上学期12月教学质量评估 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列立体图形中，可能被一个平面截出的截面是长方形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中白球的个数约为（ ）
A．10B．15C．20D．30
3．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等B．平行四边形的对角相等
C．有一个角是的菱形是正方形D．矩形的对角线相等且互相平分
5．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．1B．0C．D．
7．是线段上一点，若满足，则称点是线段的黄金分割点．如图，一片树叶的叶柄与叶脉的总长（）为，为的黄金分割点，求叶脉的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
9．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
10．如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则与的相似比为 ．
11．如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，．若，四边形的面积为，则的长为 ．
12．如图，在中，，，，P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为 ．
13．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数的图像经过C､D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 ．
三、解答题（本大题共5小题）
14．解方程：
(1)；
(2).
15．乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
16．已知关于x的一元二次方程有两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且，求m的值．
17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F．
（1）求证：四边形OCEB是矩形；
（2）若BF=1，求菱形ABCD的周长．
18．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．

(1)求反比例函数表达式；
(2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标．
(3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由．
四、填空题（本大题共5小题）
19．若是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ．
20．设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
21．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ．
22．如图，正方形的边长为为线段的中点，为线段的黄金分割点，以为边作正方形，则的值为 ．
23．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④成立的有 ．（填写正确序号）
五、解答题（本大题共3小题）
24．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元．
(1)若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？
25．如图，小明要测量操场旗杆高度．在点、点处竖立两根高1米的标杆和，两竿相距米，、、在一条直线上，小明从点沿方向退行2米到点处，发现、、三点共线；从点沿方向退行3米到达点处，发现、、三点也共线．已知，，，请你帮小明算出旗杆的高度．
26．如图，在直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，以为一边作如图所示的正方形，交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由；
(3)是否存在平面内一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据几何体截面的概念求解即可．
【详解】解：由题意可得，可能被一个平面截出的截面是长方形的是圆柱体，
故此题答案为D．
2．【答案】C
【分析】先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有x个白球，则，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，
所以，口袋里有白球约20个，
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，，故A不符合要求；
当时，，故B不符合要求；
当时，，故C不符合要求；
当时，无法证明，故D符合要求；
故此题答案为D．
4．【答案】A
【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故本选项的说法错误，符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项的说法正确，不符合题意；
C、有一个角是的菱形是正方形，故本选项的说法正确，不符合题意；
D、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项的说法正确，不符合题意；
故此题答案为A．
5．【答案】D
【分析】由题意易得，进而问题可求解．
【详解】解：由可得：，
∴；
故此题答案为D．
6．【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的情况与判别式的关系可得且，求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
解得：且，
∴k的最大整数值是，
故此题答案为C．
7．【答案】B
【分析】根据黄金分割点的特征，代入数据即可解题．
【详解】解：由题可得：
，，，
（），
，
即，
故此题答案为B．
8．【答案】A
【分析】根据题意分以下两种情况讨论，①当时，②当时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题．
【详解】解：当时，过一、三象限，且过一、三、四象限，故A图象正确，符合题意，C、D错误，不符合题意；
当时，过二、四象限，且过一、二、四象限，故B错误，不符合题意．
故此题答案为A．
9．【答案】
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
10．【答案】/
【分析】根据位似图形的性质，即可求解．
【详解】解：∵OA＝AC，
∴，
∵△AOB与△COD是位似图形，
∴△AOB∽△COD，
∴与的相似比为．
11．【答案】4
【分析】利用菱形的面积公式求解．
【详解】解：∵在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；
∴
∴四边形是菱形，
，
，
．
12．【答案】
【分析】连接，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短，得到时， 最小， 即最小， 等积法求出的长即可.
【详解】连接，
，
，
于点， . 于点， ，
∴四边形为矩形，
，
∴当最小时， 最小，
∴当时，AP最小， 即最小，此时，
即：，
；
∴的最小值为
13．【答案】（5，）/（5，3.75）/（5， ）
【分析】求出反比例函数y＝，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（4，3），得出OB的解析式为y＝x，设C（a，），且a＞0，由平行四边形的性质得BCOA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（，），BC＝﹣a，代入面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图像经过点D（4，3），
∴3＝，
∴k＝12，
∴反比例函数y＝，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（4，3），
则3＝4m，
∴m＝，
∴OB的解析式为y＝x，
∵反比例函数y＝经过点C，
∴设C（a，），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BCOA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为，
∵OB的解析式为y＝x，
∴B（，），
∴BC＝﹣a，
∴S△OBC＝ ××（﹣a），
∴2×××（﹣a）＝，
解得：a＝或a＝﹣（舍去），
∴点B的坐标是（5，）
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1） ，
，
，即，
∴，
∴；
（2）
，
，
∴或，
∴
15．【答案】(1)240，35
(2)见详解
(3)
【分析】利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考音了统计图．
（1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
（2）“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
解得：．
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，，
则．
解得：，，
又，
所以m的值为．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）12
【分析】（1）根据菱形的性质求出∠BOC=90°，根据平行四边形和矩形的判定得出即可；
（2）首先证明△BEF∽△CAF得，求出CF的长，再求出BD的长，进而可求出菱形ABCD的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠BOC=90°，
∵CE∥BO，BE∥CO，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∴四边形OCEB是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴
由（1）知，四边形OCEB是矩形，
∴BE=OC
∴BE=
∵BE//AC
∴∠BEA=∠CAE，∠EBC=∠BCA
∴△BEF∽△CAF
∴
∵BF=1，
∴CF=2
∴BC=BF+CF=3
∴ 菱形ABCD的周长为：3×4=12
18．【答案】(1)
(2)点坐标为或
(3)存在，的横坐标为
【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题．
（2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题．
（3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题．
【详解】（1）解：过点，
，
，
，
点在上，
，即，
，
；
（2）解：①当点在下方时，
，
，
作轴，轴，

，
，
，
，
把代入中，
；
②当点在上方时，

，
，
为中点，
，，
，
把代入中，
；
综上所述：点坐标为或．
（3）解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，
，，

三角形为等腰直角三角形，
在和中，
，
所以，，
，
设直线的解析式为，
过2,0，，
，解得，
直线的解析式为，
，
整理得，解得，（不合题意，舍去），
，
的横坐标为．
19．【答案】3
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程
∴
∴
∵方程不含x的一次项，
∴
解得或
∴
20．【答案】
【详解】解：∵，是的两个实数根，
∴，，
∴
21．【答案】
【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可．
【详解】解：过点作交于，
则，
是的中线，是的中点，
，，
，
．
22．【答案】
【分析】根据黄金分割的定义可得，再结合正方形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，
∵为线段的黄金分割点，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】①②③
【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可得，由三角形中位线定理可判定②，证明，可判定①，根据勾股定理可以③，判定由平行四边形的面积公式可判定④．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
，，，，
，，
平分，
，
，
∵，
为等边三角形，
，，
，
，
又，
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
∴，
∴，
，故①正确；
，，
是的中位线，
，故②正确；
，，，
，
，故③正确；
是的中点，
，
是的中点，
，
，
，
，故④错误．
24．【答案】(1)每次降价的百分率
(2)现在的售价应定为每千克37.4元
【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解；
（2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，列出方程求出，再用原定价减去降价即可求解．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，
根据题意得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率．
（2）解：设每千克应涨价元，则每天可售出千克，
根据题意得
，
整理得，
解得，．
要使顾客得到实惠，
，
即每千克应涨价5元，定价为（元）．
答：现在的售价应定价37.4元．
25．【答案】旗杆的高度为16米
【分析】设，，证明，根据相似比得出，同理可得，根据相似比得出，即可求出．
【详解】解：设，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴
同理可得，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
答：旗杆的高度为16米．
26．【答案】(1)直线解析式为；
(2)点Q的坐标为或或或；
(3)点坐标为或或．
【分析】（1）由方程可求得和的长，则可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）可设，则可表示出的长，分和两种情况，利用相似三角形的性质可分别得到关于的方程，则可求得的值，可求得点坐标；
（3）设点坐标为，分三种情况讨论，利用中点坐标的性质求解即可．
【详解】（1）解：解方程可得或，
、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，
，，
，，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为；
（2）解：四边形为正方形，
，
，
在中，令，可得，
，
设，则，
以、、为顶点的三角形与相似，
有和两种情况，
①当时，则有，即，
解得或，
此时点坐标为或；
②当时，则有，即，
解得或，
此时点坐标为或；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或；
（3）解：设点坐标为，
∵，，，

当为对角线时，
∴，，
解得，，
∴点坐标为；
当为对角线时，
∴，，
解得，，
∴点坐标为；
当为对角线时，
∴，，
解得，，
∴点坐标为；
综上，点坐标为或或．