四川省绵阳市游仙区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

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一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝﹣10
C．（x+3）2＝﹣10D．（x+3）2＝8
3．如图是某圆弧形桥洞，它的跨度AB＝10，点C在圆弧上，CD⊥AB于点D，AD＝6，，则该圆弧所在圆的半径为（ ）
A．B．6C．D．
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（ ）
A．B．3C．6D．
5．某校食堂提供六荤五素共十一种菜品作为午餐，小明用餐时随机选两种菜，则他用餐时恰好为一荤一素的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是（ ）
A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．20πcm2
7．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，10），B（﹣6，0），C（4，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC．点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DECB．∠ADC＝45°C．AE＝AB+CDD．AD＝AC
9．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）
A．x＝10，y＝14B．x＝14，y＝10C．x＝12，y＝15D．x＝15，y＝12
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1或5B．1或3C．3或5D．1
12．已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应横线上。）
13．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1x2的值为 ．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，若∠ADE＝80°，则∠AOC的度数是 ．
15．江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考查队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为 头．
16．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
17．如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，计90分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）.
19．(8分)解方程：2x2﹣3x+1＝0．
20．(10分)在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，1），C（6，4）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°所得到的△A2B1C2，并求出点C1旋转到点C2所经过的路径长．
21．(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
22．(12分) “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”，在新型肺炎疫情期间，全国人民万众一心，众志成城，共克时艰．某社区积极发起“援鄂捐款”活动倡议，有2500名居民踊跃参与献爱心．社区管理员随机抽查了部分居民捐款情况，统计图如图：
（1）计算本次共抽查居民人数，并将条形图补充完整；
（2）根据统计情况，请估计该社区捐款20元以上（含20元）的居民有多少人？
（3）该社区有1名男管理员和3名女管理员，现要从中随机挑选2名管理员参与“社区防控”宣讲活动，请用列表法或树状图法求出恰好选到“1男1女”的概率．
23．(12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．O为AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x（x＞0），连接OP，设△AOP的面积为y1．
（1）直接写出y1与x的函数关系式为： ．
（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出这个函数的一条性质： ；
（3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围是 .（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
24．(12分)△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
25．(12分)如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求BF的长．
26．(14分)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；
（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；
（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．