陕西省西安市高新一中初级中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市高新一中初级中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如果分式的值为0，那么的值为（ ）
A．-1B．1C．-1或1D．1或0
3．若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（ ）
A．2B．4C．6D．15
4．在的方格纸中，点、、、、、分别位于如图所示的小正方形的顶点上．从、、、四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点、为顶点画四边形，则所画四边形是平行四边形的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（ ）
A．3B．C．2D．
6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）．
A．m－3且
7．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转60°，得到四边形(点与点重合)，则点的坐标是( )

A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC=AB， E是AB边的中点，G、F为 BC上的点，连接OG和EF，若AB=13， BC=10，GF=5，则图中阴影部分的面积为( )
A．48B．36C．30D．24
10．如图，平面内三点、、， ，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 （ ）
A．5B．7C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．若且，则 ．
12．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为 人．
13．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ．
14．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ．
15．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
16．如图，点是菱形边的中点，点为边上一动点，连接，将沿直线折叠得到，连接． 已知，当为直角三角形时，线段的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题）
17．解方程
(1)；
(2)；
(3)化简求值：其中．
18．如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
19．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
20．已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，
求证：BC=2CD．
21．某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为每件元时，一月份销售件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利元？
22．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．

求证：四边形是“直等补”四边形．
②若，求四边形的面积．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．

参考答案
1．【答案】D
【分析】要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．据此进行判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意．
故此题答案为D．
2．【答案】B
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】根据题意，得
|x|-1=0且x+1≠0，
解得：x=1．
故此题答案为B．
3．【答案】C
【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可．
【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段，
∴，
∵，，
∴，
解得．
故此题答案为C．
4．【答案】B
【分析】利用树状图得出从、、、四个点中先后任意取两个不同的点，一共有种可能，进而得出以点、、、为顶点及以点、、、为顶点所画的四边形是平行四边形，然后利用概率公式即可求出答案．
【详解】解：用树状图列出所有可能出现的结果如下：
，
一共有12种等可能的结果，其中以点、、、为顶点及以点、、、为顶点所画的四边形是平行四边形，共有4种结果，
所画的四边形是平行四边形的概率，
故此题答案为．
5．【答案】B
【分析】连接BD，作交BH与点M，如图所示：设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图，连接BD，作交BH与点M，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠EDB=90°，，
∴，
同理可得∠ABD=90°，
∵四边形EDHG是正方形，
∴∠EDH=90°，
∴B、H、D三点共线，OD∥AB，
∴
故此题答案为B．
6．【答案】C
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得，2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+3．
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞﹣3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠﹣2．
∴m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴点E为中点，
∵F是的中点，若，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的周长，
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交轴于点，

∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，，
∴，
∵将菱形绕原点逆时针方向旋转60°，
∴，则，
∴
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为B．
9．【答案】C
【分析】连接EO，设EF，GO交于点H，过点H作NM⊥BC与M，交EO于N，过点A作AP⊥BC，将阴影部分分割为△AEO，△EHO，△GHF，分别求三个三角形的面积再相加即可．
【详解】解：如图连接EO，设EF，GO交于点H，过点H作NM⊥BC与M，交EO于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，O为对角线交点，
∴O为AC中点，
又∵E为AB中点，
∴EO为三角形ABC的中位线，
∴EO∥BC，
∴MN⊥EO且MN=
即EO=5，
∵AC=AB，
∴BP=PCBC=5，
在Rt△APB中，，
∴三角形AEO的以EO为底的高为AP=6，MN==6
∴，，
∴,
故此题答案为C
10．【答案】D
【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转的性质可得△ADM是等腰直角三角形，推出AD=AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值，即可解决问题．
【详解】将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，
∴AB=CM=4，DA=DM，∠ADM=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD=AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤7，
∴AM的最大值为7，
∴AD的最大值为．
故此题答案为D．
11．【答案】/
【分析】根据题意可求出，再代入中计算即可求出答案．
【详解】∵，
∴，
∴．
12．【答案】6
【分析】先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设第一组有x人．
根据题意，得,
解得x=6．
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．
答：第一组有6人
13．【答案】
【分析】先把第一个图形分为四等分，然后列表解决．
【详解】如图：
列表：
共有12种情况，配成紫色的红蓝有4种，概率为
14．【答案】3
【分析】首先根据根的判别式得出m的取值范围，然后根据根的判别式求出m的值，从而得出答案．
【详解】解：∵△=，
解得：m＞，
根据韦达定理可得：a+b=2m+3，ab=，
∴，
解得：m=3或－1，
∵m＞，
∴m=3．
15．【答案】
【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长
16．【答案】2或
【详解】如图1所示，当时，取中点H，连接，
∴，
∵四边形是菱形，E为中点，
∴，，，
由折叠的性质可知，，
∴，
连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵由三角形三边的关系可知，当点不在线段上时，必有，这与矛盾，
∴E、、H三点共线，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
如图2所示，当时，连接，，过点F作于G，
∵，四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴此时D、、E三点共线，
由翻折的性质可得，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）去分母化为整式方程，解方程并检验即可；
（3）先利用分式的运算法则计算，得到化简结果，再代入字母的值计算即可.
【详解】（1）解：，
由题意可得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
两边同乘以得，
，
解得，
经检验，是分式方程的解；
（3）解：
；
当时，
原式．
18．【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析.
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=OB，DF=OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
19．【答案】（1）1 （2）
【详解】（1）设有红球个，
由题意可得；，
解得，
即布袋中红球有1个；
（2）画树状图如下：一共有12种等可能情况，其中两次都摸到白球的有2次，
∴ 两次摸到的球都是白球的概率为P=.
20．【答案】证明见解析.
【分析】方法一：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，证明方法与方法一类似；
方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到= ，加上AM=MC，则AE=EF，由于AB=4 AE，所以
又因为CF DE，可得 ，即．
【详解】证明:（方法一）过点作CF∥AB交DE于点，
∴∽
∴
∵点为的中点，
∴
∵CF AB
∵
又∵
∴
∴
∵ ，，
∴
∴
∵
∴，即.
又∵
∴
（方法二）过点作CF DE交AB于点，
∴
又∵点为的中点，
∴
∴
∴
又∵，
∴
又∵CF DE
∴
∴．
21．【答案】(1)二、三这两个月的销售量月平均增长率为
(2)该商品售价定为72元时，商场当月获利元
【分析】（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得；
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
（2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴，
即该商品售价定为元时，商场当月获利元．
22．【答案】(1)①详见解析；②1
(2)周长的最小值：
【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答；
②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答；
（2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答．
【详解】（1）证明：①如图1中，
四边形是菱形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
四边形是“直等补”四边形；
②如图1中，过点作于点，交的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
即，
，
在和中，，
，
，，
四边形是正方形，
；
（2）周长的最小值：；
延长到点，过作于点，
四边形是“直等补”四边形，，，
，
，即，
，，
，，
四边形是矩形，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
矩形是正方形，
，；
∵，
即当点C、P、三点共线时，的最小值是，
在中，，，
，；
在中，，，
，
周长的最小值为：；红
蓝1
蓝2
蓝3
红
红红
红蓝
红蓝
红蓝
黄
黄红
黄蓝
黄蓝
黄蓝
蓝
红蓝
蓝蓝
蓝蓝
蓝蓝