（人教版）数学七年级下册期末复习专题16 解答压轴题型：代数综合题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022春•海珠区期末）若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于，的方程组，则称点为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点．
（1）若点为关于，的方程组的关联点，则 3 ， ；
（2）已知点为关于，的方程组的关联点，点为关于，的方程组的关联点；若点与点重合，求点的坐标，并求出，的值；
（3）已知为关于，的方程组的关联点，若点在第二象限，且符合条件的所有整数之和为9，求的范围．
【答案】见解析
【详解】解：（1）当，时，
，
，解得，
故答案为：3，0；
（2）根据题意可得，方程组和方程组为同解方程组，
联立和，得
解方程组，得，
将，代入中，
得，
解得，
将，代入中，
得，
解得．
（3）解方程组，
得，
在第二象限，
，，
，
，
符合条件的所有整数之和为9，
取4，3，2，1，0，时，
，
取4，3，2时，
，
的范围为：或．
2．（2022春•天河区期末）先阅读材料，后解答问题：
，即，
的整数部分为2．
若规定实数的整数部分记为，则有．
（1）计算：① 6 ；
② ；
（2）若，求满足该不等式的所有整数解．
【答案】见解析
【详解】解：（1）①，即，
，
故答案为：6；
②，
，
，
，
故答案为：6；
（2），
，
，
满足的所有整数解有，0，1．
3．（2022春•越秀区校级期末）对于实数，，定义，的含义为：
当时，，；
当时，，．
例如：，，，．
（1）， 5 ；
（2）已知，，求的取值范围；
（3）已知，，求的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）由已知，，
，，
故答案为5；
（2），，
，
；
（3），，
①当时，且，
，
②当时，且，
，
或．
4．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系中，对于点，，点，，定义与中的较大值为点，的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，将平面内的一些点分为，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第任意两点的绝对距离的最大值为，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为，称与的较大值为分类系数．如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．
（1）若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类，则 2 ， ，因此，这种分类方式的分类系数为 ；
（2）将点，，，，分为两类，求分类系数的最小值：
（3）点的坐标为，已知将6个点，，，，，分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出的取值范围．
【答案】见解析
【详解】解：（1）观察坐标图，根据题意得知：
；
；因为，所以分类系数为5；
故答案为：2；5；5；
（2）共有十种分类方法：
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，
，因为，所以分类系数为4；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：分类系数为5；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为5；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为4；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为4；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为4；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为5；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为5；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为4；
若将点，分为第类，点，，分为第Ⅱ类：，，因为，所以分类系数为4；
比较得：分类系数的最小值为4；
（3）观察图象可知，故的取值范围是：或．
5．（2022春•南沙区期末）在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
（1）请写出一个大小在之间的无理数： （答案不唯一） ；
（2）请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；
（3）如图，点表示2，，如果点表示实数，求点表示的实数；
（4）根据（3）的条件，化简：．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）如图所示，点即为所求；
（3）点表示2，，如果点表示实数，
，
点表示的实数为；
（4）由（3）知：，
．
6．（2022春•东城区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点，与点，之间的“直角距离”为．已知点，点．
（1）与两点之间的“直角距离” 6 ；
（2）点为轴上的一个动点，当的取值范围是 时，的值最小；
（3）若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
【答案】见解析
【详解】解：（1），，
，
故答案为：6；
（2）当时，的值最小；
故答案为：；
（3）如图，阴影部分即为所求（不包括坐标轴上的点）．
7．（2022春•花都区期末）读一读：
数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，表示的数为，表示的数为，则，两点的距离可用式子表示，例如：5和的距离可用或表示．
研一研：
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足．
（1）直接写出以下点的坐标： 6 ，，， ．
（2）若点、点分别是轴正半轴（不与点重合）、轴负半轴上的动点，过作，连接．已知（近似值），请探索与之间的数量关系，并说明理由．
（3）已知点是线段的中点，若点为轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】解：（1）由题意得：，解得：，
，，
故答案为：6，4；
（2），理由：
如图，
，
，
过点作，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）点是线段的中点，，，
，，
，
设，
，
解得：或，
，，
或．
8．（2022春•增城区期末）在平面直角坐标系中（单位长度为，已知点，，且．
（1）分别求，的值；
（2）若点是第一象限内一点，且轴，点到轴的距离为4，过点作轴的平行线，与轴交于点，点从点处出发，以每秒的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒的速度沿轴向右移动．
①经过几秒时，平行于轴？
②若某一时刻以，，，为顶点的四边形的面积是，求此时点的坐标．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
，，
，．
（2）如图：
①设经过秒，轴，此时，均在轴的右边，且．
，
．
当时，轴．
②，
以，，，为顶点的四边形是梯形．
当在轴右侧时，，，
．
，
（秒．
．
当在轴左侧时，，，
，
（秒．
当秒或秒时，以，，，为顶点的四边形的面积是，此时的坐标为或．
9．（2022春•如皋市期末）如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，顶点，，的坐标分别为，，，，为的中点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，顺时针沿长方形的边运动一周后回到点．设点运动时间为秒，连接，．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）当点在线段上时，求的面积（用含有的式子表示）；
（3）在点运动过程中，当时，请直接写出的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）矩形中，，，，
，，
为的中点，
，
，
．
故答案为：，；
（2）当在线段上时，由题意知，，
，
当点在线段上时，，
，
综上所述，点在线段上时，的面积为或．
（3），，
，，
，
分五种情况：
当点在线段上时，由（2）知，
；
当点在线段上时，，
，
；
当点在上时，，
，
；
当点在上时，，，
，
，
，
点不在线段上，不合题意舍去，
当点在线段上时，
，
，
综上所述，的值为1或或5或10．
10．（2022春•越秀区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且．
（1）求点，点的坐标；
（2）已知线段的长度为5，将线段平移后得到线段，，，求点到直线的距离；
（3）在（2）的条件下，点是线段上一点，过点作轴，交轴于点，延长线段至点，且，若三角形的面积等于15，求点的坐标．
【答案】见解析
【详解】解：（1）．
，，
，，
，；
（2）如图，
线段平移后得到线段，，，
，，
，，
，
设点到直线的距离为，
则，
，
点到直线的距离为12；
（3）如图，三角形的面积等于15，
，
，
，
，
设，
则，
，
解得，
，
．
11．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，且满足．
（1）求三角形的面积；
（2）过点作的平行线交轴于点，和的角平分线交于点，求的度数；
（3）在轴上是否存在点，使得三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
，，
，．
，，
，，
，，
，
，
，
三角形的面积；
（2）如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
，，
；
（3）①当在轴正半轴上时，如图2中．
设点，分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，，则，，，．
，
，
，
解得，
即点的坐标为．
②当在轴负半轴上时，如图3，同①作辅助线．
设点，，则，，．
，
，
解得，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
12．（2022春•武昌区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若，满足．
（1）求点，的坐标；
（2）将线段向右平移2个单位至，线段与轴交于点，求点的坐标；
（3）点为直线上一动点，连接，，若，则点的横坐标的取值范围是 或 ．
【答案】见解析
【详解】解：（1）．
，，
解得，；
（2），，
，，
，，2，，
由图可知，点为的中点，
；
（3）当点在的上方时，
，
，
解得，
当点在的下方时，
同理可得，
，
解得，
综上：或，
故答案为：或．
13．（2022春•荔湾区期末）在平面直角坐标系中，点，满足关系式．
（1）求、的值；
（2）若点满足三角形的面积等于3，求的值；
（3）点在轴上，记三角形的面积为，若，请直接写出的取值范围．
【答案】见解析
【详解】解：（1）．
，，
，；
（2）如图，取点，连接，，
则，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
，
，
当时，，
，
当点在上方时，同理可得直线的解析式为，
当时，，
综上：或；
（3）如图，当点在的下方时，作轴于，轴于，
此时，
，
解得，
当点在上方时，作轴于，轴于，
此时，
，
解得，
综上：或．
14．（2022春•硚口区期末）在平面直角坐标系中，，，，满足，连接交轴于．
（1）直接写出 ， ；
（2）如图1，点是轴上一点，且三角形的面积为12，求点的坐标；
（3）如图2，直线交轴于，将直线平移经过点，交轴于，点在直线上，且三角形的面积不超过三角形面积的，求点横坐标的取值范围．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
又，，
，
，
故答案为：，4；
（2）过点作轴于，
设，
三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，
即，
解得：，
点的坐标为．
过点作轴于，
三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
即，
，
点的坐标为或．
（3）设点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点，则点平移后的对应点恰好是点．连接，过点作轴，
，
三角形的面积三角形的面积，
当三角形的面积三角形的面积时，，
当点在第三象限时，
，
解得：，
当点在第二象限时，
，
解得：，
当三角形的面积不超过三角形面积的时，点的横坐标的取值范围是，且．
15．（2022春•洪山区期末）在平面直角坐标系中，点，均在轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解．
（1）求点的坐标时，小明是这样想的：先设点坐标为，因为点在直线上，所以是方程的解；又因为点在直线上，所以也是方程的解，从而，满足．据此可求出点坐标为 ，再求出点坐标为 ；点坐标为 ．（均直接写出结果）
（2）若线段上存在一点，使为原点），求点坐标；
（3）点是坐标平面内的动点，若满足，求的取值范围．
【答案】见解析
【详解】解：（1），满足，
，
，
点在轴上，又在直线上，
令，则，
，
，
同理，令，
，
，
，
故答案为：，，；
（2），，；
，
，
，
，
，
代入得，，
，；
（3）设直线交直线于点，过点作轴的垂线分别交轴，直线于，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
解得或，
，
，且．
16．（2022春•武汉期末）在平面直角坐标系中，，，．（其中，，均为正数），且，，满足，若的算术平方根为．
（1）求，，的值．
（2）如图1，在第二象限内有一点，若四边形的面积与的面积相等，求不等式：的解集．
（3）如图2，平分，过点作交的延长线于点，平分，的反向延长线交的延长线于点，设，（其中，均为锐角），请直接写出： ．
【答案】见解析
【详解】解：（1）的算术平方根为．
，
方程组可化为，
解得，
（2）作轴于，
四边形的面积为，
，
，
解得，
，
；
（3）平分，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
17．（2022春•和平区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，且点落在轴上，连接，．
（1）直接写出点、的坐标： 0，2 ， ；
（2）如图1，若点为线段的中点，点以每秒1个单位长度的速度在线段上从点向点运动，是否存在某个时刻，使得，若存在，试求出该时刻和此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，已知，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图1，点向上移2个单位，向右平移个单位得到，
则，，
此时点坐标为，
同时上平移2个单位右平移2个单位得点，
则点坐标为，
故答案为：，；
（2）存在．
如图1，为中点，
，
，，
，
，
点在线段上，
设，
，
．
，
解得；
此时符合题意．
（3）在转动过程中，的值不会改变．如图2，
，
，
射线以速度绕点顺时针旋转至停止，
，
即，
射线、同时开始旋转，同时停止运动，设运动时间为，
此时，，
同时，
，
，
即，
，
，，
，
，
，为定值．
18．（2022春•越秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．
（1）在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时， 或 ；
（2）在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标；
（3）当点在线段上的运动过程中，射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使得，求与的数量关系．
【答案】见解析
【详解】解：（1），满足关系式，
，，
，，
．
当点到的距离为2个单位长度时，，或，
或，
故答案为：或．
（2）①当时，点在上，此时，．
②当时，点在上，此时，，由于点在第四象限，纵坐标小于0，则．
③当时，点在上，此时，．
．
（3）当点在线段上时，分四种情况：
①如图1中，，理由如下：
，
，
；
②如图2中，，理由如下：
，
，
；
③如图3中，结论：，理由如下：
连接，
，，
；
④如图4中，结论：，理由如下：
当在延长线上，在上，设交于，
，，
，
，
综上所述，或．
19．（2022春•西城区期末）在平面直角坐标系中，对于点，，若这个点的横坐标的最大值为，纵坐标的最大值为，将记为，，，，称为这个点的“平面特征值”．如对于，，，．
如图，，，正方形的边在轴上，边与轴正半轴的交点为点．
（1），， 8 ；
（2）已知，过点作直线轴，直线与直线交于点，直线与直线交于点．记，，，．
①当时， ；
②用含的式子表示，判断当点在轴上运动时，是否存在最大值或最小值，如果存在，写出的值以及相应点的坐标．
【答案】见解析
【详解】解：（1），，
，，
，，，
故答案为：8；
（2）①如图，正方形的中心为，
当时，，
，，
，，，，
故答案为：10；
②当时，，，
，
当时，，
当时，，，
，
综上：，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
时，存在最小值为4，此时．
20．（2022春•江汉区期末）平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点．
（1）请直接写出点，，的坐标；
（2）如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于12，求的取值范围；
（3）如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
，，
，
，均为整数，
，，
，，
，，
，
，
，
点在轴负半轴上，
点坐标为；
（2）如图，连接，，，
将线段平移到，
，，，
四边形的面积，
，
，
，
，
，
，
，
又点为线段上一点，
，
；
（3）如图，当点在点的下方时，延长交于，
将线段平移到，
，，
，
，
，
；
如图，当点在线段上时，延长交于点，
将线段平移到，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在点上方时，
将线段平移到，
，，
，
，
，
；
综上所述：当点在点的下方时，；点在点上方时，．
21．（2022春•武汉期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且实数，满足．
（1）直接写出两点坐标： 4，1 ， ；
（2）如图2，将线段沿着横坐标均为的点组成的直线对折，与对应，与对应，若凸四边形的面积为18，求的值；
（3）如图3，点在第二、四象限的角平分线上，设点坐标为，其中．
①当在线段上时，求的值；
②若．直接写出的取值范围 ．
【答案】见解析
【详解】解：（1）由题意得：，
解得：，
，，
故答案为：，；
（2）将线段沿着横坐标均为的点组成的直线对折，
，．
当时，，，
，
解得：；
当时，，，
，
解得：；
综上所述，的值为或5；
（3）①如图，设线段交轴于点，过点作轴于点，轴于点，
过点作轴于点，轴于点，
则，，，，，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
故的值为；
②当时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、，
则，，，，，
，
，
，
，
解得：；
当时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、，
则，，，，，
，
，
，
，
解得：，
；
当时，如图，连接、，过点作轴，过点、分别作，，
则，，，，，
，，
，
，
解得：，
，
综上所述，的取值范围为：或或．
故答案为：或或．
22．（2022春•武汉期末）如图1，已知点，，，过点作轴的平行线，一动点从点出发，在直线上以1个单位长度秒的速度向右运动，与此同时，直线以2个单位长度秒的速度竖直向上运动．
（1）直接写出：运动1秒时，点的坐标为 ；
运动秒时，点的坐标为 ；（用含的式子表示）
（2）若点在第三象限，且，求点的坐标；
（3）如图2，如果将直线沿轴负半轴向下平移个单位长度，恰好经过点，求的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1）运动1秒时，点的坐标为，
即；
运动秒时，点的坐标为，
故答案为：，；
（2）如图，连接，
点，，
，，
，
，
解得：，
，，
点的坐标为，；
（3）如图2，设直线与轴交于点，
，
，
将直线沿轴负半轴向下平移2个单位经过点，
，点，，
将直线沿轴负半轴向下平移个单位长度，恰好经过点时，，
即的值为10．
23．（2022春•海安市期末）在平面直角坐标系中，，．
（1）若，，则 4 ；
（2）若，小智同学认为的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出的长；若不同意，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点，，线段上存在点，使得的面积等于4，直接写出的取值范围．
【答案】见解析【详解】解：（1）当，时，，，
，
故答案为：4；
（2）小智同学的观点正确．
理由：，
，
，
，
，
的长是定值；
（3）如图，
观察图象可知，或
，
或，
解得，或．
24．（2022春•海珠区期末）在平面直角坐标系中，已知，，线段平移得到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为点的坐标为，
（1） 1 ， ；
（2）若点为轴正半轴上的一个动点，探究、和之间的数量关系并证明；（注、和均为大于且小于的角）
（3）将线段向下平移得到线段，使得点的对应点落在轴上，点的对应点落在轴上，动点从点出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿轴向左运动，动点从点出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿轴向下，运动，直线与直线交于点，设点的坐标为．
①在时，试探究与的面积关系，并说明理由；
②若在点、的运动过程中，的面积为7，请直接写出的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1），，
点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，
，，，
，
，，
故答案为：1．；
（2）如图1中，当点在直线的左侧时，结论：．
理由：过点作，
，，
，
，，
．
如图2中，当点在直线的右边时，．
理由：过点作，
，，
，
，，
，
；
点运动到直线右侧时，，
综上所述，或或；
（3）①结论：；
理由：如图3中，由题意，，
，，
，，
，，
，
；
②如图4中，由题意点在第三象限，连接．
，
，
，
设，，
，
，，
，
，
解得，，
．
当点值第一象限时，同法可得，
解得，，
，
综上所述，满足条件的的值为或5．
25．（2022春•青山区期末）已知，在平面直角坐标系中，点在轴上，，点，且、满足．
（1）则 6 ； ；
（2）如图1，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将线段向左平移个单位，得到线段，其中点，点的对应点分别为点，点．若点在射线上，连接，得到三角形，若三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，则的取值范围是 ．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
又，，
，
，
故答案为：6，2；
（2）延长交轴于点，
由（1）得，，
，
设，
如图，当点在左侧时，
，
即，
解得，
当在右侧的位置时，
，
即，
解得，
综上所述，当，或，时，三角形的面积等于三角形面积的一半；
（3）由平移可得，，
直线，
，
，，
直线，过点作轴交于点，
，
，
，
三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，
，
解得：或．
故答案为：或．
26．（2022春•汉阳区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，，，满足．
（1）若，求三角形的面积；
（2）将线段向右平移个单位，使平移后的三角形的面积小于3，求的取值范围；
（3）若点，连接，将线段向右平移个单位，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】见解析
【详解】解：，，满足．
，
，，
（1）当时，，，，如图1，
轴，
，
三角形的面积为6；
（2）如图2，延长交轴于，
，，
点向下平移3个单位，再左平移2到点，
点向下平移3个单位，再向左平移2个单位到点，
，，，
线段向右平移个单位得到，
，，
当点在点左边时，
，
线段向右平移个单位到达处，使三角形的面积小于3，
，
，
当点在点右边时，
，
线段向右平移个单位，使三角形的面积小于3，
，
，
综上所述：的取值范围是或；
（3）如图3，，，
将线段向右平移个单位得到线段，
，，
，，
点向上平移6个单位，再向右平移6个单位到点，
点每向上平移一个单位，再向右移动一个单位得到的点必在线段上，
当线段平移到端点和线段相交时，
即：点在线段上，此时点向上平移3个单位，再先右平移3个单位得到点，
，
，
当线段平移到端点和线段相交时，
即：点在线段上，此时点向上平移6个单位，再先右平移6个单位得到点，此时点与点重合，
，
，
线段与线段有公共点，
，
故答案为：．
27．（2022春•黄冈期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．
（1）点的坐标为 ；点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为可以直接使用）．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
，，
，，
，；
故答案为，；
（2）由（1）知，，，
，，
由运动知，，，
，
，
，
，
与的面积相等，
，
，
存在时，使得与的面积相等；
（3），理由如下：
轴轴，
又
轴平分
，
如图，过点作交轴于，
同理，
，
，
即，
．