（人教版）数学七年级下册期末复习专题15 解答压轴题型：几何综合题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022春•越秀区期末）如图，、，，平分，点、、都在直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数；
（3）探究和的数量关系，并加以证明．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的外角，
，
，
，
，
平分，
，
；
（3）解：，证明如下：
，
，
是的外角，
，
，
，
，
平分，
，
，
即．
2．（2022春•海珠区期末）已知四边形，，
（1）如图1所示，求证：；
（2）如图2所示，点、在线段上，且保持，平分．
①求证：；
②如图3，若上下平行移动，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）①证明：平分．
，
，
，
，
，
；
②解：的值不会发生变化．它的值为．
理由如下：
平移后的图形如图3，
设，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．（2022春•武昌区期末）如图1，，点在上，点在上，点在直线，之间，连接，，，．
（1）直接写出的度数为 ；
（2）如图2，若平分，平分，证明：；
（3）如图3，若，，则 ．（用含有，，的式子表示）
【答案】见解析
【详解】（1）解：过点作，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知：，
，
，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，即，
，
即；
（3）解：由（1）知：，
，
，
，，
，
，，，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
4．（2022春•荔湾区期末）已知．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在内且在、之间，平分，平分，请猜想与的数量关系并证明；
（3）如图3，点在上，点在上，点是上方一点，点在、之间，连接、，的延长线平分，平分，若，求的度数．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：
反向延长交于点，过点作，
，
，
，，
．
（2）．
证明：由（1）得，
平分，平分，
，，
．
（3）如图3，过作，过作，设，，
，交于，平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，平分，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
5．（2022春•越秀区校级期末）已知：如图1，直线，分别交，于，两点，，的平分线相交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，，的平分线相交于点，请直接写出的度数．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
，
，的平分线相交于点，
，，
，
；
（2）结论：，
理由：如图，过点作，
，，
，
，的平分线相交于点，
，，
，，
，
（3）由（2）可知，，
，
，
，
当时，
．
6．（2022春•硚口区期末）直线，是一条折线段，平分．
（1）如图1，若，求证：；
（2）平分，直线，交于点．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点在直线，之间时，若，直接写出的大小．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：延长交于，交于，如图：
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，即；
（2）解：①，证明如下：
延长交于，延长交于，过作，过作，如图：
射线、分别平分，，
，，
设，，
，，
，，
，
，
，，
，，，，
，
，
，
；
②由①知，
，
，
如图：
可得，
如图：
，
，
，
，
如图：
，，
，
．
综上所述，为或或．
7．（2022春•白云区期末）如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，．
（1）求证：；
（2）若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系；
（3）若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
过点作，过点作，
由（1）得，
，，
，即；
，
，
又，
，
，
，即十；
平分，平分，
，，
十，
；
（3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是，证明如下：
过点作，过点作，
由（2）得，；
，，
，，
，
．
8．（2022春•海淀区期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
（1）①如图1，点在一条格线上，当时， 40 ；
②如图2，点在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
（2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图：
①如图格线都互相平行，
，，
，
，
，
故答案为：；
②，
证明：如图2：作平行于格线，
格线都互相平行，
，，
；
（2）或，
理由：分两种情况：
当射线在的内部，如图：
，，
，
是的一个外角，
，
格线都互相平行，
，
，
；
当射线在的外部，如图：
，，
，
是的一个外角，
，
格线都互相平行，
，
，
，
综上所述：或．
9．（2022春•青山区期末）已知，，点是直线，下方一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，分别平分和，、所在的直线相交于点，若，求的度数；（用含的式子表示）
（3）如图3，若，分和为两部分，且，，直线，相交于点，则 ． ．（用含和的式子表示）
【答案】见解析
【详解】（1）证明：过点作，
，
，
，，
，，
．
（2）解：，分别平分和，
，，
，
，
四边形的内角和为，
．
（3）解：由外角定理知：．
，，
，
，
．
故答案为：．
10．（2022春•南沙区期末）如图，，点，分别是直线和上的点．
（1）如图1，若的平分线交直线于点，，求；
（2）点是两平行线间的一点．
①如图2，若和的平分线交于点，请说明直线和的位置关系；
②如图3，若，若和的平分线交于点，求的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
，
平分，
，
，
；
（2）①，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
②过作，过作，如图，
，
，，
，，
，
同理：，
和的平分线交于点，
，，
．
11．（2022春•西城区期末）已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点．
（1）如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系；
（2）当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上．
①如图2，若平分，求证：平分；
②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形．
【答案】见解析
【详解】（1）解：补全图形如图1所示，此时，理由如下：
平分，且，
，
，
，
，
，
．
（2）①证明：
，
，，．
，，
，．
平分，
．
．
．
．
平分．
②解：如图2，
，
，
，
，
，
，解得．
12．（2022春•岚山区期末）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，，为，之间一点，连接，，得到．求证：．
解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点作，
则有 两直线平行同旁内角互补 ．
，
．
．
，
又，
．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
（2）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
①如图2，当点在点的左侧时，若，，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求的度数；
②如图3，当点在点的右侧时，设，，请直接写出的度数（用含有，的式子表示）．
【答案】见解析
【详解】解：（1）解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点作，
则有 两直线平行同旁内角互补）．
，
平行于同一条直线的两条直线平行）．
两直线平行同旁内角互补）．
，
又，
．
故答案为：两直线平行同旁内角互补，平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行同旁内角互补．
（2）①平分
由平行凸折线的性质可得
平分
②，理由如下
平分，平分
，
由平行凸折线性质可得：
13．（2022春•番禺区期末）如图，已知直线，点在直线，之间，且．
（1）如图1，若，，请用、表示；
（2）如图2，、所在直线分别平分、，且，，设，求的值．
【答案】见解析
【详解】解：（1），，
，
，，
．
．
（2）、所在直线分别平分、，且，
，，
，
，
设：，则，
由（1）知：，
，
解得：，
则：，，，
．
14．（2022春•江汉区期末）已知：在四边形中，，平分交于点，点为线段上一点，且．
（1）如图（1），若点与点重合，求证：；
（2）如图（2），若平分交于点，且，求的度数；
（3）在（1）的条件下，为线段的延长线上一点，，若的三等分线与的角平分线交于点，请直接写出的度数．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
平分，
，
，即，
平分，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：如图，只有一种情况符合题意，
是的三等分线与的角平分线交于点，，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
同理，当时，，
综上，的度数为或．
15．（2022春•东莞市期末）感知如1图，，，，求的度数；
探究如2图，，，，求的度数；
应用如3图，在以上探究条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
【答案】见解析
【详解】解：【感知】如图①，过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（平行于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，
即；
【探究】如图②，过点作，
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
（等式的性质）．
【应用】如图③所示，过点作，
是的平分线，是的平分线，
，，
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
．
16．（2022春•武汉期末）如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当 2 时，为定值，此时定值为 ．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
．
，，
；
（2）解：①，，
设，，则，．
，．
，
．
，，
，
，
，
．
，
解得：．
．
②当时，为定值，此时定值为．理由：
设，，则，．
，．
由①知：，
，
，，
，
为定值，
，
，
此时，
当时，为定值，此时定值为．
故答案为：2；．
17．（2022春•洪山区期末）已知平分，平分，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，且时，试求的值；
（3）如图3，若是直线上一动点（不与重合），平分，画出图形，并探究出与的数量关系．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图1，延长交于点，则．
，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
平分，平分，
，
由，设，则
过作平行于，如图2，
则有，
过作平行于，则有，
，
；
（3）当点在点的左侧时，如图3所示，．
理由如下：
，
平分，平分，
，
，
．
当点在点的右侧时，如图4所示，．
理由如下：
，
平分，平分，
，
．
18．（2022春•新都区期末）如图，中，，与的角平分线，相交于点，过作垂线交的延长线于点，交于点．
（1）求的大小；
（2）若，，求长度；
（3）若，求四边形的面积．
【答案】见解析
【详解】解：（1）的角平分线、相交于点，
，
；
（2），
，
由（1）知：，
，
又，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，，
，
；
（3）如图，
，，
，，，
，
，
，
，
．
19．（2022春•越秀区校级期末）如图，，点是线段，所在直线外的一点，连接，，探究，，之间的数量关系．
小明画出了图1，图2，经过分析与推理，他得到如下结论：
图1中：；
图2中：．
根据以上材料，画出点在直线上方的图形，探究，，之间的数量关系．
【答案】见解析
【详解】解：，
理由：如图：设与 交于点，
，
，
是的一个外角，
，
．
20．（2022春•花都区期末）（1）如图①，，点、分别在射线、射线上，且．求证：．
（2）如图②，，点是射线上一动点，的平分线交射线于点，请问与的比值是否发生变化？若不变，求出这两个角的比值；若变化，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：，
（两直线平行，内错角相等），
平分，
，
，
设，
则，
与的比值是，
与的比值不发生变化，等于定值2．
21．（2022春•增城区期末）已知：如图（1）直线、被直线所截，．
（1）求证：；
（2）如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图1中，
，，
，
．
（2）结论：如图2中，．
理由：作．
，，
，
，，
，
，
同法可证：，
，，，，
．
（3）如图3中，设，．，则，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
22．（2022春•汉阳区期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有，．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．（可用含有的代数式表示）
【答案】见解析
【详解】解：（1），理由如下：
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
在中，，
，
，，
，
，
同理可得，，
在中，，
；
（3）或．
理由如下：①当时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
则，
则，
由内角和，得．
②当时，如果在边反射后与平行，则，
与题意不符；
则只能在边反射后与平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得
，
由，且由（1）的结论可得，
，
则．
综上所述：的度数为：或．
23．（2022春•朝阳区期末）三角形中，的平分线与相交于点，，垂足为．
（1）如图1，三角形是直角三角形，．
完成下面求的过程．
解：，
．
，
．
同位角相等，两直线平行 ．
．
平分，
．
．
（2）如图2．三角形是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2．用等式表示，与
之间的数量关系并证明．
（3）三角形是钝角三角形，其中．过点作，交于点，直接写出，与之间的数量关系．
【答案】见解析
【详解】解：（1），
．
，
．
（同位角相等，两直线平行）．
．
平分，
．
．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；
（2）如图，，
理由如下：延长、交于，
，
，
平分，
，
是的外角，
，
；
（3）．
如图，
，
，
是的外角，
，
．
24．（2022春•武汉期末）已知，点，分别在直线，上，点在直线上方．
问题探究：（1）如图1，，证明：；
问题拓展：（2）如图2，，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点，请写出和之间的数量关系，并证明．
问题迁移：（3）如图3，，直线分别交，于点，，若点在线段上，且，请直接写出，和之间满足的数量关系（用含的式子表示）．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图，
是的外角，
，
，
，
；
（2）解：如图，
理由如下：，
，，
平分，
，
，
设，
则，，
，
平分，
，
设，
则，，
，
是的外角，
，
，
；
（3）解：如图，
，
，
，
，
，
，和之间满足的数量关系是．
25．（2022春•武汉期末）已知：点在直线上，点在直线上，．
（1）如图1，连，平分，平分，求的度数．
（2）如图2，若，射线，分别在，的内部，且，当时，求的值．
（3）如图3，在（1）的条件下，在直线上有一动点（点不与点重合），平分，若，请直接写出 或 （结果用含的式子表示）．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图1，过点作，
．
，
．
．
．即：，
、分别平分和，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，过点，作，，
，
，，
．．．．
，，
，
，
，
，
；
（3）如图3，
由题意可知：平分，平分，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
．
当在点右侧时，．
故答案为：或．
26．（2022春•海安市期末）在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在的直线与射线交于点．
（1）如图1，点在线段上运动．
①若，，则 45 ；
②若，求的度数；
（2）若点在射线上运动时，探究与之间的数量关系，请直接写出答案．
【答案】见解析
【详解】解：（1）①，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
又，
，
故答案为：45；
②由①得，
；
（2）当点在线段上时，如图（2），
，
，，
平分，
，
；
当点在射线上时，如图（3）由（1）得，，
；
综上所述，与之间的数量关系为：或．
答：若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或．
27．（2022春•思明区校级期末）直线与直线相交于，点是直线上一点，点是直线上一点，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点．
（1）如图1，若，则 ；若，则 （结果用含的代数式表示）；
（2）如图2，点是直线上一点，若点在点左侧，点在点右侧时，连接，与的平分线相交于点．
①随着点、的运动，的值是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
②延长交直线于点，作交于点，则、、三个角之间是否存在某种数量关系，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】解：（1）、分别是、的平分线，
，，
是的外角，
，
，
是的外角，
，
，
当时，；
当时，；
故答案为：，；
（2）①、分别是、的平分线，
，，
，
，
由（1）知：，
，
的值不变，为；
②存在关系式：，理由如下：
，
，
，
由①知：，
，
，
，
．
28．（2022春•如皋市期末）如图，中，，平分交的边于点，为直线上一点，过点向直线的右边作射线，使，作的平分线交射线于点．
（1）如图1，，点与点重合，求的度数；
（2）若，
①如图2，点在的延长线上，求的度数（用含有的式子表示）；
②点在直线上滑动，当存在时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含的式子表示的度数．
【答案】见解析
【详解】解：（1）
过点作于点，
则，
，
的平分线，平分，
，，
所以．
（2）
过点作于点，
①由（1）知：，，
．
②有变化．
当点在点下方时，由①得：．
当点在点上方时，由（1）得：．
29．（2022春•海沧区校级期末）如图，点在射线上，点在线段上，平分，．
（1）当时，求；
（2）点是线段上一点，点是线段上一点，连接，．若为的角平分线，，，探究直线上是否存在一点，使得．
【答案】见解析
【详解】解：（1）平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）为的角平分线，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
①，
②，
由①②消去得，
，
，
，
垂线段最短，
直线上不存在一点，使得．
30．（2022春•香洲区期末）如图1，点、分别在直线、上，点为平面内、之间的一点，若．
（1）证明：；
（2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，且、分别平分、，求的度数．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图1，过点作，
，
，即，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
，
，
，
．
设，
，
，
，
，
．
（3）解：，，，
，
，
、分别平分、，
，，
．
若，为，之间一点，则有．