（人教版）数学八年级下册期末重难点训练专题02 二次根式压轴题真题分类（2份，原卷版+解析版）

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二次根式的新定义压轴题。适合于培训机构的老师培训尖子生时使用或者学生考前冲刺高分刷题时使用。
题型一 二次根式中的配方法类压轴题
1．（2019春·上海）先阅读下列的解答过程，然再解答：
我们可以利用完全平方公式化简形如的代数式，只要我们找到两个正数、，使使得那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于4+3=7，4×3=12
即，。
（1）填空______，_______．
（2）化简：．
【详解】解：（1）==；
==；
故答案为：；；
（2）==.
2．（2022春·安徽滁州）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【详解】解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，故答案为：4,，1 ,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，∵a、m、n均为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，∴a的值为7或13．
3．（2022秋·八年级课时练习）在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：.善于动脑的小明继续探究：
当为正整数时，若，则有，所以，.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；
（2）填空：= - ；
（3）若，且为正整数，求的值.
【详解】解：（1）∵，∴，∴；
（2）由（1）中结论可得： ，∵都为正整数，∴ 或 ，
∵当m=1，n=2时，，而当m=2，n=1时，，∴m=2，n=1，
∴；
（3）∵，∴， ，
又∵为正整数，∴， 或者，
∴当时，；当，，即的值为：46或14.
4.（2019秋•岳麓区校级月考）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，填空：13+4＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【解答】解：（1）a+b＝（m+n）2＝m2+3n2+2mn，而a．b．m．n均为正整数，
所以a＝m2+3n2；b＝2mn．
（2）13+4＝（1+2）2，故答案为：1，2；
（3）a＝m2+3n2；6＝2mn；∴mn＝3，而m、n为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，∴a＝28或a＝12．
5．（2020·重庆）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标．
【详解】解：（1）根据题目意思，，∵和，
点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，
故答案为：，；
（2）∵∴；
（3）∵，
∵点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，
∴，即：M（，），又∵点M’是点M的“横负纵变点
∴M′的坐标为（，）．
6．（2020春·安徽芜湖）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
【详解】解：（1）∵，∴a＝2，b＝1；
（2）∵是的算术平方根，
∴，
∴；
（3）∵，∴，
．
题型二 二次根式中的分母有理化类压轴题
7．（2020春·云南临沧）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一)
(二)
(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
(四)
(1)直接写出化简结果①= ，②= ．
(2)请选择适当的方法化简．
(3)化简：．
【详解】解：（1）①原式=；
②原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
8．（2022秋·山东）阅读材料 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母同时乘以同一个不等于的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．
解：．
理解应用
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简；
(3)化简：．
【答案】（1）
；
（2）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，即的整数部分为1，∴a＝−1，
则原式＝；
（3）
原式＝
．
9．（2021·上海）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；
．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②为正整数）；
（2）化简：．
【详解】解：（1）①原式；
②原式；
（2）原式．
10．（2020·浙江杭州）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【详解】解：（1）由上面的解题规律可直接写出．
（2）由（1）得，原式=．
（3），同理．
又，，．
11．（2021春•望城区期末）阅读下面问题：
＝＝；
＝＝；
．
试求：（1）求＝ ；
（2）当n为正整数时＝ ；
（3）的值．
【解答】解：（1）＝＝，
故答案为：；
（2）＝＝，
故答案为：；
（3）
＝﹣1+++…++＝﹣1＝10﹣1＝9．
12．（2020•岳麓区开学）阅读与理解
同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，你会用吗？请阅读下列解题过程：
＝＝．
＝＝＝．
这实际上就是分母有理化的过程！请回答下列问题：
（1）观察上⾯的解答过程，请写出＝ ；
（2）利⽤上面的解法，请化简……+；
（3）解关于x的方程：+……+＝1．
【解答】解：（1）原式＝+；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1＝10﹣1＝9；
（3）（﹣）x+（﹣）x+（﹣）x+…+（﹣）x＝1，
（﹣）x＝1，
所以x＝＝．
13．（2021秋•开福区校级期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
【解答】解：（1）∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
∴2+与2﹣互为倒数，
故答案为：B；
（2）∵＝＝+2，＝＝﹣2，
∴x+y＝+2+﹣2＝2，x﹣y＝+2﹣+2＝4，xy＝（+2）（﹣2）＝1
∴＝＝＝；
（3）设，∵①，∴（+）（﹣）＝2t，
即24﹣x﹣8+x＝2t，解得t＝8，∴+＝8 ②，①+②得，2＝10，
即＝5，∴24﹣x＝25，∴x＝﹣1．
14．（2020秋·广东佛山）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1；
（2）；
（3），，
∵，∴>，∴