2025年中考数学第04讲 二次根式（练习，13题型模拟练+重难练+真题练）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc183026585"
\l "_Tc183026586" ?题型01 二次根式有意义的条件
\l "_Tc183026587" ?题型02 与二次根式有关的开放性试题
\l "_Tc183026588" ?题型03 二次根式的非负性
\l "_Tc183026589" ?题型04 二次根式的性质化简
\l "_Tc183026590" ?题型05 二次根式与数轴
\l "_Tc183026591" ?题型06 应用乘法公式求二次根式的值
\l "_Tc183026592" ?题型07 最简二次公式的判断
\l "_Tc183026593" ?题型08 分母有理化
\l "_Tc183026594" ?题型09 二次根式的混合运算
\l "_Tc183026595" ?题型10 二次根式估值
\l "_Tc183026596" ?题型11 与二次根式有关的新定义问题
\l "_Tc183026597" ?题型12 与二次根式有关的规律探究
\l "_Tc183026598" ?题型13 二次根式的应用
\l "_Tc183026599"
\l "_Tc183026600"
?题型01 二次根式有意义的条件
1．（2024·全国·模拟预测）在函数y=−3x−2−x+1中，自变量x的取值范围是
2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）要使代数式x−2+2−x有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x=2D．全体实数
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）a表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程a=1−1a+a−1a，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·江苏南京·模拟预测）整数a满足a2−a0，求式子x+4x的最小值．
解：令a=x, b=4x，则由a+b≥2ab，得x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=4x时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．
【解决问题】请根据上面材料回答下列问题：
（1）2+3__________22×3（用“=”“>”“0，式子x+1x的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值．
3．（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究a+b2与ab的大小关系．
(1)观察猜想：a+b2与ab的大小关系是a+b2______ab．
(2)计算验证：当a=8,b=8时，a+b2与ab的大小关系是a+b2______ab；当a=2,b=6时，a+b2与ab的大小关系是a+b2______ab．
(3)推理证明：如图，以AB为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作CD⊥AB于点D，设AD=a，BD=b．先用含a，b的式子表示出线段OC，CD，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．

(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值．
4．（2023·河南洛阳·二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0，b>0时，有a+b2=a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x>0时，x+1x的最小值为_________；当x0时，求y=x2+3x+16x的最小值；
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．
1．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y=33x−33与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4⋯，则点A2024的横坐标为 ．
2．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0−2C．x≥−2D．x≠−2
2．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ）
A．4B．6C．8D．12
3．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．20=2B．23+33=56
C．8=42D．323−2=6−23
4．（2023·河北·中考真题）若a=2，b=7，则14a2b2=（ ）
A．2B．4C．7D．2
5．（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
6．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC=12AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE=mAB，则m的值为（ ）

A．5−12B．5−22C．5−1D．5−2
二、填空题
7．（2024·山东青岛·中考真题）计算：18+13−1−2sin45°= ．
8．（2021·贵州铜仁·中考真题）计算27+183−2= ；
9．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
10．（2022呼伦贝尔市中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是 ．
11．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知实数a、b满足a−2+b+3=0，若关于x的一元二次方程x2−ax+b=0的两个实数根分别为x1、x2，则1x1+1x2= ．
12．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a=12−1+−30，b=3+23−2，则a+b= ．
三、解答题
13．（2024·青海·中考真题）计算：18−tan45°+π0−−2．
14．（2022·四川遂宁·中考真题）计算：tan30°+1−33+π−330−13−1+16．
15．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：aa2−2a+1÷1+1a−1，其中a=5+1．
16．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：1x+1+1x2−1÷xx−1，其中x=12+50−12−1．
17．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段EF的长；
（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．