2020-超常数学竞赛-8年级-初赛-真题（含答案）

这是一份2020-超常数学竞赛-8年级-初赛-真题（含答案），共30页。试卷主要包含了5 小时，5D， 例如，14958236表示数， 故选 B，因此 H 是 4，E 是 2，故选 A等内容，欢迎下载使用。

姓名： 考试时间：90 分钟 满分：120 分
考试说明
本试卷包括 25 道不定项选择题（可能有几个选项正确），其中第 1〜10 题各 4 分，第 11—20 题各 5 分，第 21〜25 题各 6 分。
每道题的分值按正确选项的个数平均分配，但是如有错选，则该题不得分。
左侧有一大方块，内有九个小方格，左上角的画面为原始画面，有问号的小方格为欲知画面的方格.
原始画面必须向右或向下做连续反射，且每隔一线反射一次，直到求出在问号位置的画面为止. 在右边五个答案中，有一个画面即为在问号位置的画面. 请你将这个画面找出，然后选出正确的答案.（ ）
?
循环小数 0. 328 181 818 181⋯可以被等同表示为
?
则? + ?的值为（）.
，?与?为互素正整数，
A.1100B.1461C.1561D.1614E.1641
左侧有一组排列好的方格，经过空间平面的顺时针或逆时针方向旋转之后，成为五个答案中的一组，请将这一组方格找出. （）
如图所示，由点 O 引出的 6 条射线形成的角满足∠??? = ∠??? = ∠??? =
∠??? = ∠??? = 18°. 直线?分别交这 6 条射线依次于点?，?，?，?，?，?. 则图中锐角的个数可能有（）个.
A.22B.23C.24D.25E.26
31
某考生家长擅长投资，他的投资在 1 月份增值
，2 月份贬值 ，3 月份增值
44
111?
，4 月份贬值 ，5 月份增值 ，6 月份又贬值
，（?和?为互素正整数）. 若他的
357?
资产价值在 6 月末和 1 月初相同，则? + ?的值为（）.
A.8B.9C.10D.11E.12
设直线?? + (? + 1)? = √2（?为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为
??(? = 1，2， ⋯ ，2020)，则?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ?2020的值为（）.
2021
A.
2020
2020
B.
2021
2019
C.
2020
2020
D.
2019
2019
E.
2023
疫情期间一个学生收到一份作业共 20 道题，每做对一题可得 8 分，每错一
题扣 5 分，没有动手做的题则得 0 分，结果这个学生共得 13 分. 则他共做了（ ）道题.
A.6B.7C.13D.15E.19
有麦田 5 块 A，B，C，D，E，它们的产量（单位：t）、交通状况和每相邻两块麦田的距离如下图所示，要建一座永久性打麦场，这 5 块麦田生产的麦子都在此打麦场. 则建在（ ）块麦田上（不允许建在麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小. 图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母?，?，?表示距离，且? < ? < ?.
A.AB.BC.CD.DE.E
在平面上给出七点 A，B，C，D，E，F，G，联结这些点形成七个角. 在图（a）中，这七点固定，且令 ∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠? = ?，在图（b），（c）中，A， B，C，G 四点固定，D，E，F 变动，此时，令∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠? = ?，则下述结论中正确的是（）.
? ≥ ?B.? = ?C.? < ?
D.?比?有时大有时小E.无法确定
某校初二有甲、乙、丙三个班. 甲班比乙班多 4 名女同学，乙班比丙班多 1名女同学. 如果把甲班的第一组女生都调到乙班，乙班的第一组女生都调到丙班，丙班的第一组女生都调到甲班，则三个班的女同学人数恰好相等. 已知丙班第一组中共有 2 名女同学，则甲班第一组有（ ）名女同学.
A.4B.5C.6D.7E.8
1
A 的体积是 B、C 两体积之和的
，而 B 是 A、C 体积之和的
1
. 则 C 的体积
??
是 A、B 两体积之和的（）.
??
A.
?+?
?+?+2
B.
??−1
??−1
C.
?+?+2
?+?+1
D.
?+?+2
?+?
E.
??
所有不超过 100 的恰好有三个正整数因子的正整数的乘积是（）. A.1002B.2002C.4002D.2102E.4302
河水是流动的，在点 Q 处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q，然后穿过湖到 R，共用 3 小时. 若他由 R 到 Q 再到 P，共需 6 小时. 如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，那么，从 P 到 Q 再到 R 需 2.5 小时. 在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需（ ）小时.
A.6B.7C.7.5D.8E.10.5
一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长度依次是 1，3，3，2，则该六边形的周长为（ ）.
A.11B.13C.15D.16E.17
黑白方块排列，要从逆时针“↺”或顺时针“↻”旋转后的形状、数量、方位等找出其正确的排列情形. 以下选项符合上述规律的是（ ）.
2021 年新年快到了，两位数学家所寄的贺年片很独特，是一个加法式，给出的条件是?2 = ?，同时每一个不同的字母代表一个不同的数字，则下面加法问题的????? =（ ）.
A.94223B.96332C.78443D.84225E.64225
111
满足式 ++
???
为（）.
1
= 的正整数?，?，?(? ≥ ? ≥ ?) 的数组(?，?，?)的个数
2
A.6B.7C.8D.9E.10
如图所示，6 个边长为 2 的正八边形以 2 乘 3 的排列方式内接于一个正方形. 正方形面积可以表示为? + ?√2，?和?为正整数. 则? + ?的值为（）.
A.80B.114C.194D.204E.224
在双 11 活动中，某平台中的某商品拟做两次调价，设? > ? > 0，有下列六种方案供选择：
先涨价?%，再降价?%；
先涨价?%，再降价?%；
?+?
先涨价
2
?+?
% ，再降价% ；
2

先涨价√??%，再降价√??% ；
?+?
先涨价
2
%，再降价√??% ；
?+?
先涨价√??%，再降价%.
2
若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案，则其中方案（ ）是好方案.
A.AB.CC.DD.EE.F
如图所示，已知 E，F 分别是□ABCD 的边 AB，BC 的中点，P 是 DF，CE 的交点，则?△???: ?□???? =（）.
：8B.3 ：8C.1 ：20D.3 ：22E. 5 ：23
左侧有几个立体图形，这些立体图形结合成五个答案中的一组图形，请从这五个答案中找出这些立体图形所结合的一组来. （ ）
用一架天平从十二个给定币值的硬币中排选岀混在其中的一个伪币，为此最少需要称（ ）次. 假定十一个标准币的质量全部相等，而那个伪币比标准币不是轻些就是重些.
B.3C.4D.5E.6
在一月份，小李和小杨已被罚款 20 次，每人各收到了 20 张罚单（每一张不超过 5 元，他们收到的至少是 2 元）. 小李收到的 5 元、4 元、3 元、2 元罚款单的张数分别和小杨收到的 4 元、3 元、2 元、5 元的一样多. 假定他们的罚款总数相同，则小李收到了（ ）张 2 元罚单.
B.4C.5D.6E.7
我们对大的数能设计一种简写记号，对?个连贯出现的?记作??，其中?是正整数，?是一个固定的数字(0 ≤ ? ≤ 9). 例如，14958236表示数
11 119 999 988 333 333
如果
2?3?5? + 3?5?2? = 5372835173
则有序三元组(?，?，?)为（）.
A.(4，5，3)B.(3，6，3)C.(3，5，4)
D.(5，3，4)E.(5，4，3)
在纸上把 1，2，…，20 写成一行. 甲、乙二人轮流把符号“+”或“−”放到其中一个数之前（不得重复填写）. 甲力求在放完 20 个符号后使所得和的绝对值尽可能小，则乙能使得到的和的绝对值达到的最大值为（ ）.
B.19C.20D.30E.35
2020 年超常（数学）思维与创新能力测评
（初二初赛 答案）
姓名： 考试时间：90 分钟 满分：120 分
考试说明
本试卷包括 25 道不定项选择题（可能有几个选项正确），其中第 1〜10 题各 4 分，第 11—20 题各 5 分，第 21〜25 题各 6 分。
每道题的分值按正确选项的个数平均分配，但是如有错选，则该题不得分。
左侧有一大方块，内有九个小方格，左上角的画面为原始画面，有问号的小方格为欲知画面的方格.
原始画面必须向右或向下做连续反射，且每隔一线反射一次，直到求出在问号位置的画面为止. 在右边五个答案中，有一个画面即为在问号位置的画面. 请你将这个画面找出，然后选出正确的答案.（ ）
解 如解图，把分隔线想成镜子，可知 C 项为问号处的图形，故选 C.
?
循环小数 0. 328 181 818 181⋯可以被等同表示为
?
则? + ?的值为（）.
，?与?为互素正整数，
A.1100B.1461C.1561D.1614E.1641
解
99
81
32
0.328181818181 ⋯ = 0.32 + 0.008181818181 ⋯ =
0.818181 ⋯8
+=+
89
=+
251100
44 × 8 + 9
==
1100
361
1100
100
100
25100
得到答案 1100 + 361 = 1461. 故选 B.
解 左侧的这组方格经过顺时针或逆时针方向旋转之后，与 B 项相同，与其他
有一组排列好的方格，经过空间平面的顺时针或逆时针方向旋转之后，成为五个答案中的一组，请将这一组方格找出. （）
四项均不同，即正确答案为 B.
如右图所示，由点 O 引出的 6 条射线形成的角满足∠??? = ∠??? = ∠??? =
∠??? = ∠??? = 18°. 直线?分别交这 6 条射线依次于点?，?，?，?，?，?. 则图中锐角的个数可能有（）个.
A.22B.23C.24D.25E.26
解 易知∠??? = 18° × 5 = 90°，所以，顶点为 O 的锐角有
6×5
2
− 1 = 14(个).
因为垂直于同一条直线的两条直线平行，所以直线?最多只能与 OB，OC，OD，OE 中的某一条垂直，因此，在 M，G，H，K，L，N 各点，各个点处有互为对顶角的 2 个锐角，至少共计 10 个锐角，因此图中至少有14 + 10 = 24个锐角. 最多 26 个，锐角的个数只可能是偶数. 所以选 CE.
31
某考生家长擅长投资，他的投资在 1 月份增值
，2 月份贬值 ，3 月份增值
44
111?
，4 月份贬值 ，5 月份增值 ，6 月份又贬值
，（?和?为互素正整数）. 若他的
357?
资产价值在 6 月末和 1 月初相同，则? + ?的值为（）.
A.8B.9C.10D.11E.12
解 他的最后总资产
1 = (1 +
3
) (1 −
4
1
) (1 +
4
1
) (1 −
3
1
) (1 +
5
1?
) (1 −)
7?
7344
=×××
4435
8? − ?
××
7?
8? − ?
=×
5?
因此，5? = 8? − 8?，8? = 3?，解得? = 3，? = 8，进而得到? + ? = 11.
故选 D.
设直线?? + (? + 1)? = √2（?为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为
??(? = 1，2， ⋯ ，2020)，则?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ?2020的值为（）.
2021
A.
2020
2020
B.
2021
2019
C.
2020
2020
D.
2019
2019
E.
2023

解 由题意可得 ?
1√2 √2
=××
?2?
?+1
1√√21
当? = 1时，? =×2 ×=
1222
当? = 2时，

1√2 × √2 = 1
?2 = 2 × 2
32×3
当? = 3时，

1√2 × √2 = 1
?3 = 2 × 3
43×4
⋯ ⋯
当? = 2020时
1√2√21
?2020 = 2 × 2020 × 2021 = 2020 × 2021
所以
111
?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ?2020 = 2 + 2 × 3 + ⋯ + 2020 × 2021
111
=+−
223
11
+−+ ⋯ +
34
1
2020
1
−
2021
故选 B.
= 1 −
1
2021
2020
=
2021
疫情期间一个学生收到一份作业共 20 道题，每做对一题可得 8 分，每错一
题扣 5 分，没有动手做的题则得 0 分，结果这个学生共得 13 分. 则他共做了（ ）道题.
A.6B.7C.13D.15E.19
解 这个学生共做了 13 道题.
设?为解对的题的个数，?为解错的题的个数，则有 8? − 5? = 13
将方程变形为8(? + ?) = 13(1 + ?)
从这里看出，? + ?能被 13 整除，依题设? + ?不大于 20，故? + ? = 13(此时? = 6，
? = 7).
可以用下面的方法解方程 8? − 5? = 13
由视察法易得方程的一组解?0 = 1，?0 = −1，对于任意的整数?，数对
{? = 1 + 5?
? = −1 + 8?
适合方程，实际上
8? − 5? = 8(1 + 5?) − 5(−1 + 8?) = 8 + 5 + 40? − 40? = 13
此时 ? + ? = 13?，因? + ? ≤ 20，?为整数，故
? = 1，? + ? = 13
所以? = 6，? = 7
故选 C.
对形如?? − ?? = ?(?，?互素)的任意线性方程，其整数解的一般形式可按如下模式写出：
先找出方程的任意一组整数解?0，?0，则? = ?0 + ??，? = ?0 + ??(? ∈ ?)即为方程的全部整数解.
有麦田 5 块 A，B，C，D，E，它们的产量（单位：t）、交通状况和每相邻两块麦田的距离如下图所示，要建一座永久性打麦场，这 5 块麦田生产的麦子都在此打麦场. 则建在（ ）块麦田上（不允许建在麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小. 图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母?，?，?表示距离，且? < ? < ?.
A.AB.BC.CD.DE.E
解 设在?处的最少运输量为?(?)，根据三角形边的长度关系，有? + ? > ?，于
是
?(?) = 3? + 5(? + ?) + 4(? + ?) + 6? = 18? + 5? + 4?
?(?) = 10? + 8? + 4?
?(?) = 18? + 13?
?(?) = 14? + 13?
?(?) = 26? + 6?
经比较，知 min{?(?)，?(?)，?(?)，?(?)，?(?)} = ?(?)故 B 处为最佳选择. 故选 B.
在平面上给出七点 A，B，C，D，E，F，G，联结这些点形成七个角. 在图（a）
中，这七点固定，且令∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠? = ?，在图（b），（c）中，A， B，C，G 四点固定，D，E，F 变动，此时，令∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠? = ?，则下述结论中正确的是（）.
? ≥ ?B.? = ?C.? < ?
D.?比?有时大，有时小E.无法确定
解 对于题图(a)，设 CD 与 FG 交于点 M，BC 与 FG 交于点 N，如解图(a). 由
∠? + ∠? + ∠??? + ∠G = 360°
∠? + ∠? + ∠? + ∠??? = 360°
及
∠??? + ∠??? = 180° − ∠??? + 180° − ∠??? = 360° − (180° − ∠?)
= 180° + ∠?.
从而
∠? + ∠? + ∠? + ∠??? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠???
= ∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠? + 180° + ∠? = 720°
从而
? = 720° − 180° − ∠? − ∠? = 540° − ∠? − ∠?
对于题图(b)，设 CD 与 FG 交于点 M，BC 与 FG 交于点 N，如解图(b)，同题图
(a)中的讨论
? = 540° − ∠? − ∠?
对于题图(c)，设 AG 与 DE 交于点 L，分别在五边形 ABCDL 和∆???中，有
∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠??? = (5 − 2) × 180° = 540°
∠? + ∠? + ∠??? + ∠? + ∠??? = 180°
及
∠??? + ∠??? = 180° − ∠???
从而
∠? + ∠? + ∠? + ∠? + ∠??? + ∠? + ∠? + ∠??? + ∠? + ∠??? = 720°
故
? = 720° − 180° − ∠? − ∠? = 540° − ∠? − ∠?
故选 AB.
某校初二有甲、乙、丙三个班. 甲班比乙班多 4 名女同学，乙班比丙班多 1名女同学. 如果把甲班的第一组女生都调到乙班，乙班的第一组女生都调到丙班，丙班的第一组女生都调到甲班，则三个班的女同学人数恰好相等. 已知丙班第一组中共有 2 名女同学，则甲班第一组有（ ）名女同学.
B.5C.6D.7E.8
解法 1 设丙班有?名女同学，甲班第一组有?名女同学，乙班第一组有?名女同学.则乙班原有? + 1名女同学，甲班原有? + 5名女同学. 依题意，列出方程
(? + 5) − ? + 2 = (? + 1) − ? + ? = ? − 2 + ?
所以即
解得 ? = 5，? = 4.
7 − ? = 1 − ? + ? = ? − 2
{7 − 2? = 1 − ? 1 + ? = 2? − 2
所以甲班第一组有 5 名女同学，乙班第一组有 4 名女同学. 故选 B.
解法 2甲班比乙班多 4 名女同学，乙班比丙班多 1 名女同学，显然，甲班调
出 3 名女同 学补乙班 1 名、补丙班 2 名，则三个班女同学人数相等，不妨称此人数为女同学“调等人数”. 由题意，丙班调第一组 2 名女同学去甲班，这时丙班女同学与“调等人数”相差 4 人，而乙班第一组女同学调入丙班后将补充丙班女同学恰达到“调等人数”. 因此乙班第一组有 4 名女同学. 甲班女同学比“调等人数”多 3
人，丙班第一组 2 名女同学调入后，这时将比“调等人数”多 5 人， 但甲班第一组女同学调入乙班后，甲班女同学将恰达到“调等人数”. 所以甲班第一组应有 5 名女同学，进而求得乙班第一组有 4 名女同学.
1
A 的体积是 B、C 两体积之和的
，而 B 是 A、C 体积之和的
1
. 则 C 的体积
??
是 A、B 两体积之和的（）.
??
A.
?+?
?+?+2
B.
??−1
??−1
C.
?+?+2
?+?+1
D.
?+?+2
?+?
E.
??
1
解 C 的体积与 A，B 两体积之和的比我们用
?
?? = ? + ?
{?? = ? + ?
?? = ? + ?
在第一个等式的两边加入体积 A，我们得到
代表，这时我们可以写成
?(? + 1) = ? + ? + ?
由此
用相似的变换，我们可以得到
和
把这三个等式两边相加后给出
1
? + 1
1
? + 1
1
? + 1
?
=
? + ? + ?
?
=
? + ? + ?
?
=
? + ? + ?
1
+
? + 1
1
+
? + 1
1
? + 1
? + ? + ?
== 1
? + ? + ?
这时我们求?，有
1
11?? − 1
? + 1 = 1 − ? + 1 − ? + 1 = (? + 1)(? + 1)
(? + 1)(? + 1)
? + 1 =
?? − 1
? =
(? + 1)(? + 1)
?? − 1
??−1
− 1 =
? + ? + 2
?? − 1
C 的体积是 A，B 两体积之和的
故选 C.
.
?+?+2
所有不超过 100 的恰好有三个正整数因子的正整数的乘积是（）. A.1002B.2002C.4002D.2102E.4302
解 首先证明：恰有三个正整数因子的正整数是素数的平方.设?恰有三个正整数因子.
则除 1 和?本身外还有一个素因子，设这个素因子为?，则
?|?，? ≠ ?
于是
这样必有因此
? = ? × ?，? ≠ ?，1
? = ?
? = ?2
此时?必为素数，否则，?就有多于三个正整数因子.而小于 100 的素数的平方只有22，32，52，72.
于是所求的数的乘积为
22 × 32 × 52 × 72 = 44100 = (210)2
故选 D.
河水是流动的，在点 Q 处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q，
然后穿过湖到 R，共用 3 小时. 若他由 R 到 Q 再到 P，共需 6 小时. 如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，那么，从 P 到 Q 再到 R 需 2.5 小时. 在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需（ ）小时.
A.6B.7C.7.5D.8E.10.5
解 设游泳者的速度为 1，水速为?，?? = ?，?? = ?，则
?
1 + ?
? + ?
+ ? = 3①
5
=②
1 + ?2
?
① − ②得
即
1 − ?
?? 1 + ?
+ ? = 6③
1
=
2
③ − ①得
? =
1 + ?
④
2?
即
由②④⑤得
即
2??
1 − ?2 = 3
3(1 − ?2)
? =
2?
5
(1 + ?) = ? + ? =
2
1 + ?
2?
⑤
(4 − 3?)
5? = 4 − 3?
于是
1
? =
2
? + ? 1 − ?
15
? + ?
=
1 + ?
1 + ?
×
1 − ?
1
1 +
= 5 ×2 = 15
2
21 − 12
即本题答案为
2
小时. 故选 C.
一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长度依次是 1，3，3，2，则该六边形的周长为（）.
B.13C.15D.16E.17
解 设六边形 ABCDEF 的六个内角都是 120°，且?? = 1，?? = 3，?? = 3，
?? = 2(解图(a)).
延长 AB，CD，可见△ ???为等边三角形，在∠??? = 60°，又∠??? = 60°，故
??//??，同理??//??，??//??. 由于 A，B，C，D，E 确定之后，过 E 作 BC 的平行线是唯一的，过 A 作 CD 的平行线也是唯一的，故点 F 也是唯一的.
据此，作边长为 3 的正六边形，将每边 3 等分后，作交角为 60°（或 120°）的平行线(解图(b)). 其中的粗线条六边形便是已知六边形，易见?? = 2，?? = 4，故周长为1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 4 = 15.
(a)(b)
注意，在未确定图形的唯一性之前，由图算出周长是不完整的. 故选 C.
黑白方块排列，要从逆时针“↺”或顺时针“↻”旋转后的形状、数量、方位等找出其正确的排列情形. 以下选项符合上述规律的是（）.
解 (1)题图：为↻旋转 90°，180°的连续图，其方位由西北→东北→东南(以上端黑方块①的位置为准). 推论下一个方位为西南.
A 图：方位与题图 1 相同，不符.
B 图：形状与题图不同，不符.
C 图：①位置在西南，且整个形状与题图相同，符合.
D 图：方位与题图 3 相同，不符.
E 图：形状与题图不同，不符.
只有 C 图为题图↻旋转后正确的方位，形状亦相同.故选 C.
2021 年新年快到了，两位数学家所寄的贺年片很独特，是一个加法式，给出的条件是?2 = ?，同时每一个不同的字母代表一个不同的数字，则下面加法问题的????? =（ ）.
A.94223B.96332C.78443D.84225E.64225
解 破译这封巧妙的贺年片有许多办法，其中最简单的办法如下. 从左边(第一
列)开始，显然 A 等于 0，C 必定比 N 大 1，因为 1 是从下一位进上来的最大数.H 必定是 4 或 9，因为只有这两个数字才是另外一个数字的平方，但它不可能是 9，因为如果 H 是 9，D 和 S 加上进位的数不可能高达 19.因此 H 是 4，E 是 2.第四列加上所进的数一定等于 12，这意味着第三列 中的 D 与 S 之和等于 13，由此可知，D与 S 或者是 8 与 5(顺序可倒过来，即 5 与 8)，或者是 7 与 6，因为 4 已经用过了.D不可能是 8，否则，最后一列的 J 与 R 就会是相同的数字，它也不可能是 5 或 7，因为这样的话，从第四列看，R 就必须是 4 或 2 了.因此，D 肯定为 6，R 为 3，S 为 7，这样，N 一定是 8，C 是 9，剩下的几个数依次是 B 为 1(第五列)，J 为 5(第六列). 这样，只能是如下形式：
故????? = 94223.故选 A.
满足式
1111
++=
???2
的正整数?，?，?(? ≥ ? ≥ ?) 的数组(?，?，?)的个数为（）.
A.6B.7C.8D.9E.10
解 由? ≥ ? ≥ ? > 0，得0 < 1 ≤ 1 ≤ 1，而
所以? > 2，所以? ≥ 3.又
?
11
=
?2
??
111
− ( + ) 0，所以7 ≤ ? ≤ 12. 由 +
1
= ，得(? − 6) × (? − 6) =
6???6
36.所以? − 6是 36 的因数. 因此? − 6可能是1，2，3，4，6，9，12，18，36，而
7 ≤ ? ≤ 12，所以? = 7，8，9，10，12. 相应的? = 42，24，18，15，12.
这时，适合条件的整数组是(42，7，3)，(24，8，3)，(18，9，3)，(15，10，
3)，(12，12，3)，共 5 个.
（2）当? = 4时，有
11111
+=−=
??244
1
所以 ≤
4
2
，5 ≤ ? ≤ 8，(? − 4)(? − 4) = 16. 因此，(?，?，?)=(20，5，4)，(12，
?
6，4)，(8，8，4)，共 3 个.
(3)当? = 5时，有
11
+
??
113
=−=
2510
3
所以≤
10
2
，5 ≤ ? ≤ 6.
?
因为?(3? − 10) = 10?，所以(?，?，?)=(10，5，5)，共 1 个.
(4)当? = 6时，有
11111
+=−=
??263
1
所以 ≤
3
2
，所以? = 6，? = 6. 所以(?，?，?)=（6，6，6），共 1 个.
?
由(1)~(4)，得5 + 3 + 1 + 1 = 10，所以适合条件的整数组共有 10 个.故选 E.
如图所示，6 个边长为 2 的正八边形以 2 乘 3 的排列方式内接于一个正方形. 正方形面积可以表示为? + ?√2，?和?为正整数. 则? + ?的值为（）.
A.80B.114C.194D.204E.224
解 如解图所示
经过八边形顶点画平行于正方形一边的直线. 将经过八边形相邻顶点的 4 条直线标记为 A，B，C，D. 从直线B 到直线 C 的距离是其中一个八边形的边长，所以是
2
2. 从 C 到 D 的距离是斜边长为 2 的等腰直角三角形中的一条直角边长，长度为=
√2
√2.
于是，正方形的边长为

4 × 2 + 5 × √2 = 8 + 5√2
因此，正方形的面积为
22
2
(8 + 5√2) = 8 + 2 × 8 × 5√2 + (5√2)
= 64 + 80√2 + 50
= 114 + 80√2
所求之和为114 + 80 = 194. 故选 C.
在双 11 活动中，某平台中的某商品拟做两次调价，设? > ? > 0，有下列六种方案供选择：
先涨价?%，再降价?%；
先涨价?%，再降价?%；
先涨价
?+?
2
?+?
% ，再降价% ；
2

先涨价√??%，再降价√??% ；
?+?
先涨价
2
%，再降价√??% ；
?+?
先涨价√??%，再降价%.
2
若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案，则其中方案（ ）是好方案.
A.AB.CC.DD.EE.F
解 设某商品原价为 1，采用方案?，?，?，?，?，?调价后的商品价格分别为
?，?，?，?，?，?，则
? − ???
? = (1 + ?%)(1 − ?%) = 1 +
100 − 1002
? − ???
? = (1 + ?%)(1 − ?%) = 1 +
100 − 1002
? + ?
? + ?
(? + ?)2
? = (1 +
%) (1 −
2
2%) = 1 − 4 × 1002
??
? = (1 + √??%)(1 − √??%) = 1 − 1002
? + ?
? + ?√??
(? + ?)√??
? = (1 +
2%) (1 − √??%) = 1 +
−−
200100
2 × 1002
? + ?
√??
? + ?
(? + ?)√??
? = (1 + √??%) (1 −
因为? > ?，所以
%) = 1 +−
2100
−
200
2 × 1002
? − ? =
? − ? 100
? − ?
−
100
2(? − ?)
=> 0
100
? − ? =
? − ???(? + ?)2
−+=
10010024 × 1002
? − ?
+
100
(? + ?)2 − 4?? 4 × 1002
? − ?(? − ?)2
=
? − ? =
100 + 4 × 1002 > 0
? − ?
> 0
100
? − ? =
? − ???
−−
1001002
? + ?√??
++
200100
√??(? + ?) 2 × 1002
? − 3? + 2√??
=+
200
√??(? + ? − 2√??) 2 × 1002
2
(? − ?) + 2√?(√? − √?)
=+
200
√??(√? − √?)
2 × 1002> 0
? − ? =
? − ???√??
−−+
1001002100
? + ?
+
200
√??(? + ?) 2 × 1002
3? − ? − 2√??
=+
200
√??(? + ? − 2√??) 2 × 1002
2

(? − ?) + 2√?(√? − √?)
=+
200
√??(√? − √?)
2 × 1002> 0
所以? > ?，? > ?，? > ?，? > ?，? > ?，所以方案 A 是好方案.故选 A.
如图所示，已知 E，F 分别是□ABCD 的边 AB，BC 的中点，P 是 DF，CE 的交点，则?△???: ?□???? =（）.
：8B.3 ：8C.1 ：20D.3 ：22E. 5 ：23
解 如解图所示，联结 ED.
设平行四边形 ABCD 的面积为 S，有
???3
?∆??? = ?□???? − ?∆??? − ?∆??? − ?∆??? = ? − 4 − 8 − 4 = 8 ?
令
?∆??? = ?1，?∆??? = ?2，?∆??? = ?3，?∆??? = ?4
则有
3
?1 + ?2 = ?∆??? = 8 ?
1
?2 + ?3 = ?∆??? = 8 ?
1

?3 + ?4 = ?∆??? = 4 ?
{?1: ?2 = ?4: ?3
??
? = ?2 × ?4 = (8 − ?3) (4 − ?3)
3?131
解得
故
故选 C.
8 ? − 8 ? + ?3
1
?3 = 20 ?
?∆??? : ?□???? = 1: 20
左侧有几个立体图形，这些立体图形结合成五个答案中的一组图形，请从这五个答案中找出这些立体图形所结合的一组来. （）
解 选项 B、C、D、E 各组的图形与左侧的三个图形都没有完全相符合的，仅 A
项的三个图和左侧的三个图形相符合，故正确答案为 A.
补充：看其中最清楚的一面组合成新的图形即可.
用一架天平从十二个给定币值的硬币中排选岀混在其中的一个伪币，为此最少需要称（ ）次. 假定十一个标准币的质量全部相等，而那个伪币比标准币不是轻些就是重些.
B.3C.4D.5E.6
解 这道题是要求用一架天平称最少的次数，挑出混在 12 个硬币中的一个伪币来. 它就属于上面所说的那类问题.
有几个人证明了，在最不碰巧的情况下，最多只需要称三次. 其中一个人做得更好些，他详细地证明了，称重三次不仅能够挑出那个伪币，而且还可以知道它是较轻还是较重. 还有一个人，他用的解法和上面那个人一样，但是，他还画出了一张十分巧妙的图解（下图），以一种独特的方式描述了他的解法.
图中文字的意义如下：
平—平衡；右轻—不平衡，右端轻；右重—不平衡，右端重；伪—伪币；伪轻—伪币轻；伪重—伪币重；好—好币
对这张图，基本上不再需要做什么说明.从每次称重可能出现的结果做出的判断写在引向下一次称重的那些直线的下面.简单说来是这样：第一次，先在天平的两个盘上各放上四个硬币，剩下四个硬币未称.若天平平衡，伪币一定是混在剩下的四个硬币中. 从这当中取出三个硬币，另取三个标准币，各放在天平的一个盘中再称一次，这样，继续称第三次，就能判断出那四个硬币中哪一个是伪币，而且能知道是轻还是重. 若称第一次时天平就不平衡，下一步是从轻的一组中拿出三个硬币加上重的一
组中的一个硬币放在天平一端，把轻的一组中剩下的那个硬币加上三个标准币放在另一端，再称一次（在这次称重中，把上面这句话中“轻”和“重”两词交换位置也一样）. 若天平这一次平衡，那么，放在天平盘上的那五个有嫌疑的硬币全部是标准币，伪币是混在这第二次未称的那三个硬币中. 这样，只要如前再称一次，就能知道它们当中是哪一个轻了或重了. 若第二次称不平衡，而且只装有一个有嫌疑硬币的那个天平盘较重，那么，由于那个有嫌疑的硬币第一次是放在轻的一端，所以伪币一定是混在两次都放在轻的一端的那三个硬币中. 这样，也只要再称一次，就能把伪币找出来. 但是，如果只装有一个有嫌疑硬币的那个盘较轻，那么，或者那就是一个伪币，或者两次称重时都在重的一端那个硬币是伪币. 这样，同样是再称第三次就可以知道结果.
故选 B.
在一月份，小李和小杨已被罚款 20 次，每人各收到了 20 张罚单（每一张不超过 5 元，他们收到的至少是 2 元）. 小李收到的 5 元、4 元、3 元、2 元罚款单的张数分别和小杨收到的 4 元、3 元、2 元、5 元的一样多. 假定他们的罚款总数相同，则小李收到了（ ）张 2 元罚单.
B.4C.5D.6E.7
解 设小李分别有 5 元、4 元、3 元及 2 元的单子?5，?4，?3和?2张.由条件知
?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 20
5?5 + 4?4 + 3?3 + 2?2 = 5?2 + 2?3 + 3?4 + 4?5
上式即
−3?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 0
所以，4?2 = 20，小李得到了 2 元的罚单 5 张. 故选 C.
我们对大的数能设计一种简写记号，对?个连贯出现的?记作??，其中?是正整数，?是一个固定的数字(0 ≤ ? ≤ 9). 例如，14958236表示数
11 119 999 988 333 333
如果
2?3?5? + 3?5?2? = 5372835173
则有序三元组(?，?，?)为（）.
A.(4，5，3)B.(3，6，3)C.(3，5，4)
D.(5，3，4)E.(5，4，3)
解 我们一开始注意到在两个被加数中有同样的位数. 由于开头的 2 和 3 产生三个 5，且由于和的下面的数字是 7，它不能仅由 2 和 3 产生(即3 + 3 ≠ 7)，由此，推出? = 3. 类似地，由于只产生两个 7，它必须由第一个被加数的开头的 2 和第二个被加数的中间的 5 产生，所以? = 5. 注意，所有三个数中数字的总的个数（即位数）相同，进一步可得出结论
? + ? + ? = 3 + 2 + 3 + 1 + 3 = 12
因此
? = 12 − ? − ? = 12 − 5 − 3 = 4
从而 (?，?，?) = (5，4，3)，故选 E.
注 如果加在第二个被加数上的限制减弱，使得这个问题写成
2?3?5? + 3?5?2? = 5372835173
则对(?，?，?)有同样的解.
在纸上把 1，2，…，20 写成一行. 甲、乙二人轮流把符号“+”或“−”放到其中一个数之前（不得重复填写）. 甲力求在放完 20 个符号后使所得和的绝对值尽可能小，则乙能使得到的和的绝对值达到的最大值为（ ）.
A.10B.19C.20D.30E.35
解 把 20 个数分成 10 对：(1，2)，(3，4)， ⋯ ，(19，20). 甲每次填符号之后，如果他是在前 9 对中的某数之前填号，则乙就在同对的另一数前填写相反的符号；如果甲是在最后一对的某数前填号，则乙就在同对的另一数前填写相同的符号.这时，最后所得和的绝对值不小于
19 + 20 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 = 30
可见，所能达到的和的绝对值的最大值不小于 30.
另一方面，我们指出，只要甲每次填符号时，总是在剩下诸数中的最大数之前
放上与现有之和的符号相反的符号（若和等于 0，则放正号），那么乙就无法得到大于 30 的和.
考察甲、乙二人填符号一局的全过程. 设甲填符号使和改变符号的最后一次是甲第?次填号（包括使和由 0 变为正的情形）. 显然，甲在第?次填符号后（乙已经填了? − 1次），数20，19，18， ⋯ ，20 − (? − 1)之前已填了符号，乙第?次填写所能用的最大数为20 − ?.于是此时和的绝对值不超过20 − (? − 1) + 20 − ? = 41 − 2?. 接下来两人还要各填号10 − ?次，由于已不再发生变号，故在两人各填号一次之后，至少要使和的绝对值减小 1，于是和的绝对值不大于
41 − 2? − (10 − ?) = 31 − ? ≤ 30
综上可知，乙使和的绝对值所能达到的最大值为 30. 故选 D.