第二章 长方体（一）（B卷 拔高卷单元重点综合测试）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

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2024-2025学年五年级数学下册 第2章 长方体（一） 北师大版（B卷 拔高卷单元重点综合测试）一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1．（2024春•无棣县期末）用12分米长的铁丝制作一个正方体框架。如果不考虑损耗，做成的正方体框架的棱长是（　　）A．3分米 B．2分米 C．12厘米 D．10厘米2．（2024秋•江宁区期中）一张长方形纸长40厘米，宽8厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面。如果为这个长方体配一个底面，面积是（　　）平方厘米。A．320 B．100 C．80 D．643．（2023秋•雨花台区期末）下面的图形中，折叠后能围成正方体的是（　　）A． B． C． D．4．（2022春•上蔡县月考）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（　　）平方厘米．A．44 B．40 C．32 D．385．（2024春•高明区期末）李师傅给客户做一个定制的长方体无盖玻璃鱼缸，他已经切割了规格为8dm×4dm和5dm×4dm的玻璃各2块，还需要切割一块玻璃才能做成这个鱼缸，下面符合要求的玻璃的规格是（　　）A．8dm×5dm B．8dm×4dm C．5dm×4dm D．4dm×4dm6．（2024春•顺德区期末）一盒糖果的长是18cm、宽是9cm、高是5cm，若把四盒糖果包装起来，下面几种包装方案中，最节省包装纸的是（　　）（接口处不计）A． B． C． D．7．（2024秋•东海县期中）乐乐和他的好朋友用磁力棒分别搭一个长方体框架来探究长方体的特征，如图是他们搭出的部分框架，其中能决定长方体形状与大小的是（　　）A． B． C． D．8．（2024春•沈河区期末）将8个按如图的方式摆放在桌面上，有（　　）个面露在外面．A．24 B．26 C．40 D．48二．填空题（共10小题，每空2分，共22分）9．（2023•静宁县模拟）用一根24厘米长的铁丝焊成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是 　 　厘米。10．（2024春•南安市期末）一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图，单位：cm）。图中阴影部分的面积是 　 　cm2。11．（2021春•铁力市期末）一个长方体的底面是面积为4平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，这个长方体的侧面积是　 　平方米。12．（2024•长春）一个长方体纸盒的两个面如图，这个长方体纸盒的表面积是 　 　cm2。（单位：cm）13．（2024春•方城县期末）把三块棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积减少了　 　cm2。14．（2024秋•江宁区期中）王大叔用相同长度的两根铁丝分别围成一个长方体框架和一个正方体框架。长方体框架的长是10厘米、宽是6厘米、高是5厘米。围成正方体框架的棱长是 　 　厘米。15．（2024秋•莱阳市期中）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成一个正方体后，字母 　 　在“▲”的对面。16．（2024•九龙坡区）一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数。这个长方体的表面积是 　 　平方厘米。17．（2024春•柘城县期末）如图是一些棱长为2cm的小正方体堆放在墙角，这堆小正方体共有 　 　个。露在外面的面的面积是 　 　cm2。18．（2024春•铜陵期末）如图所示。将3个同样的小正方体拼成一个长方体后，表面积减少了36cm2，原来一个小正方体的表面积是 　 　cm2。三．判断题（共5小题，每小题2分，共10分）19．（2024•玉溪）一个正方体棱长为2厘米，它的棱长之和与表面积相等。 　 　20．（2024•靖边县模拟）一个正方体的棱长之和为60分米，它的表面积是150平方米。　 　21．（2024春•博罗县期中）3个棱长为2cm的正方体放在墙角（如图），露在外面的面积是28cm2。 　 　22．（2023秋•牡丹区期末）看到立体图形的一个面是长方形，这个图形一定是长方体。 　 　23．（2024春•梁山县期中）这个图一定能围成一个正方体。 　 　四．计算题（共2小题，共11分）24．（6分）（2024春•临平区期中）计算下面长方体或正方体的表面积。25．（5分）（2023•萧山区模拟）求表面积。（单位：分米）小立方体棱长1分米五．操作题（共1小题，共6分））26．（2019春•营山县期末）从下面长方形纸上剪下一部分，要折成一个棱长3厘米的正方体，可以怎么剪？设计两种不同的方案，在图中涂色表示六．应用题（共7小题，每小题5分，共35分）27．（2023春•榕城区期中）7个棱长为5dm的正方体纸箱放在墙角（如下图），露在外面的面积是多少平方分米？28．（2024秋•盐都区期中）如图，有一个长5分米、宽和高都是2分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米。一共要用绳多长？29．（2023秋•清江浦区期中）如图是一个长方体铁盒的展开图，做这个铁盒需要多少平方厘米铁皮？30．（2024秋•莱阳市期中）正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？31．（2024•两江新区）某健身馆计划新建一个游泳池，该游泳池长20米，宽12米，深1.5米。现在要在游泳池的四周和底面都贴上白瓷砖，需要贴白瓷砖的面积是多少平方米？32．（2024秋•上思县月考）一个长方体面包盒，长12厘米，宽9厘米，高11厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上面、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计）33．（2024春•东坡区期末）张叔叔准备做3个底面是正方形，高36cm的长方体通风管，将通风管侧面展开后恰好是一个正方形，（做每根通风管损耗铁皮10.5cm2），那么张叔叔做这些通风管至少需要准备多少平方厘米的铁皮？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长即可。【解答】解：12÷12＝1（分米）1分米＝10厘米答：做成的正方体框架的棱长是10厘米。故选：D。【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。2．【分析】根据题意可知，把一张长方形纸长40厘米，宽8厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面。也就是完成的长方体的底面周长是40厘米，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此求出底面边长，作根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。【解答】解：40÷4＝10（厘米）10×10＝100（平方厘米）答：如果为这个长方体配一个底面，面积是100平方厘米。故选：B。【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征，以及正方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。3．【分析】根据正方体展开图的11种特征，选项A、选项B和选项C都不属于正方体展开图，不能围成正方体；选项D属于正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，能围成正方体．【解答】解：根据正方体展开图的，选项A、选项B和选项C都不能围成正方体；选项D，能围成正方体．故选：D．【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．4．【分析】要使拼组后的表面积最小，则可以把这两个长方体的最大面（3×2的面）相粘合，这样表面积就比原来的表面积减少了2个最大面的面积，由此利用长方体的表面积公式先求出这两个长方体的表面积之和，再减去两个3×2面的面积即可解答．【解答】解：（3×2+3×1+1×2）×2×2﹣3×2×2＝11×4﹣12＝44﹣12＝32（平方厘米），答：表面积最小是32平方厘米．故选：C．【点评】两个相同的长方体拼组大长方体，要使拼组后的表面积最小，则把最大面相粘合．5．【分析】分析题意，可把两块长8dm、宽4dm可做鱼缸的前后面，两块长5dm、宽4dm做鱼缸的左右面；然后依据长方体的特征，即可得缺少长方体的底面，据此解答。【解答】解：根据题意可知：两块长8dm、宽4dm可做鱼缸的前后面，两块长5dm、宽4dm做鱼缸的左右面，因此还需要配一块做鱼缸的底面，即底面的长是8分米，宽是5分米。故选：A。【点评】本题考查长方体的认识，熟练掌握长方体的特征是解题的关键。6．【分析】长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出三种不同包装方法需要包装纸的面积，然后进行比较即可。【解答】解：（18×5+9×4×5+9×4×18）×2＝（90+180+648）×2＝918×2＝1836（平方厘米）（18×5×2+9×2×5×2+18×9×2）×2＝（180+180+324）×2＝684×2＝1368（平方厘米）（18×5×4+9×5×4+18×9）×2＝（360+180+162）×2＝702×2＝1404（平方厘米）（18×2×5+9×2×5+18×2×9×2）×2＝（180+90+648）×2＝918×2＝1836（平方厘米）1836平方厘米＞1404平方厘米＞1368平方厘米。故选：B。【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是找清楚拼组后长方体的长、宽、高，并熟记公式。7．【分析】根据长方体的长、宽、高的意义，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体的形状和大小是由长、宽、高决定的，据此解答即可。【解答】解：根据分析可知，能决定长方体形状与大小的是。故选：C。【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，关键是明确：长方体的形状和大小是由长、宽、高决定的。8．【分析】1个小正方体有5个面露在外面，再增加一个正方体，2个小正方体有8个面露在外面；3个小正方体有11个面露在外面；每增加1个小正方体就增加3个面。由此相加即可求解。【解答】解：3×8+2＝24+2＝26（个）答：有26个面露在外面。故选：B。【点评】解答此题应根据题意，进行推导，得出规律：即1个小正方体露出5个面，每增加1个小正方体增加3个面；进行解答即可。二．填空题（共10小题）9．【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12即可．【解答】解：24÷12＝2（厘米），答：这个正方体框架的棱长是2厘米．故答案为：2．【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用．10．【分析】根据题意，一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图，图中阴影部分是一个长5厘米，宽是2厘米的长方形，根据长方形面积＝长×宽，据此解答。【解答】解：5×2＝10（cm2）所以图中阴影部分的面积是10cm2。故答案为：10。【点评】本题考查了长方体的展开图，结合长方形的面积公式解答即可。11．【分析】由“一个长方体的底是面积是4平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形”可知：底面正方形的周长正好是侧面展开图正方形的边长，也就是说侧面展开图正方形的边长是底面正方形边长的4倍，那么侧面正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，据此即可解答．【解答】解：侧面展开正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，即：4×16＝64（平方米）答：这个长方体的侧面积是64平方米．故答案为：64．【点评】解答此题的关键是先通过题意，进行推断，进而得出侧面展开图正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法进行解答即可．12．【分析】根据给出的两个面可知：这个长方体的长为6厘米，宽为3厘米，高为2厘米，由此根据：长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数字，解答即可。【解答】解：（6×3+6×2+3×2）×2＝36×2＝72（平方厘米）答：这个长方体纸盒的表面积是72cm2。故答案为：72。【点评】灵活掌握长方体的表面积计算公式，是解答此题的关键。13．【分析】根据长方体、正方体的特征和长方体、正方体的表面积计算方法，正方体的每个面都是完全相同的正方形，把三块棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积减少了4个边长为4厘米的正方形的面积；由此解答．【解答】解：4×4×4＝64（平方厘米）；答：这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积减少了64平方厘米．故答案为：64．【点评】此题主要考查长方体、正方体的特征以及表面积的计算方法．据此解决问题．14．【分析】根据长方体和正方体的棱的特征，长方体的12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等；正方体的12条棱的长度都相等；首先求出长方体的棱长总和，再除以12即可求出正方体的棱长。【解答】解：（10+6+5）×4÷12＝21×4÷12＝84÷12＝7（厘米）答：这个正方体框架的棱长是7厘米。故答案为：7。【点评】此题主要考查长方体和正方体的特征以及棱长总和的计算方法。15．【分析】根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，将它折叠成一个正方体后，字母A在“▲”的对面。据此解答即可。【解答】解：属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，将它折叠成一个正方体后，字母A在“▲”的对面。故答案为：A。【点评】本题考查了正方体的展开图知识，结合题意分析解答即可。16．【分析】由题意知，前面面积+上面面积＝209，即长×高+长×宽＝209，则有长×（高+宽）＝209；由于长、宽、高均为质数，将209分解质因数，即209＝11×19，再把19写成2与17的和，即可确定长方体的长、宽、高；然后根据长方体的表面积公式进行解答即可。【解答】解：由分析可得：长×高+长×宽＝209长×（高+宽）＝209209＝11×1911＝2+9＝3+8＝4+7＝5+6，不管怎么组合都有合数。19＝2+17＝3+16＝4+15＝5+14＝6+13＝7+12＝8+11＝9+10，只有2+17的组合都是质数。所以长、宽、高分别为11厘米、2厘米、17厘米。（11×2+11×17+17×2）×2＝（22+187+34）×2＝243×2＝486（平方厘米）答：这个长方体的表面积是486平方厘米。故答案为：486。【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，解题关键是求出长方体的长、宽、高。17．【分析】如图是一些棱长为2cm的小正方体堆放在墙角，上层有1个，第二层有3个，下层有5个，所以一共有1+3+5＝9（个）小正方体；棱长为1cm的小正方体一个面的面积是1×1＝1（cm2）。图形的左面、后面、底面靠在墙角，露在外面的面可以从三个方向观察，正面可观察到6个小正方形、右面可观察到5个小正方形、上面可观察到5个小正方形，一共有6+5+5＝16（个）小正方形面露在外面，可用“一个面的面积×露在外面的面的个数＝露在外面的面的面积”计算。【解答】解：1+3+5＝9（个）（6+5+5）×（1×1）＝16×1＝16（cm2）答：一共有个小正方体，露在外面的面的面积是16cm2。故答案为：9；16。【点评】本题主要考查观察物体知识点，运用观察物知识解决实际问题。18．【分析】通过观察图形可知，用3个相同的小正方体拼成一个长方体（如图），这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。【解答】解：正方体一个面的面积：36÷4＝9（平方厘米）一个正方体的表面积：9×6＝54（平方厘米）答：一个小正方体的表面积是54平方厘米。故答案为：54。【点评】解决此类问题的关键是理解3个正方体拼组长方体的方法，得出表面积是减少了正方体的4个面的面积。三．判断题（共5小题）19．【分析】根据题意，棱长之和是长度单位，表面积是面积单位，无法比较，据此解答即可。【解答】解：分析可知，棱长之和是长度单位，表面积是面积单位，无法比较，所以原题说法错误。故答案为：×。【点评】本题考查了长度单位和面积单位的认识知识，结合题意分析解答即可。20．【分析】由正方体的特征可知：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等，又因正方体的棱长之和已知，于是可以求出每条棱长的长度，再利用正方体的表面积S＝6a2，即可求出正方体的表面积，注意单位换算，解答即可．【解答】解：60÷12＝5（分米）5分米＝0.5米0.5×0.5×6＝0.25×6＝1.5（平方米）答：它的表面积是1.5平方米．故题干的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题主要考查正方体的表面积的计算方法，关键是明白：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等．21．【分析】数出露在外面的面的个数，乘每个面的面积，解答即可。【解答】解：前面露出3个面，右边露出2个面，上面露出2个面，一共露出3+2+2＝7（个）面。2×2×7＝4×7＝28（平方厘米）答：露在外面的面积是28cm2。故答案为：√。【点评】本题主要考查露在外面的面，关键数出露在外面的面的个数。22．【分析】长方体虽然从一个面观察，看到的是长方形（特殊长方形看到的可能是正方形），但从一个面观察到长方形的立体图形不一定是长方体；如图，由11个相同小正方体组成的这个立体图形，从上面、侧面看到的都是长方形，但这个立体图形并不是长方体。【解答】解：如图：这个由若干个小正方体搭成的立体图形，从上面、左面、右面看到的图形都是长方形，但它不是一个长方体；因此，从一个面观察到长方形的立体图形一定是长方体的说法错误。故答案为：×。【点评】此题通过例证，得出原题说法错误。23．【分析】能不能围成一个正方体，要看这个展开图是否属于正方体展开图的基本类型，根据正方体展开图的类型，1﹣4﹣1型，2﹣3﹣1型，2﹣2﹣2型，3﹣3型，据此判断解答即可。【解答】解：属于2﹣3﹣1型，是正方体展开图类型，能拼成正方体；所以原题说法正确。故答案为：√。【点评】此题的解题关键是记住正方体展开图的基本类型。四．计算题（共2小题）24．【分析】先求出正方体的棱长，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。【解答】解：（12×4+12×5+4×5）×2＝（48+60+20）×2＝128×2＝256（平方分米）40÷5＝8（厘米）8×8×6＝64×6＝384（平方厘米）答：长方体的表面积是256平方分米，正方体的表面积是384平方厘米。【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。25．【分析】根据图意可知，这个图形上下左右前后都是五个小正方形的面积之和，根据长方形的面积公式S＝a²，代入数据计算即可解答。【解答】解：1×1×5×6＝5×6＝30（平方分米）答：表面积是30平方分米。【点评】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。五．操作题（共1小题）26．【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．据此设计两种即可．【解答】解：如图：【点评】本题是考查正方体展开图的特征，正方体展开图的11种特征，四种类型要记住，对解答此类题有好处．六．应用题（共7小题）27．【分析】前面、左面、上面正方体纸箱都有4个面露在外面，最里面的正方体没有露在外面的面，所以露在外面的面有（3×4）个，用一个正方形的面积乘7即可求出这个图形露在外面的面积是多少平方分米。【解答】解：3×4＝12（个）5×5×12＝25×12＝300（平方分米）答：露在外面的面积是300平方分米。【点评】解答本题的关键是数出露在外面的面的个数。28．【分析】根据图形可知，所需绳子的长度＝两条长+4条宽+6条高+打结用的2分米，据此解答。【解答】解：5×2+2×4+2×6+2＝10+8+12+2＝32（分米）答：一共要用绳32分米。【点评】此题考查了长方体的特征以及长方体棱长和计算方法的应用，结合题意分析解答即可。29．【分析】根据题意，铁皮的面积＝长方形面积﹣四个小正方形面积，据此解答。【解答】解：40×20﹣5×5×4＝800﹣100＝700（平方厘米）答：做这个铁盒需要700平方厘米铁皮。【点评】本题考查了长方体的展开图问题，解决本题的关键是将铁皮的面积转化成长方形和正方形的面积。30．【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出这个正方体的5个面的总面积即可。【解答】解：24÷12＝2（分米）2×2×5＝4×5＝20（平方分米）答：做这个正方体灯笼（无底）至少需要20平方分米的卡纸。【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。31．【分析】求需要贴瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面积的面积和，即求这个游泳池的底面、前后面、左右面的面积之和；根据长×宽+（长×高+宽×高）×2，代入数据，即可解答。【解答】解：20×12+（20×1.5+12×1.5）×2＝240+（30+18）×2＝240+48×2＝240+96＝336（平方米）答：需要贴瓷砖的面积是336平方米。【点评】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。32．【分析】由题意可知：“围着它贴一圈商标纸（上下面不贴）”，也就是求它的4个侧面的总面积，即（长×高+宽×高）×2，代入数据解答即可。【解答】解：（12×11+9×11）×2＝（132+99）×2＝231×2＝462（平方厘米）答：这张商标纸的面积至少有462平方厘米。【点评】此题解答关键是搞清商标纸所贴的位置，即在4个侧面上，然后根据长方体的表面积的计算方法解答。33．【分析】已知长方体通风管的底面是正方形，高是36厘米，将通风管侧面展开后恰好是一个正方形，由此可知，长方体通风管的底面周长是36厘米，根据正方形的面积公式：S＝a2，可以求出一个这样的通风管的侧面积，再加上每个通风管损耗铁皮的面积，最后再乘3即可。【解答】解：（36×36+10.5）×3＝（1296+10.5）×3＝1306.5×3＝3919.5（平方厘米）答：张叔叔做这些通风管至少需要准备3919.5平方厘米的铁皮。【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体侧面展开图的特征及运用，长方体的侧面积公式、正方形的面积公式的及应用。