2024-2025学年四川省成都市高三上册10月月考数学教学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册10月月考数学教学质量检测试题（附解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】化简集合，由交集运算即可求解.
【详解】解：
所以
故选：A．
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果；
【详解】设复数，
所以，
又因为复数满足，
所以，
整理可得，解得，
所以，
所以，
故选：A.
3. 已知向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用平面向量的数量积即可求解.
【详解】由得，
两式相减得，，所以，则.
故选：A.
4. 如图为函数y=fx在上的图象，则的解析式只可能是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．
【详解】对于B.的定义域为R，且
，故为偶函数；
对于D.的定义域为R，且
，故为偶函数；
由图象，可知为奇函数，故排除B、D；
对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A；
故选：C.
5. 已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由奇函数的性质求出，再由导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出直线方程即可；
【详解】因为为奇函数，且定义域为，所以，
即，所以，经检验符合题意，
则，
曲线y=fx在点处的切线斜率为，
又
所以曲线y=fx在点处的切线方程为
，即.
故选：D
6. 在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】如图，取的中点，连接，，根据题中条件确定点为球心，设球半径为，利用三棱锥的体积求出，最后用球的表面积公式即可求解.
【详解】
如图，取的中点，连接，，
因为，，所以，因此点就是球心，
又，故是等腰直角三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
设球半径为，则，，
又，则，
所以三棱锥体积，
所以，所以球O的表面积为．
故选：D．
7. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由知，由两角和正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.
【详解】若，则，
所以，
所以，即，
，
若使得取得最大值，不妨设，
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
方法点睛：三角函数中的凑角技巧
；
；
.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
结论点睛：对数比大小常用结论.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是数列中的最大值
D. 数列无最大值
【正确答案】ABC
【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断.
【详解】对于A，由可得，（*），
由可得.
当时，因，则，即（*）不成立；
当时，，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C,D，由上分析，且，则是数列中的最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A. 事件与事件是互斥事件B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件是相互独立事件D. 事件与事件是互斥事件
【正确答案】ACD
【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可；
【详解】列举各事件如下：，，，
A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确；
B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误；
C：因为，故C正确；
D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知，其中，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】CD
【分析】令，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，解法一：记，设，，利用导数求出的范围即可.
解法二：由，两式相减，可得，令，令，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.
解法三：令，利用导数求出函数的单调区间，再结合洛必达法则即可得解.
解法四：根据，两式相减得，再结合对数均值不等式即可得解.
【详解】令，则，
故当时，f'x>0，单调递增，
当时，单调递减，
∵，，∴，
又，不妨设，
解法一：记，设，，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，，
则，
又因为，且在上单调递减，
所以，则，所以.
解法二：由，两式相减，可得，
令，
则，∴；
令，则，
令，
则在1,+∞上恒成立，
所以在1,+∞上单调递增，
因为在1,+∞上恒成立，
所以在1,+∞上单调递增，则，即，
所以.
解法三：令，
则，
记，
则在1,+∞上恒成立，
∴在1,+∞上单调递增，
∴，所以在1,+∞上恒成立，
∴在1,+∞上单调递增，
又由洛必达法则可知，
∴，∴.
解法四：∵，两式相减得，
由对数均值不等式，可得，
下列对数均值不等式右半部分：，
证明：不妨设，则上述不等式可化为，
即，
记，则不等式可化为时，，
令，则，
所以在1,+∞上单调递减，
则，
所以时，，所以.
故选：CD.
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数y=gx的图象的交点问题.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．
12. 若，则____________.
【正确答案】
【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解.
【详解】因为，所以.
故答案为.
13. 设是数列的前项和，点在直线上，则数列的前项和为________.
【正确答案】
【分析】点，在直线上，可得．利用等差数列的求和公式、裂项求和方法即可得出．
【详解】解：点，在直线上，．
．
．
则数列的前项和．
故．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．
【正确答案】 ① ②.
【分析】根据外心的性质设，即可根据得，即可求解轨迹方程，利用抛物线的定义，结合三点共线即可求解最值.
【详解】不妨设点，，
根据点是的外心，设，
而，则，所以
从而得到点的轨迹为，焦点为F1,0
由抛物线的定义可知，
因为，即，当点在线段上时等号成立．
故，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．
（1）求；
（2）若，BE＝2，，求的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再结合余弦定理求解即可；
（2）由余弦定理结合面积公式计算.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，又，
所以.
【小问2详解】
因为P是BC，AC边上的两条中线AD与BE的交点，所以点P是的重心.
又，，，
所以在中，由余弦定理
，
所以，又，，所以，所以，
所以的面积为．
16. 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD.
（1）求证：AD⊥平面BEF；
（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】(1)借助等边三角形的三线合一，再运用面面垂直的性质得到线面垂直即可；(2)建立空间直角坐标系，写出关键点的坐标，求出平面的法向量，再根据(1)的结论取得平面的法向量，再用向量夹角的公式计算即可.
【小问1详解】
是边长为2的正三角形，E为AD的中点，则.
且平面平面，平面平面，平面，
则平面.
【小问2详解】
由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，
可取AB中点O， 连接，则.
且平面平面，且平面平面，则平面.
因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系.
是边长为2的正三角形，则可求得高.
底面等腰直角三角形，求得.
可以得到关键点的坐标
由第（1）问知道平面的法向量可取.
设平面的法向量为，且则
,则，解得.
则.
则平面与平面夹角的余弦值为.
17. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：
附表：
．
（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值．
【正确答案】（1）认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）；
（3）.
【分析】（1）假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，求得，再根据小概率值判断；
（2）根据给定条件，利用组合计数问题及互斥事件的概率公式计算即得.
（3）分别求得，，，再将概率相加即可求解．
【小问1详解】
零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．
计算可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．
【小问2详解】
每天看电子产品超过一小时的人数为，
则，
所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．
【小问3详解】
依题意，，，
事件包含两种情况：
①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是，
所以．
18. 已知函数．
（1）求曲线y=fx在处的切线方程.
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx 关于直线对称.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；
（3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称.
【小问1详解】
切点为.
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得；
【小问2详解】
由题意可知，则Fx的定义域为，
，，
当时，，则Fx上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则Fx在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，Fx在上单调递减；
当时，Fx在上单调递减，在上单调递增；
【小问3详解】
证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线y=gx关于直线对称．
知识点点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
19. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析；②．
【分析】（1）根据椭圆过两个点，求椭圆方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本（均值）不等式可求面积的最大值．
【小问1详解】
设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
如图：
①设直线的方程为，并记点Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，
由消去，得，
易知
则，．
由条件，，，直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上．
②
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．近视情况
每天看电子产品的时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828