2024-2025学年四川省成都市高三上册10月月考数学教学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册10月月考数学教学质量检测试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图为函数y=fx在上的图象，则的解析式只可能是（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知为奇函数，则曲线在点处切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是数列中的最大值
D. 数列无最大值
10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A. 事件与事件是互斥事件B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件是相互独立事件D. 事件与事件是互斥事件
11. 已知，其中，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．
12. 若，则____________.
13. 设是数列前项和，点在直线上，则数列的前项和为________.
14. 已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．
（1）求；
（2）若，BE＝2，，求的面积．
16. 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD.
（1）求证：AD⊥平面BEF；
（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.
17. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：
附表：
．
（1）根据小概率值独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值．
18. 已知函数．
（1）求曲线y=fx在处的切线方程.
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存实数，使得曲线y=gx 关于直线对称.
19. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
2024-2025学年四川省成都市高三上学期10月月考数学教学质量检测试题
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】化简集合，由交集运算即可求解.
【详解】解：
所以
故选：A．
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果；
【详解】设复数，
所以，
又因为复数满足，
所以，
整理可得，解得，
所以，
所以，
故选：A.
3. 已知向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用平面向量的数量积即可求解.
【详解】由得，
两式相减得，，所以，则.
故选：A.
4. 如图为函数y=fx在上的图象，则的解析式只可能是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．
【详解】对于B.的定义域为R，且
，故为偶函数；
对于D.的定义域为R，且
，故为偶函数；
由图象，可知为奇函数，故排除B、D；
对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A；
故选：C.
5. 已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由奇函数的性质求出，再由导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出直线方程即可；
【详解】因为为奇函数，且定义域为，所以，
即，所以，经检验符合题意，
则，
曲线y=fx在点处的切线斜率为，
又
所以曲线y=fx在点处的切线方程为
，即.
故选：D
6. 在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】如图，取的中点，连接，，根据题中条件确定点为球心，设球半径为，利用三棱锥的体积求出，最后用球的表面积公式即可求解.
【详解】
如图，取的中点，连接，，
因为，，所以，因此点就是球心，
又，故是等腰直角三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
设球半径为，则，，
又，则，
所以三棱锥体积，
所以，所以球O的表面积为．
故选：D．
7. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由知，由两角和正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.
【详解】若，则，
所以，
所以，即，
，
若使得取得最大值，不妨设，
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
方法点睛：三角函数中的凑角技巧
；
；
.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
结论点睛：对数比大小常用结论.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是数列中的最大值
D. 数列无最大值
【正确答案】ABC
【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断.
【详解】对于A，由可得，（*），
由可得.
当时，因，则，即（*）不成立；
当时，，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C,D，由上分析，且，则是数列中的最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A. 事件与事件是互斥事件B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件是相互独立事件D. 事件与事件是互斥事件
【正确答案】ACD
【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可；
【详解】列举各事件如下：，，，
A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确；
B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误；
C：因为，故C正确；
D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知，其中，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】CD
【分析】令，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，解法一：记，设，，利用导数求出的范围即可.
解法二：由，两式相减，可得，令，令，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.
解法三：令，利用导数求出函数的单调区间，再结合洛必达法则即可得解.
解法四：根据，两式相减得，再结合对数均值不等式即可得解.
【详解】令，则，
故当时，f'x>0，单调递增，
当时，单调递减，
∵，，∴，
又，不妨设，
解法一：记，设，，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，，
则，
又因为，且在上单调递减，
所以，则，所以.
解法二：由，两式相减，可得，
令，
则，∴；
令，则，
令，
则在1,+∞上恒成立，
所以在1,+∞上单调递增，
因为在1,+∞上恒成立，
所以在1,+∞上单调递增，则，即，
所以.
解法三：令，
则，
记，
则在1,+∞上恒成立，
∴在1,+∞上单调递增，
∴，所以在1,+∞上恒成立，
∴在1,+∞上单调递增，
又由洛必达法则可知，
∴，∴.
解法四：∵，两式相减得，
由对数均值不等式，可得，
下列对数均值不等式右半部分：，
证明：不妨设，则上述不等式可化为，
即，
记，则不等式可化为时，，
令，则，
所以在1,+∞上单调递减，
则，
所以时，，所以.
故选：CD.
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数y=gx的图象的交点问题.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．
12. 若，则____________.
【正确答案】
【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解.
【详解】因为，所以.
故答案为.
13. 设是数列的前项和，点在直线上，则数列的前项和为________.
【正确答案】
【分析】点，在直线上，可得．利用等差数列的求和公式、裂项求和方法即可得出．
【详解】解：点，在直线上，．
．
．
则数列的前项和．
故．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．
【正确答案】 ① ②.
【分析】根据外心的性质设，即可根据得，即可求解轨迹方程，利用抛物线的定义，结合三点共线即可求解最值.
【详解】不妨设点，，
根据点是的外心，设，
而，则，所以
从而得到点的轨迹为，焦点为F1,0
由抛物线的定义可知，
因为，即，当点在线段上时等号成立．
故，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．
（1）求；
（2）若，BE＝2，，求的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再结合余弦定理求解即可；
（2）由余弦定理结合面积公式计算.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，又，
所以.
【小问2详解】
因为P是BC，AC边上的两条中线AD与BE的交点，所以点P是的重心.
又，，，
所以在中，由余弦定理
，
所以，又，，所以，所以，
所以的面积为．
16. 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD.
（1）求证：AD⊥平面BEF；
（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】(1)借助等边三角形的三线合一，再运用面面垂直的性质得到线面垂直即可；(2)建立空间直角坐标系，写出关键点的坐标，求出平面的法向量，再根据(1)的结论取得平面的法向量，再用向量夹角的公式计算即可.
【小问1详解】
是边长为2的正三角形，E为AD的中点，则.
且平面平面，平面平面，平面，
则平面.
【小问2详解】
由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，
可取AB中点O， 连接，则.
且平面平面，且平面平面，则平面.
因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系.
是边长为2的正三角形，则可求得高.
底面等腰直角三角形，求得.
可以得到关键点的坐标
由第（1）问知道平面的法向量可取.
设平面的法向量为，且则
,则，解得.
则.
则平面与平面夹角的余弦值为.
17. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：
附表：
．
（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值．
【正确答案】（1）认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）；
（3）.
【分析】（1）假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，求得，再根据小概率值判断；
（2）根据给定条件，利用组合计数问题及互斥事件的概率公式计算即得.
（3）分别求得，，，再将概率相加即可求解．
【小问1详解】
零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．
计算可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．
【小问2详解】
每天看电子产品超过一小时的人数为，
则，
所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．
【小问3详解】
依题意，，，
事件包含两种情况：
①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是，
所以．
18. 已知函数．
（1）求曲线y=fx在处的切线方程.
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx 关于直线对称.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；
（3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称.
【小问1详解】
切点为.
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得；
【小问2详解】
由题意可知，则Fx的定义域为，
，，
当时，，则Fx上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则Fx在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，Fx在上单调递减；
当时，Fx在上单调递减，在上单调递增；
【小问3详解】
证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线y=gx关于直线对称．
知识点点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
19. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析；②．
【分析】（1）根据椭圆过两个点，求椭圆方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本（均值）不等式可求面积的最大值．
【小问1详解】
设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
如图：
①设直线的方程为，并记点Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，
由消去，得，
易知
则，．
由条件，，，直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上．
②
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
近视情况
每天看电子产品时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
近视情况
每天看电子产品的时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828