中考数学二轮复习难点突破训练专题17 最值问题中的将军饮马模型（2份，原卷版+解析版）

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【模型证明】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
3．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
5．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
6．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
7．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
8．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
A．B．C．6D．3
二、填空题
9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
10．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
11．如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
12．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
13．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为50；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9．
其中正确结论的序号是______________
16．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
17．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
三、解答题
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
21．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
22．在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则_______°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
23．已知如图，在中，点是边上一点，连接，点是上一动点，连接．
（1）如图1，当时，连接，延长交于点，求证：；
（2）如图2，以为直角边作等腰，连接，若，当点在运动过程中，求周长的最小值．
特点
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。
实际问题：应该怎样走才能使路程最短?
作图问题：在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题.
结论
AC+BC最短
解决方案
(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
AC+BC最短（两点之间线段最短）
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
所作的AC +BC最短吗？请说明理由？
【证明】
如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．