（广东专用）中考数学三轮考前冲刺押题练习第10题 函数与动态几何 规律和最值问题（2份，原卷版+解析版）

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广东中考对几何、函数综合知识的考查要求较高，均是在选择题第10题压轴出现，一般难度较大，要求考生熟练掌握与几何，函数有关的知识．2022年考察了函数的变量问题，2021年考察了二次函数的性质，圆的相关知识等求最值；2020年针对二次函数的图形性质考查；
根据现在命题的趋势，大概率是以二次函数的参数问题，动点问题为主要考察，但是不排除隐圆问题为代表的最值问题，需要加强这方面的训练。
必备知识
1.抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：
(1)a开口向上
(2)b左同右异
(3)c抛物线与y轴的交点位置
(4)a＋b＋c系列，当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c的位置；
(5)判断a与b的关系，看对称轴；
(6)b2－4ac>0看抛物线与x轴交点个数；
(7)判断a与c，b与c，先搭建一个有关a、b、c的平台，再利用对称轴找到a与b的关系，替换掉不需要的字母，即出现目标。
(8)遇到新的参数比如：，关注最值就行。
2. 阿氏圆
模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
模型解读：
如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
2：计算连接线段OP、OB长度；
3：计算两线段长度的比值；
4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：
5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC．
∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值．
3：胡不归问题
“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．
当点P在直线上
如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．
过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．
由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．
所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．
2． 当点P在圆上
如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．
在OB上取一点C，使得OC＝ k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明 如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．
则OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．
而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，
所以QC＝ k·QB．
所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．
解题技巧
纵观近几年的中考考试题，主要考查以下两个方面：一是动点函数图形与几何结合求多解问题，二是几何函数结合求点的坐标，解析式等，三是图形动点求最值情况。
1．（2021·广东·统考中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A．B．C．D．1
2．（2021·广东深圳·统考中考真题）在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252B．253C．336D．337
4．（2022·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·广东·统考中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ）
①；②；③；④（为任意实数）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，，，若，，则点到的距离是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·广东珠海·统考一模）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是( )
A．B．C．D．
10．（2023·广东东莞·校考一模）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是【 】
A．abc＜0B．2a＋b＜0C．a－b＋c＜0D．4ac－b2＜0
11．（2023·广东深圳·二模）如图，已知在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，连接 AC，动点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 A→B→C 向点 C 匀速运动，同时点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 A→C→D 向点 D 匀速运动，连接 PQ，当点 P 到达终点 D 时，停止运 动，设△APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，则 S 与 t 函数关系的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·广东广州·统考一模）如图，菱形中，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·广东广州·统考一模）二次函数（）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个
①；②；③函数的最大值为；④当时，；⑤时，随增大而减少
A．4B．3C．2D．1
14．（2023·广东深圳·统考二模）如图，四边形的对角线和相交于点E．若，且，，，则的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
15．（2023·广东湛江·校考一模）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②＝；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
16．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ）
A．4B．8C．-4D．-8
17．（2023·广东惠州·统考一模）二次函数的图像如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
18．（2023·广东珠海·珠海市前山中学校联考一模）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
19．（2022·广东江门·统考一模）如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．（2023·广东珠海·校考一模）二次函数的图像的一部分如图所示，已知图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为-3，5；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
21．（2023·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点，轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·广东深圳·深圳市龙岗区坪地中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动．记，点D到直线PA的距离为y，则y的最小值是（ ）
A．6B．C．5D．4
24．（2022·广东汕头·统考二模）如图，正方形的边长为6，动点M沿的路径移动，过点M作交正方形的一边于点N，则的面积y与点M运动的路程x之间形成的函数关系图像大致是（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·广东汕头·统考二模）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A．B．C．D．
26．（2022·广东广州·广州华侨外国语学校校考二模）已知函数y＝x2﹣2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤4B．﹣3≤a≤5C．3≤a≤4D．3≤a≤5
27．（广东省广州市第二中学2022-2023学年中考一模数学试题）如图，AB是的直径，BC是的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，设，则所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·广东梅州·统考一模）如题图所示，已知一个半径为2的，P为平面内一个点，过点P作的两条切线，，为的一条直径，且，连接若干条线段的端点．若，下列给出的四个命题中，为假命题的是（ ）
A．B．为正三角形
C．D．