（广东专用）中考数学三轮考前冲刺押题练习第21题一次函数和反比例函数的综合（2份，原卷版+解析版）

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广东中考对反比例函数知识的考查要求高，一般是以9分简答题的形式进行考查，一般难度较大，除了要求考生熟练掌握与反比例函数有关的基础知识，函数图像性质，还需要掌握几何证明的相关知识．纵观近3年的中考试题，主要考查以下两个方面：一是考查反比例的解析式，面积，与一次函数的综合运用，利用函数图像解不等式等知识；二是考查几何证明与计算．
预测今年第21题或22题还是考察函数和几何的综合，重点考察面积的计算和不等式的数形结合的思想。
在备考中熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的基础，其次还需要掌握一次函数的图像与性质和相似三角形，能适当的添加辅助线构造相似三角形，有时还需要将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比，分类讨论也是解决问题的关键哦，另外要注意不等式的数形结合，三角形面积的分割求法
1．（2019·广东·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.
（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点在线段上，且，求点的坐标.
【答案】（1）或；（2），；（3）
【分析】(1) 观察图象得到当或时，直线y=k1x+b都在反比例函数的图象上方，由此即可得；
(2)先把A(-1，4)代入y=可求得k2，再把B(4，n)代入y=可得n=-1，即B点坐标为(4，-1)，然后把点A、B的坐标分别代入y=k1x+b得到关于k1、b的方程组，解方程组即可求得答案；
(3)设与轴交于点，先求出点C坐标，继而求出，根据分别求出，，再根据确定出点在第一象限，求出，继而求出P点的横坐标，由点P在直线上继而可求出点P的纵坐标，即可求得答案.
【详解】(1)观察图象可知当或，k1x+b>；
(2)把代入，得，
∴，
∵点在上，∴，
∴，
把，代入得
，解得，
∴；
(3)设与轴交于点，
∵点在直线上，∴，
，
又，
∴，，
又，∴点在第一象限，
∴，
又，∴，解得，
把代入，得，
∴.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
2．（2021·广东深圳·统考中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，
①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；
③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③
【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积，比较是否也为2倍即可；
（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，求出关于x、y的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在；
（2）①存在；
∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；
②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，
因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；
③；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，
联立得，，故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解题意，根据题干过程模仿解题．
3．（2020·广东·统考中考真题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析
【分析】（1）根据题意设点B的坐标为（x，），得出点M的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k；
（2）连接，根据反比例函数系数k的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；
（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形．
【详解】解：（1）∵点B在上，
∴设点B的坐标为（x，），
∴OB中点M的坐标为（，），
∵点M在反比例函数（），
∴k=·=2，
故答案为：2；
（2）连接，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离等于点到距离，
∴；
（3）设，，
，，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，关于对称，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
4．（2019·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：∽
（3）求的值
【答案】（1），，点的坐标是；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标即可解答；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【详解】解：（1）∵正比例函数，反比例函数均经过点，
∴，，
解得：，.
∴正比例函数，反比例函数.
又正比例函数与反比例函数均是中心对称图形，则其两个交点也成中心对称点，
∵，
∴点的坐标是.
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）∵点的坐标是.
∴，，
∴，
∵，
∴△CPD∽△AEO，
∴.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握是解题的关键.
5．（2023·广东江门·校考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与x轴，y轴分别交于P、Q，过点A作于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直接写出时自变量的取值范围为__________；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)或
(3)
【分析】（1）先把点B坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，最后把A、B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）利用图象法求解即可；
（3）先求出P、Q的坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入到中得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
把代入到中得：，
∴，
把和代入到中得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，则时自变量的取值范围为或，
故答案为：或
（3）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
6．（2023·广东广州·校考一模）如图，一次函数图像与轴，轴分别相交于、两点，与反比例函数的图像相交于点、，已知点，点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)结合该图像直接写出满足不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）将代入一次函数，求得一次函数解析式和点的坐标，即可求解；
（2）求得点的坐标，结合函数图象，即可求得不等式的解集．
【详解】（1）解：将代入一次函数，可得
，解得，即，
将代入可得：，即，
，即，
故答案为：，；
（2）联立一次函数和反比例函数可得：，
即，
解得，，
即，
根据函数图象可得：不等式的解集为或，
故答案为：或
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的有关性质．
7．（2023·广东东莞·石龙三中校考一模）如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图象相交于点A（1，4）和点B（m，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求ΔAOC的面积；
（3）直接写出时的x的取值范围 （只写答案）
【答案】（1），；（2）C（-3，0）， S=6；（3）或
【分析】（1）根据题意把A的坐标代入反比例函数的图像与一次函数，分别求出k和b，从而即可确定反比例函数和一次函数的解析式；
（2）由题意先求出C的坐标，再利用三角形面积公式求出ΔAOC的面积；
（3）根据函数的图象即可得出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【详解】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数的图像与一次函数，求得以及，
所以反比例函数和一次函数的解析式分别为：和；
（2）因为C在一次函数的图象上以及x轴上，所以求得C坐标为（-3，0），
则有OC=3, ΔAOC以OC为底的高为4，所以ΔAOC的面积为：；
（3）由可知一次函数的值大于反比例函数的值，
把B（m，-2）代入，得出m=-2，即B（-2，-2），
此时当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小，解题的关键是确定交点的坐标．
8．（2023·广东深圳·校联考二模）已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示．
(1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标）
(2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积．
(3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．
【答案】(1)
(2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6
(3)
【分析】（1）由题意知，令，求，的值，进而可得结果；
（2）由，可得，联立，求解可得，，由题意知，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，
令，即，则，
∴一次函数必定经过点，
故答案为：；
（2）解：∵，则，
联立，解得，，
∴，，
∴，
如图，过作轴，过作于，过作于，
则，，，，，
∴
∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6．
（3）解：由题意知，，
令，整理得，
令，
解得，
∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．（2023·广东东莞·校考二模）如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求一次函数的表达式：
(2)若的面积为，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线交x轴于点 H ，则点，设点，则，再根据，即可求解．
【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数的表达式为：，则点，
由题意得：
，解得：，
故一次函数的表达式为：；
（2）
设直线交x轴于点 H ，则点，
设点，则，
，
，
的面积为，
，
解得：，即．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，解题关键三角形面积的求法．
10．（2023·广东汕头·统考一模）如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
(1)________，________，________；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)3，1，
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点A代入直线得：，求出点A的坐标，再代入即可求出k，将代入即可求出m；
（2）先求出B点坐标，再根据A、B的坐标，数形结合即可作答；
（3）先求出点C的坐标为：，即，可得，即，再根据，可得，即有，问题随之得解．
【详解】（1）把点A代入直线得：，
解得：，
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象过点B，
∴，解得，
故答案为：3，1，．
（2）把点B代入直线得：，
解得：，
∴点B的坐标为：，
结合点A的坐标为：，
数形结合，不等式的解集为：或；
（3）把代入得：，
解得：，
即点C的坐标为：，即，
结合点A的坐标为：，
∴，
∵，
即：，
∵，即，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
11．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，一次函数的图像与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为x轴上的一点，连接，若，求点P的坐标．
【答案】(1)该反比例函数的解析式为
(2)点P的坐标为或
【分析】对于（1），将点A的坐标代入一次函数关系式，求出坐标，再将点A的坐标代入，即可得出答案；
对于（2），先设直线与轴交于点，点的坐标为，联立两个函数关系式求出点B的坐标，再求出点C的坐标，然后表示出，根据列出方程，求出解即可．
【详解】（1）点在一次函数的图像上，
，则，把点代入，得，
，
该反比例函数的解析式为；
（2）设直线与轴交于点，点的坐标为．
令解得（舍去），
点B的坐标为，
在中，令，则，得，
点，
，
，，
又，，
解得，，
点P的坐标为或．
【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了求反比例函数关系式，求点的坐标，分割法求三角形的面积等，将三角形的面积转化为是解题的关键．
12．（2023·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，且．反比例函数的图象经过C，D两点，直线交x轴于点E．
(1)求k的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)12
(2)8
【分析】（1）将代入即可得出k的值；
（2）先证，再根据求出点C的纵坐标，进而求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，即可求的面积．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，即，
解得，
反比例函数的图象经过点C，，
点C的坐标为，即，
设直线的解析式为，
将，代入，可得，
解得，
直线的解析式为，
令，解得，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，平行线四边形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数图象解析式等，涉及知识点比较多，难度一般，解题的关键是利用相似求出点C的坐标．
13．（2023·广东惠州·统考一模）如图，直线与双曲线交于、两点，且点的坐标为．
（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）若，直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）（-3，-2）；（3）或；
【分析】（1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点A（2，3）在双曲线上，也在直线上，
∴，；
∴双曲线的解析式为，
直线的解析式为；
（2）∵点是直线和双曲线的交点，
∴点的坐标是方程组的一个解；
∴，；
∴点的坐标为（-3，-2）；
（3）由图象可知，若，则x的范围是：-3＜x＜0或x＞2．
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数与不等式等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
14．（2023·广东中山·统考二模）如图，已知一次函数的图象与轴、y轴分别交于点A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限内的部分交于点C，垂直于轴于点D，其中．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)若点P在轴上，且，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】（1）利用直接写出A点坐标和B点坐标，再利用平行线分线段成比例定理计算出得到C点坐标；利用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式；
（2）设，利用三角形面积公式得到，然后求出t得到点P的坐标．
【详解】（1）解：∵．
∴A点坐标为，B点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
把C代入得，
∴反比例函数解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）设，
∵，而，
∴，解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
15．（2023·广东广州·统考一模）如图，中，，，绕点顺时针旋转与重合，点在轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)把沿直线翻折到，与反比例函数交于点，求的面积．
【答案】(1)直线解析式为，反比例函数解析式为
(2)9
【分析】（1）先利用勾股定理求出，进而利用旋转的性质得到，则，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式得到的一元二次方程只有一个实数根，据此求解即可；
（2）先由折叠的性质证明四边形是菱形，得到，求出，得到，则．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
又∵点在轴上，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立得，即，
∵反比例函数与直线仅有一个公共点，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由折叠的性质可得，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质与判定，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
16．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长．
【答案】(1)该抛物线的解析式为
(2)
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求抛物线表达式，将，代人得，解二元一次方程组即可得到答案；
（2）将（1）中抛物线化为顶点式，得到抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标为，根据点的坐标特征即可求出的长．
【详解】（1）解：将，代人，得
，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为（），将，代人，得，解得，
∴直线的解析式为，
抛物线的对称轴与直线的交点为，
当时，，即点的坐标为，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一般式化为顶点式、求抛物线与坐标轴交点等知识，数形结合求出抛物线及直线的解析式是解决问题的关键．
17．（2023·广东清远·统考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当x为何值时，；
(3)若点P是线段的中点，求的面积．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）先把代入，求得，再利用待定系数法即可求解；
（2）直接利用一次函数与反比例函数图象的交点坐标即可求解；
（3）连接，作轴于C，轴于D，利用，再利用点P是线段的中点，据此求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
∴得，则，
∵点在上，
∴，
∴反比例函数为；
（2）解：由图象可知，当，时，；
（3）解：连接，作轴于C，轴于D，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴
，
∵点P是线段的中点，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式，解决问题的关键是求得交点坐标．
18．（2023·广东东莞·东莞市虎门第三中学校考一模）如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y的图象上．
（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点F在反比例函数y的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连结AE，求AE的长及点M的坐标．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）由与的坐标求出的长，根据四边形为平行四边形，求出的长，进而确定出坐标，设反比例解析式为，把坐标代入求出的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据平移的性质得到与横坐标相同，代入反比例解析式求出纵坐标得到平移的距离，即为的长，求出纵坐标，即为纵坐标，代入反比例解析式求出横坐标，即可确定出坐标．
【详解】解：（1）中，，，，
，，
，
设反比例解析式为，把坐标代入得：，
则反比例解析式为；
（2），
把代入反比例解析式得：，即，
平行四边形向上平移2个单位，即，
，
把代入反比例解析式得：，即．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
19．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于（如图），求．
【答案】
【分析】首先由一元二次方程根的判别式得出的取值范围，然后由得出或，再运用一元二次方程根与系数的关系求出的值，由的几何意义，可知．如果过作于，则．易证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，最后由，得出结果．
【详解】解：有两根，
，
即．
由得：．
当时，，解得，不合题意，舍去；
当时，，，
解得：符合题意．
，
双曲线的解析式为：．
过作于，则．
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
20．（2023·广东·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点、都在直线上，四边形为平行四边形，点D在x轴上，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求出m和k的值；
(2)将线段向右平移n个单位长度，得到对应线段EF，EF和反比例函数的图象交于点M．
①在平移过程中，如图2，求当点M为线段中点时点M的坐标；
②在平移过程中，如图3，连接、．若△AEM是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．
【答案】(1)、
(2)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法和平行四边形的性质求解即可；
（2）①设点F的坐标为、则点，则点M的坐标为，代入反比例函数解析式中求解即可；
（3）当为直角时，利用勾股定理求解即可；为直角时，证明，，点M的坐标为，代入代入反比例函数表达式中求得，，进而由，利用得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入直线表达式得： ，解得，
故直线的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，故点B的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴，又点D在x轴上，
故点C的坐标为，
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，
故反比例函数的表达式为，
故，；
（2）解：①连接，则，
平移时，∵，，
∴点E、F的横坐标差1，故设点F的坐标为、则点，则点M的坐标为，
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，
故；
②当为直角时，即，
设点E的坐标为，则点，
在中，，即，解得，
故点E的坐标为，
则；
当为直角时，
过点M作轴交于点T，
∵，，
∴，
∵，，
∴，同理可得：，
∴，
故设，则，
故点M的坐标为，
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：，解得（舍去）或，
故点M的坐标为，则，，
由点得，
∵，
∴，即，
∴，即．解得，
综上，或．