河南省南阳市六校2024−2025学年高一上学期第二次联考（12月） 数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市六校2024−2025学年高一上学期第二次联考（12月） 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，求（ ）
A．B．C．D．
2．方程的正数解所在的区间是（ ）
A．0,1B．C．2,3D．
3．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，且，则（ ）
A．B．5C．D．1
5．某地一年之内12个月的降水量分别为.则该地区的降水量的分位数和分位数分别为（ ）
A．B．C．D．
6．设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知一个样本容量为10的样本平均数为5，方差为1.6.现将样本中的3个数据去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数和是（ ）
A．5，1B．5，2C．5，3D．4，3
8．已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．幂函数是奇函数
C．函数y=fx的图象与轴的交点至多有1个
D．函数的最小值是2
10．下列命题不正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间是
B．若在区间上单调递增，则的取值范围是
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若是上的增函数，则的取值范围是
11．已知定义在上的函数满足对，都有，且.当时，都有成立，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．
C．不等式的解集是
D．
三、解答题（本大题共1小题）
12． .
四、填空题（本大题共2小题）
13．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式成立，则实数的取值范围 .
14．已知函数.若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是 ，4个零点之和的取值范围是 .
五、解答题（本大题共5小题）
15．已知集合.
(1)求能使成立的实数的取值范围；
(2)求能使命题：“”为假命题的实数的取值范围.
16．随着城镇化不断发展，老旧小区改造及管理已经引起政府部门的高度重视，为了解某小区业主对小区物业服务的满意程度，现从该小区随机抽查了户业主，根据业主对物业服务的满意度评分，将评分分成六段：得到如下频率分布直方图.已知评分在40,50之间的有5户.
(1)求和的值；
(2)从中按分层抽样的方法抽取26人成立物业服务监督小组，则从40,50，中分别抽取几人？
(3)估计满意度评分的平均数和中位数.
17．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；
(3)解关于的不等式.
18．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若使得成立，求实数的取值范围.
19．对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚焦函数”.现已知函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是上的“聚焦函数”；
(2)若函数是上的“聚焦函数”，求实数的取值范围；
(3)已知，若函数是上的“聚焦函数”，求的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】或，
则.
故选：D.
2．【答案】B
【详解】因为的解即为曲线与直线的交点的横坐标，
作出函数的图象：

设，
则，
则，
则函数的零点存在区间是.
故选：B
3．【答案】C
【详解】分别设和时的体积为，则，即.
又当时.
故选：C.
4．【答案】C
【详解】由题意，，即，
所以.
故选：C.
5．【答案】A
【详解】先将数据从小到大排列：.
由，可知分位数是53；
由，可知分位数是.
故选：A.
6．【答案】B
【详解】根据给定条件，构造函数，结合函数单调性及零点存在性定理探讨所在区间即可.
7．【答案】B
【详解】由均值得.
方差
得.
设.则
，
故选：B．
8．【答案】D
【详解】时，都有恒成立.则不妨设，则.
设函数，则且，即，
则函数在上单调递减.
（1）当时，在上单调递减，符合题意.
（2）当时，函数在上单调递增，不合题意舍去.
（3）当时，若使函数在上单调递减，只需即.
综上所述，.
故选：D
9．【答案】AC
【详解】A中，若，则，“”不是“”的充分条件，，“”是“”的必要条件，因此A正确；
B中，幂函数，则，即，所以是偶函数，因此B错误；
C中，函数y=fx的图象与轴的交点，若函数定义域内有，则与轴的交点为1个，若函数定义域内没有，则与轴的交点为0个，C正确；
D中，函数，当且仅当即取等号，最小值取不到，因此D错误.
故选：AC.
10．【答案】ACD
【详解】A：函数为对勾函数，该函数递减区间是和，
单调区间之间不能用并集符号，因此A错误；
B：，
则函数在递增时只需即，因此B正确；
C：在区间上单调递减，
则，即，因此C错误；
D：是R上的增函数，
则当时，，
由于，此时不满足在R上为增函数；
当即时，此时表示开口向上的抛物线，
在时不可能单调递增，此时不满足题意，
当即时，需满足，则，此时满足题意， D错误.
故选：ACD
11．【答案】BD
【详解】A：令，则，即；
令，则，则；
令，则，所以函数是偶函数，故A错误；
B：任取且，则，则，，
，，
在上单调递增，又因函数是偶函数，所以函数在上单调递减；
因为，又，所以，
又函数在上单调递增，所以，故B正确；
C：因为，所以；
则不等式等价于，又函数是偶函数，
则且，，
解得且，故C错误；
D：令，则，则.
则
，故D正确；
故选：BD.
12．【答案】/
【详解】
.
故答案为：
13．【答案】
【详解】，，
则有，
当且仅当时取等号.
存在这样的使不等式成立，
，解得或.
故答案为：
14．【答案】
【详解】由题意，，则函数的大致图象如下：
由函数有4个不同的零点，
得函数y=fx的图象与直线有4个不同的交点，如图所示，
则，解得.
设函数y=gx的四个零点从小到大依次为，
由，得，即，解得，
由二次函数的对称性可知，
由图可知，又对勾函数在上单调递增，
所以，
因此，.
故答案为：12,1；.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，即，
解得或，则或；
由可知，
当时，，解得；
当时，有或，解得；
综上所述，，即的取值范围是.
（2）因为命题：“”为假命题，所以.
先假设，
当时，，即时，满足；
当时，有，此时无解，故不符合题意；
综上所述，若，则，则时，，
因此，的取值范围是.
16．【答案】(1)
(2)2人，4人，8人，12人
(3)平均数74，中位数为75
【详解】（1）由题意可知
（2）由题意可知抽取比例为.
则若抽取26人，则中抽取2人，中抽取4人，中抽取8人，中抽取12人.
（3）平均数：
中位数：
17．【答案】(1)，
(2)函数在区间上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，
可知，即，则.
由，解得，
则满足题意，故，；
（2）由（1）可得，此时为奇函数，满足题意.
函数在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
因为，所以，
所以，即，
因此函数在区间上单调递增.
（3）由题意，函数是定义在上的奇函数，
则由，得，
即，
又函数是定义在区间上的单调递增函数，
所以，解得.
则关于的不等式的解集为.
18．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1），当且仅当即时取等号.
函数的值域是.
（2）由题意可知函数的值域是函数值域的子集，
设，当时，.
则.
即函数在上的值域是.
，
设，当时，，
，
①当时，函数的值域为，不合题意舍去.
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以函数即函数的值域，
所以，无解.
③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
所以函数即函数的值域，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
19．【答案】(1)最大值为，最小值为，函数是“聚焦函数”
(2)
(3)4
【详解】（1）当时，
则.
因为，
所以函数是“聚焦函数”.
（2）①当即时，
.
此时.
②当即时，
.
此时.
③当即时，
.
此时.
④当即时，
.
此时.
综上所述，的取值范围是.
（3）由可得.
①当即时，.
.
②当即时，.
.
综上所述，的最大值为4.当且仅当即或时，
取得最大值4.