河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期12月第二次联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期12月第二次联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,求( )
A.B.C.D.
2．方程的正数解所在的区间是( )
A.B.C.D.
3．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发,使得体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后,体积V与天数t的关系式为.已知新丸经过25天后,体积变为,则新丸经过75天,体积变为( )
A.B.C.D.
4．已知函数,且,则( )
A.B.5C.D.1
5．某地一年之内12个月的降水量分别为,,,,,,,,,,,.则该地区的降水量的分位数和分位数分别为( )
A.,B.,C.,D.,
6．设正实数a,b,c分别满足,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
7．已知一个样本容量为10的样本平均数为5,方差为1.6.现将样本中的3个数据4,5,6去掉,则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数和是( )
A.5,1B.5,2C.5,3D.4,3
8．已知函数,且,,时,都有恒成立,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.“”是“”的必要不充分条件
B.幂函数是奇函数
C.函数的图象与y轴的交点至多有1个
D.函数的最小值是2
10．下列命题不正确的是( )
A.函数的单调递减区间是
B.若在区间上单调递增,则a的取值范围是
C.若在区间上单调递减,则a的取值范围是
D.若是R上的增函数,则a的取值范围是
11．已知定义在上的函数满足对,,都有,且.当时,都有成立,则下列结论正确的是( )
A.函数是奇函数
B.
C.不等式的解集是
D.
三、填空题
12．________________.
13．若两个正实数x,y满足,且存在这样的x,y使不等式成立,则实数m的取值范围_______________.
四、双空题
14．已知函数.若函数有4个不同的零点,则实数m的取值范围是______________,4个零点之和的取值范围是______________.
五、解答题
15．已知集合,.
(1)求能使成立的实数a的取值范围;
(2)求能使命题“”为假命题的实数a的取值范围.
16．随着城镇化不断发展,老旧小区改造及管理已经引起政府部门的高度重视,为了解某小区业主对小区物业服务的满意程度,现从该小区随机抽查了n户业主,根据业主对物业服务的满意度评分,将评分分成六段：,,,得到如下频率分布直方图.已知评分在之间的有5户.
(1)求n和a的值;
(2)从中按分层抽样的方法抽取26人成立物业服务监督小组,则从,,,中分别抽取几人？
(3)估计满意度评分的平均数和中位数.
17．已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数在区间上的单调性,并用定义法证明;
(3)解关于的不等式.
18．已知函数.
(1)求函数的值域;
(2)若,使得成立,求实数m的取值范围.
19．对于定义在R上的函数,若其在区间上存在最小值m和最大值M,且满足,则称是区间上的“聚焦函数”.现已知函数.
(1)当时,求函数在上的最大值和最小值,并判断是否是上的“聚焦函数”;
(2)若函数是上的“聚焦函数”,求实数a的取值范围;
(3)已知,若函数是上的“聚焦函数”,求的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：,或,
则.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为的解即为曲线与直线的交点的横坐标,
作出函数,的图象：
设,
则,,,,,
则,
则函数的零点存在区间是.
故选：B.
3．答案：C
解析：分别设和时的体积为,,则,即.
又当时.
故选：C.
4．答案：C
解析：由题意,,即,
所以.
故选：C.
5．答案：A
解析：先将数据从小到大排列：,,,,,,,,,,,.
由,可知分位数是53;
由,可知分位数是.
故选：A.
6．答案：B
解析：令函数,函数在上单调递增,
,而,则;
令函数,函数在上单调递增,
,
,而,因此;
令函数,函数在上单调递增,
,而,因此,
所以a,b,c的大小关系为.
故选：B
7．答案：B
解析：由均值得.
方差
得.
设.则
,
故选：B.
8．答案：D
解析：,,时,都有恒成立.
则不妨设,则.
设函数,则,且,即,
则函数在上单调递减.
(1)当时,在上单调递减,符合题意.
(2)当时,函数在上单调递增,不合题意舍去.
(3)当时,若使函数在上单调递减,只需即,.
综上所述,.
故选：D.
9．答案：AC
解析：A中,若,则,“”不是“”的充分条件,,“”是“”的必要条件,因此A正确;
B中,幂函数,则,即,所以是偶函数,因此B错误;
C中,函数的图象与y轴的交点,若函数定义域内有0,则与y轴的交点为1个,若函数定义域内没有0,则与y轴的交点为0个,C正确;
D中,函数,当且仅当即取等号,最小值取不到2,因此D错误.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：A：函数为对勾函数,该函数递减区间是和,
单调区间之间不能用并集符号,因此A错误;
B：,
则函数在递增时只需即,因此B正确;
C：在区间上单调递减,
则,即,因此C错误;
D：是R上的增函数,
则当时,,
由于,此时不满足在R上为增函数;
当即时,此时表示开口向上的抛物线,
在时不可能单调递增,此时不满足题意,
当即时,需满足,则,此时满足题意,D错误.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：A：令,则,即;
令,则,则;
令,则,所以函数是偶函数,故A错误;
B：任取,且,则,
则,,
,,
在上单调递增,又因函数是偶函数,所以函数在上单调递减;
因为,又,所以,
又函数在上单调递增,所以,故B正确;
C：因为,所以;
则不等式等价于,又函数是偶函数,
则且,,
解得且,故C错误;
D：令,则,则.
则
,故D正确;
故选：BD.
12．答案：
解析：
.
故答案为：.
13．答案：
解析：,,
则有,
当且仅当时取等号.
存在这样的x,y使不等式成立,
,解得或.
故答案为：
14．答案：;
解析：由题意,,则函数的大致图象如下：
由函数有4个不同的零点,
得函数的图象与直线有4个不同的交点,如图所示,
则,解得.
设函数的四个零点从小到大依次为,,,,
由,得,即,解得,
由二次函数的对称性可知,
由图可知,又对勾函数在上单调递增,
所以,
因此,.
故答案为：;.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得,即,
解得或,则或;
由可知,
当时,,解得;
当时,有或,解得;
综上所述,,即a的取值范围是.
(2)因为命题“”为假命题,所以.
先假设,
当时,,即时,满足;
当时,有,此时无解,故不符合题意;
综上所述,若,则,则时,,
因此,a的取值范围是.
16．答案：(1),
(2)2人,4人,8人,12人
(3)平均数74,中位数为75
解析：(1)由题意可知
,
(2)由题意可知,,,,抽取比例为.
则若抽取26人,则中抽取2人,中抽取4人,中抽取8人,中抽取12人.
(3)平均数：
中位数：
17．答案：(1),
(2)函数在区间上单调递增,证明见解析
(3)
解析：(1)由函数是定义在上的奇函数,
可知,即,则.
由,解得,
则满足题意,故,;
(2)由(1)可得,此时为奇函数,满足题意.
函数在区间上单调递增,证明如下：
任取,,且,
则
因为,所以,,
所以,即,
因此函数在区间上单调递增.
(3)由题意,函数是定义在上的奇函数,
则由,得,
即,
又函数是定义在区间上的单调递增函数,
所以,解得.
则关于m的不等式的解集为.
18．答案：(1);
(2).
解析：(1),当且仅当即时取等号.
函数的值域是.
(2)由题意可知函数的值域是函数值域的子集,
设,当时,.
则.
即函数在上的值域是.
,
设,当时,,
,
①当时,函数的值域为,不合题意舍去.
②当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
且,,,
所以函数即函数的值域,
所以,无解.
③当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
且,,,
所以函数即函数的值域,
所以,解得.
综上所述,m的取值范围是.
19．答案：(1)最大值为,最小值为,函数是“聚焦函数”
(2)
(3)4
解析：(1)当时,
则,.
因为,
所以函数是“聚焦函数”.
(2)①当即时,
.
此时.
②当即时,
,.
此时.
③当即时,
.
此时.
④当即时,
,.
此时.
综上所述,a的取值范围是.
(3)由可得.
①当即时,.
,,.
②当即时,.
,,.
综上所述,的最大值为4.当且仅当即或时,
取得最大值4.