2022-2023学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考数学试题

一、单选题

1．已知复数（i为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算化简复数，由即可得结果.

【详解】，

由.

故选：A

2．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可.

【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即，

又，故.

故选：A

3．在平面直角坐标系中，角的顶点为O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由诱导公式、倍角余弦公式得，三角函数定义知，代入求值即可.

【详解】，由题意，

所以.

故选：B

4．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得解.

【详解】依题意可得，解得，又，

所以，解得，

所以，又函数过点，所以，

即，所以，，所以，，

又，所以，

所以.

故选：A

5．在平行四边形中，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用表示出，求出参数，进而得结果.

【详解】，

所以，则.

故选：D

6．在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】B

【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案.

【详解】如图，过点作，垂足为,则.

若有两解，所以，则，即，得.

故选：B

7．已知向量满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合可求得，由此可得，进而求得结果.

【详解】，，

，解得：，

，解得：.

故选：C.

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有，将条件代入求值即可.

【详解】.

故选：C

二、多选题

9．下列选项中，正确的是（    ）

A．若，则

B．

C．在任意斜中

D．在中，角所对的边分别为则

【答案】BCD

【分析】应用诱导公式判断A；利用平方关系化简判断B；由商数关系、三角形内角性质、和角正余弦公式及正弦边角关系化简、判断C、D.

【详解】A：，错；

B：，对；

C：，

所以

，

注意不能有直角，即为任意斜，上述等式成立，对；

D：由，

根据正弦边角关系知：，对.

故选：BCD

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】应用关系求得，进而确定角的范围，并求出、，即可判断各项正误.

【详解】，故①，

由，则，故，A对；

将①联立，可得或（舍），

所以，故，，B、D对，C错.

故选：ABD

11．已知函数，则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称

C．函数的一个对称中心为

D．函数在区间上单调递减

【答案】AD

【分析】由辅助角公式得，由正弦型函数性质求最小正周期、代入判断对称中心、整体法判断区间单调性，根据图象平移写出解析式判断奇偶性，即可知各项正误.

【详解】，最小正周期，A对；

，显然不关于轴对称，B错；

，故的一个对称中心为，C错；

由上，，根据正弦型函数性质知：递减，

所以在区间上单调递减，D对.

故选：AD

12．已知函数在上单调，且满足，．若在有且仅有7个零点，则下列说法正确的是（        ）

A．

B．

C．与在上有且仅有4个公共点

D．在上单调递增

【答案】AC

【分析】确定的对称中心为，对称轴为，得到，根据零点个数得到，，A正确，B错误，确定得到C正确，计算单调区间得到D错误，得到答案.

【详解】在区间上单调，，，

，故的对称中心为，

且，则，故，

且，故的对称轴为.

从而，且，故，，

在上有且仅有7个零点，故，即 ，故，

，又，所以，

对选项A：，正确；

对选项B：，错误；

对选项C：，则，，有4个解，正确；

对选项D：由得，，

即在，上单调递增，故在上单调递增，在单调递减，错误.

故选：AC

三、填空题

13．已知，且，则向量的坐标为_______．

【答案】或

【分析】设，由向量垂直坐标表示、模长的坐标公式列方程求坐标即可.

【详解】令，则，可得或，

所以或，经检验满足要求.

故答案为：或

14．已知，则_______．

【答案】/

【分析】将分母“1”化为，应用齐次运算求值即可.

【详解】

.

故答案为：

15．计算_______．

【答案】

【分析】利用诱导公式、倍角正弦公式得，再由关系求值即可.

【详解】

，

由，，

所以，

综上，.

故答案为：

16．将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则______.

【答案】

【分析】先求出变换之后的函数解析式，然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得，然后可解.

【详解】将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为，

所以与为同一函数，

故，即

所以

故答案为：

四、解答题

17．已知复数，其中为虚数单位，．

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由纯虚数定义列方程求参数；

（2）由复数对应点所在象限列不等式组求参数范围.

【详解】（1）由是纯虚数，则，故.

（2）由在复平面内对应的点在第四象限，，

所以.

18．在中，分别是角的对边，已知是锐角，且．

(1)若，求实数的值；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由二倍角余弦公式易得，结合已知及余弦定理列方程求m值.

（2）由余弦定理可得，应用基本不等式可得，注意等号成立条件，最后应用三角形面积公式求面积最大值即可.

【详解】（1）由是锐角，且，则，

又，可得.

（2）由（1）知：，即，

所以，当且仅当时等号成立，

又，则，

所以面积的最大值为.

19．设函数．

(1)求的最小正周期和单调递减区间；

(2)当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的．

【答案】(1)，函数的单调递减区间为；

(2)时，；时，.

【分析】（1）先根据三角恒等变换将整理化简得到，然后根据正弦函数的性质得到，解不等式即得解；

（2）求出，再利用正弦函数的图象和性质进行求解.

【详解】（1）

所以的最小正周期是，

由，解得，

所以函数的单调递减区间为.

（2）当时，，

所以当即时，；

当即时，.

所以时，；时，.

20．“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高128米，转轮直径约为114米，共有28个酷似太空舱胶囊的全景式进口轿厢，每个轿厢可容纳25人“湾区之光”旋转一圈的时间是28分钟，摩天轮开启后按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位：min）后距离地面的高度为H（单位：m）．

(1)若以摩天轮在地面上的投影所在直线为轴，过摩天轮的中心且垂直轴的直线为轴建立直角坐标系，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；

(2)若游客甲进舱分钟后游客乙进舱，在运行一周的过程中，记（单位：m）表示甲、乙两人距离地面的高度差，求游客甲进舱多长时间后，第一次达到最大值，最大值是多少？

【答案】(1)，且

(2)游客甲进舱 min后，第一次达到最大值，为米

【分析】（1）由题意确定最高点、最低点及最小正周期，令，且，且过求参数，即可得解析式；

（2）游客乙进舱min后，则高度差，利用和差角余弦公式化简，结合正弦型函数的性质求最值.

【详解】（1）由题意，最高点，最低点，最小正周期min，

若，且，

则，，，

所以，函数过，即，

所以，则，故.

（2）由题意，甲乙所在太空舱夹角为，

所以游客乙进舱min后，则高度差，

所以，

要使达到最大，则且，可得，，

所以时，第一次达到最大值，此时min，米，

综上，游客甲进舱 min后，第一次达到最大值，最大值是米.

21．已知，，，，求：

(1)的值；

(2)的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，

（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.

【详解】（1）因为，，

所以，，

所以，

，

所以

.

（2）因为，，

所以，

所以，

所以.

22．已知向量，，设函数．

(1)求函数在上的零点；

(2)当时，关于的方程有2个不等实根，求的取值范围．

【答案】(1)零点有、、

(2)

【分析】（1）应用向量数量积坐标表示、倍角正余弦公式及辅助角公式化简得，令求上的零点；

（2）问题化为在上有2个不等实根，画出在的图象，数形结合求参数a的范围.

【详解】（1）由题设

，

令，则，而上，

所以或或，即或或，

综上，在上的零点有、、.

（2），

所以在上有2个不等实根，

由，则，且在上递增，上递减，

所以在的图象如下：

所以，则.