数学北师大版（2024）3 确定二次函数的表达式集体备课ppt课件

这是一份数学北师大版（2024）3 确定二次函数的表达式集体备课ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了复习引入，待定系数法，典例精析，4a+c，－3a+c，c－5，针对训练，a-1，b-6，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
1. 一次函数 y = kx+b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）
　　例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3)和 (－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
特殊条件的二次函数的表达式
　　1. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
∴ y=-x2-6x.
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x-h)2+k，把顶点（-2，1）代入 y=a(x-h)2+k 得
y = a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1= -8，
解得 a = -1.
∴所求的二次函数的表达式是 y= -(x+2)2+1或y= -x2-4x-3.
顶点法求二次函数的表达式
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：① 设函数表达式为 y=a(x-h)2+k；② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
∴所求的二次函数的表达式是
解：∵(-3，0),(-1，0 )是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是 y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.)因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1) = -3，
∴所求抛物线的表达式是 y= -(x+3)(x+1)，即 y = -x2 -4x -3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出过这三点的抛物线的表达式.
交点法求二次函数的表达式
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：① 设函数表达式是 y = a(x-x1)(x-x2)；② 先把两交点的横坐标 x1 , x2 代入到表达式中，得到关于 a 的一元一次方程；③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
一般式法求二次函数的表达式
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入 y=ax2+bx+c 得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3） 试求出这个二次函数的表达式.
∴所求的二次函数的表达式是 y=-x2-4x-3.
待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写表达式）
　　例2 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为 y = ax2+bx+c.
∵该图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)，
∴二次函数图像对称轴为直线 ，顶点坐标为 .
∴所求二次函数表达式为
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：① 设函数表达式为 y = ax2+bx+c；② 代入后得到一个三元一次方程组；③ 解方程组得到 a,b,c 的值；④ 把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得 c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
注 y=ax2 与 y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .
y = -2(x-1)2+6
3. 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
4. 已知抛物线与x轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点 M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1，所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)，即 y＝－x2＋1.
解:∵该图象经过点（2,0）和(1,－6)，
∴二次函数的表达式为：
(2) 设该二次函数的对称轴与x轴交于点 C，连接BA，BC，求 △ABC 的积．
解:∵二次函数对称轴为
∴c点坐标为（2，0）.
6.已知一条抛物线经过 E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
7.如果抛物线 y = x2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（　　）
8. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y轴交于点 B ，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式；
解：把点A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是 y＝x2＋6x＋5.
(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求 △BCD 的面积．
∵CD∥x 轴，∴点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称．∵点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，∴点 C 的横坐标为－7，∴点 C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点 B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝ ×8×7＝28.
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
用一般式法：y = ax2+bx+c
用顶点法：y = a(x-h)2+k
用交点法：y = a(x-x1)(x-x2) (x1，x2为交点的横坐标）
待定系数法求二次函数解析式