湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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命题学校：武汉市第十五中学 命题教师：徐煊 审题教师：冷秋君
考试时间：2025年1月15日 试卷满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
4. 设，，，则（ ）
A B. C. D.
5. 函数的零点，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径
长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 关于函数的下述四个结论，正确的有（ ）
A. 若，则
B. 的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. ）图象向右平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则的值为__________．
13. 函数在的值域________．
14. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）
15. （1）已知，求.
（2）已知，，求.
16. 函数的部分图像如图所示.
（1）求及图中值，并求函数的最小正周期；
（2）若在区间上只有一个最小值点，求实数的取值范围.
17. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性：
（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围.
18. 已知定义在上的函数满足且，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.
19. 列奥纳多达芬奇（Lenard da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
（1）证明：；
（2）求不等式：的解集；
（3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．