湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．计算的值为( )
A.B.C.D.
2．函数的定义域为( )
A.B.
C.D.
3．要得到函数的图像，只需将的图像( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
4．设，，，则( )
A.B.C.D.
5．函数的零点，，则( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知为锐角，且，则( )
A.B.C.D.
7．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为O，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A.1B.C.D.
8．设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知，则下列等式正确的是( )
A.B.
C.D.
10．下列不等式成立的是( )
A.B.
C.D.
11．关于函数的下述四个结论，正确的有( )
A.若，则
B.的图像关于点对称
C.函数在上单调递增
D.的图像向右平移个单位长度后所得的图像关于y轴对称
三、填空题
12．已知函数，则的值为__________.
13．函数在的值域__________.
14．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
15．(1)已知，求.
(2)已知，，求.
16．函数的部分图像如图所示.
(1)求及图中的值，并求函数的最小正周期；
(2)若在区间上只有一个最小值点，求实数m的取值范围.
17．已知函数是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)判断并用定义法证明函数的单调性：
(3)若，且当时，恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知定义在R上的函数满足且，.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围.
19．列奥纳多达芬奇（LenarddaVinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为.
(1)证明：；
(2)求不等式：的解集；
(3)函数的图像在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
故选：C
2．答案：D
解析：由题意得，
解得且，
所以函数的定义域为，
故选：D.
3．答案：D
解析：,
所以要得到函数的图像，
只需将的图像向右平移个单位，
故选:D.
4．答案：D
解析：作出函数、、的图像如下图所示：
因为，，，
由图像可得.
故选：D.
5．答案：C
解析：已知，
；，
所以，
可知函数零点所在区间为，
故.
故选：C.
6．答案：D
解析：因为为锐角，
所以
且，
所以
得，
由诱导公式得，
.
所以.
故选:D
7．答案：D
解析：由题意得劣弧的长为2，半径，
设，则，即，
则扇形的面积为，
过点O作，
则，
则，，
，则，
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于，
故选：D.
8．答案：C
解析：函数是定义在R上的奇函数，
当时，，
当时，，
所以，
即当时，
又对任意，都有，
则关于对称，
且，
，即函数的周期为4，
又由函数且在上恰有4个不同的零点，
得函数与的图像在上有4个不同的交点，
又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得.
综上可得.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A项，因为（，），所以，即，故A项正确；
对于B项，由A项知，所以，故B项正确；
对于C项，由A项知，所以，
又，所以不一定成立，故C项不成立；
对于D项，由A项知，
所以，故D项正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：因为，
且函数在上单调递增，
则，故选项A错误；
因为，，
且函数在上单调递减，
则，
即，故选项B正确；
因为，
且函数在上单调递减，则，故选项C错误；
因为，且函数在上单调递减，
则，故选项D正确；
故选：BD
11．答案：ABD
解析：由知点，
是图像的两个对称中心，
则，A正确；
因为，
所以点是的对称中心，B正确；
由，
解得，
当时，在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，C错误；
的图像向右平移个单位长度后所得图像对应的函数为
，是偶函数，
所以图像关于y轴对称，D正确，
故选：ABD.
12．答案：4
解析：由题意可得，，
所以.
故答案为：4
13．答案：
解析：
，
∵，
∴，
令，
则在递增，在递减，
当时，y取最小值1，
当时，y取最大值，
故函数的值域是，
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意知单调递增，故在R上单调递增，
又，
故不等式对恒成立，
即对恒成立，
所以，即对恒成立，
当时，，
故，即实数a的取值范围是，
故答案为：
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)∵，
原式.
(2)∵，
∴，∴.
.
∵，∴，∴.
16．答案：(1)，，最小正周期为2
(2)
解析：(1)将代入
得，解得，
所以，
令得，，
解得，，
所以图中对称轴为，
由对称性得，解得.
的最小正周期.
(2)由余弦函数的性质令
解得，，
由余弦函数的图像在区间上只有一个最小值点，则，
即实数m的取值范围为.
17．答案：(1)；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
解析：(1)由题设，
所以，即.
(2)单调递增，证明如下：
由(1)知：，
令，则
，
而，，，
所以，故单调递增.
(3)由题设，当时恒成立，
而，
所以即可，故实数a的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题意知，，
即，
所以，
故
(2)由(1)知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，
当且仅当，即时，等号成立
所以，
故实数a的取值范围是
(3)因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，
，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，
，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是
19．答案：(1)证明见解析；
(2)（
(3)
解析：(1)
.
(2)因为，恒成立，故是奇函数.
又因为在R上严格递增，在R上严格递减，
故是R上的严格增函数，
所以，
即，
所以，解得，
即所求不等式的解集为；
(3)因为的图像在区间上与x轴有2个交点，
所以，
即在有2个实数根，
所以在有2个实数根，
令，
易知在上单调递增，
所以，
则，
令，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，，作函数草图如图，
当时，函数与有两个交点，
即函数的图像在区间上与x轴有2个交点，
所以，即.