人教A版（2019）高一数学必修第一册三角函数的图象与性质应用(1)-教学设计

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第一册三角函数的图象与性质应用(1)-教学设计，共5页。教案主要包含了复习回顾，例题分析，巩固练习，拓展应用，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
课例编号
2020QJ10SXRA053
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
三角函数的图象与性质应用（1）
教科书
书名：普通高中教科书数学A版必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 6 月
教学人员
姓名
单位
授课教师
彭生才
北京汇文中学
指导教师
李颖
东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：1.运用三角函数的图象与性质研究较为复杂的函数，进一步认识图象与性质的作用;
2.在运用图象与性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法;
3.发展学生直观想象，逻辑推理，数学运算等数学素养.
教学重点：研究图象变换下函数的性质.
教学难点：由图象观察性质.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、复习回顾
二、例题分析
三、巩固练习
四、拓展应用
五、课堂小结
六、布置作业
我们在前几次课学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质，大家还记得有哪些内容吗？让我们结合三角函数的图象一起来回顾一下：

①对于正弦函数，定义域是R，最小正周期是2π，我们可以先通过五点法画出一个周期内的简图，五点分别是(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，－1))，(2π，0).由图象可以看出最大值是1，最小值是-1，值域是[-1,1].然后将这段图象“复制-粘贴”，从而得到整个函数的图象.我们发现，图象关于原点对称，该函数是奇函数.在研究单调性的时候我们选取的区间不是[0，2π]，而是[-eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]，结合周期性得出，单调递增区间是[2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)] (k∈Z).
②对于余弦函数，其图象可以由正弦函数的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度得到，由图象可以看出，该函数的定义域是R，值域是[-1,1]，最小正周期是2π，图象关于y轴对称，该函数是偶函数. 在研究单调性的时候我们选取的区间是[-π，π]，结合周期性得出，单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)；
③对于正切函数，与正弦函数、余弦函数比较，图象和性质发生了较大的变化，自变量x不再取任意实数，而是x≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，值域由[-1,1]变为R，最小正周期由2π减小为π.图象关于原点对称，该函数是奇函数. 在研究单调性的时候我们选取的区间是(-eq \f(π,2)，eq \f(π,2)），结合周期性得出，单调递增区间是(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)，无单调递减区间.
以上我们结合图象复习了三角函数的五个性质：定义域，值域，周期性，奇偶性和单调性，接下来我们根据这些图象和性质，研究几个稍微复杂一些的函数.
例1 求下列函数的图象的对称中心：
(1)；
【分析】我们知道，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象可由函数y＝sinx的图象平移得到，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象与y＝sinx的图象形状完全一样，如图所示，图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，求对称中心只需求出函数的零点即可.
解 (1)令sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))=0，由正弦函数定义可知x-eq \f(π,4)=kπ(k∈Z)，x=kπ+eq \f(π,4)，所以该函数图象的对称中心为(kπ+eq \f(π,4)，0) (k∈Z).
(2).
【分析】函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))的图象可由函数y＝tanx的图象平移得到，y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))的图象与y＝tanx的图象形状完全一样，如图所示，求对称中心只需求出使得正切值为零或无意义的x值，即x+eq \f(π,6)=eq \f(kπ,2)(k∈Z).
解 令x+eq \f(π,6)=eq \f(kπ,2)(k∈Z)，x=eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)，所以该函数图象的对称中心为(eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)，0) (k∈Z).
下面请同学们看一组练习：
练习 已知函数f(x)＝cs(x＋θ) (0≤θ≤π)，
(1)若函数f(x)是奇函数，求θ的值；
(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,8)，求θ的值.
【分析】我们知道，函数f(x)＝cs(x＋θ)的图象可由函数y＝csx的图象平移得到，两者形状完全一样，余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，如图所示，对称中心就是图象与x轴的交点，对称轴就是经过图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线.
解 (1)因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，则有f(0)=0，即csθ=0，由余弦函数定义可知，θ=kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，又因为0≤θ≤π，所以θ=eq \f(π,2).
另法：因为0≤θ≤π，所以函数f(x)＝cs(x＋θ)的图象可以看成是y＝csx的图象向左移动得到的，如图所示，y＝csx的图象向左移eq \f(π,2)个单位长度所得的曲线关于原点对称，所以θ=eq \f(π,2).
注意：解题涉及正弦函数与余弦函数的奇偶性时，一般不用奇偶性的定义，即不必通过计算考察f(-x)与f(x)的关系，而是根据三角函数图象的特点来解答.
(2)因为直线x＝eq \f(π,8)是函数f(x)的图象的一条对称轴，所以当x＝eq \f(π,8)时，函数取得最大值或最小值，即f(eq \f(π,8))=±1，cs(eq \f(π,8)＋θ)=±1，由余弦函数定义可知，eq \f(π,8)＋θ=kπ(k∈Z)，θ=kπ－eq \f(π,8)，又因为0≤θ≤π，所以θ=eq \f(7π,8).
小结：在以上例题和练习的解答过程中，我们根据平移变换下三角函数图象的特点，得到了求图象对称中心或对称轴的方法.
(1)点(a,0)是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称中心f(a)=0；
(2)直线x=a是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称轴f(a)=±1；
(3)点(a,0)是正切曲线f(x)=tan(x+θ)的对称中心a+θ=eq \f(kπ,2)(k∈Z).
接下来我们研究翻折变换下三角函数的图象和性质：
例2 求下列函数的周期与单调区间：
(1)y＝|csx|; (2) y＝|tanx|.
【分析】我们看到，两个小题中的三角函数都加了绝对值符号，由前面的章节可知，将函数y=f(x)在x轴下方的部分图象翻折上去，就得到了函数y=|f(x)|的图象.
(1)函数y＝|csx|的图象如下：
由图象可知，该函数的最小正周期是π，我们先观察一个周期内的图象，选定的区间是[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，函数在[－eq \f(π,2)，0]上单调递增，在[0，eq \f(π,2)]上单调递减，所以该函数的单调递增区间是[kπ－eq \f(π,2)，kπ] (k∈Z)，单调递减区间是[kπ，kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z).
(2)函数y＝|tanx|的图象如下：
由图象可知，该函数的最小正周期是π，我们先观察一个周期内的图象，选定的区间是(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，函数在(－eq \f(π,2)，0]上单调递减，在[0，eq \f(π,2))上单调递增，所以该函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z).
小结：求含绝对值的三角函数的单调区间，先画出大致图象确定函数的周期，再选定一个周期内的图象写出单调区间，最后拓展到整个定义域.
思考 (1)函数y＝|csx|和y＝|tanx|的图象具有怎样的对称性呢？
观察函数y＝|csx|的图象可知，该图象是轴对称图形，不是中心对称图形，对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)(k∈Z).
观察函数y＝|tanx|的图象可知，该图象是轴对称图形，不是中心对称图形，对称轴方程也是x＝eq \f(kπ,2)(k∈Z).
(2)与函数y＝|csx|相比，函数y＝|csx|+1的性质有变化吗？
y＝|csx|
y＝|csx|+1
----定义域，周期性，单调性，奇偶性，对称轴方程不变，值域由[0,1]变为[1，2].
本节课研究了平移变换与翻折变换下三角函数图象的对称性、三角函数的周期性和单调性，进一步认识了图象与性质的作用，体现了数形结合的思想方法.
需要掌握的具体内容如下：
(1)点(a,0)是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称中心f(a)=0；(余弦曲线同理)
(2)直线x=a是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称轴f(a)=±1；(余弦曲线同理)
(3)点(a,0)是正切曲线f(x)=tan(x+θ)的对称中心a+θ=eq \f(kπ,2)(k∈Z).
(4)含绝对值的三角函数的图象和性质的研究方法.
课本第213-214页：习题5.4第3，6，7，12，19题.