人教A版（2019）高一数学必修第一册函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)-教学设计

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第一册函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)-教学设计，共4页。
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA060
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
函数y=Asin(ωx+φ)的图象（1）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
张媛媛
北京市第五十中学分校
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界密切联系；
2.掌握参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，通过信息技术建立并控制参数φ的变化，理解参数φ在圆周运动中的实际意义，感受数学的应用价值；
3.感受发现问题提出问题的过程，发展数学建模、数学抽象与直观想象的数学素养．
教学重点：
用函数y=Asin(ωx+φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；
参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响．
教学难点：
数学建模的过程与方法；
参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响的研究过程．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2分钟
创设问题情境
提出研究问题
引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画．
对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面看一个实际问题：
筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原理．
问题1：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型刻画它的运动规律．
设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题．
4分钟
抽象简化问题
建立函数模型
问题2：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间t s后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？
师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置以及所经过的时间t．
以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设时，盛水筒M位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，
经过时间t 后运动到点．
于是，以Ox为始边，OP为终边的角为，并且有
． = 1 \* GB3 ①
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是
． = 2 \* GB3 ②
通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，实际生活中的很多现象，例如：摩天轮，物理中的单摆等都可以用三角函数刻画，现代依然有研究的价值．
设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周运动，引出本单元的核心内容；明确参数的实际意义，突出学习函数y=Asin(ωx+φ)的必要性；让学生经历数学建模全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学的语言描述世界．
2分钟
明确函数y=Asin(ωx+φ)
的研究思路
引导语：通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质，就可以把握盛水筒的运动规律．这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．
问题3：从解析式看，函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx+φ)在时的特殊情形．能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响呢？函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数，你认为应该按怎样的思路进行研究？
师生分析：对于三个不同的参数，相对固定其中两个，仅一个变动； 先分别探讨φ、ω、A对函数图象的影响，再综合．
设计意图:引导学生思考研究问题的一般思路和方法，有助于主动地学习，学会学习．
13分钟
探索参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响
问题4：不妨先从研究参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响开始，即探究函数y=sin x与y=sin(x+φ)图象之间的关系．为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，借助信息技术进行实验探究．
如图，取，动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动．
（1）如果动点以为起点（此时），经过x s后运动到点P，设点P的纵坐标y，以（x，y）为坐标描点F，作出点F的轨迹.．
追问：P的纵坐标y等于什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？
师生分析：y=sin x，点F的轨迹对应的函数解析式是正弦函数y=sin x.
（2）在单位圆上拖动起点，使点绕圆心旋转到，即：起点位于，，你发现图象有什么变化？
此时，点P的纵坐标是什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？
师生分析：此时以Ox为始边，OP为终边的角为，因此P的纵坐标，点F的轨迹对应的函数解析式是函数．
（3）时的函数与时的函数y=sin x的图象之间具有怎样的关系？你能结合点P的运动规律解释图象间的关系吗？
在单位圆上的，设两个动点分别以，为起点同时开始运动．
到点P的时间
图象上点
函数
到P
x
y=sinx
到P
这说明，把正弦曲线y=sinx上的所有点向左平移个单位，就得到的图象．
（4）如果φ的值取，说一说你的发现，并给出合理的解释．
（5）旋转一个任意角φ呢？通过实验结果，你能归纳出φ对函y=Asin(ωx+φ)的图象的影响的一般化结论吗？
一般地，当动点M的起点位置所对应的角是φ时，对应的函数是y=sin(x+φ) ，把正弦曲线上的所有点向左或向右平移个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象．
练习：
1. 为了得到函数的图象，只需要将正弦曲线上的所有点（ ）．
（A）向左平行移动个单位长度
（B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度
（D）向右平行移动个单位长度
2. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
设计意图:借助信息技术，探究参数出φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.老师通过追问引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，从形和数两个方面解释φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响，提升直观想象和逻辑推理能力．
2分钟
课堂小结
回顾本节课学习内容，回答以下问题:
本节课我们研究了什么问题？研究的路径是怎样的？
研究了对于一个一般的匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题.
实际问题 转化 数学问题 构建 函数y=Asin(ωx+φ).
如何理解函数y=Asin(ωx+φ)中参数φ的物理意义以及它对函数y=Asin(ωx+φ)的影响？
φ指动点M的起点位置所对应的角，此时对应的函数是y=sin(x+φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左或向右平移个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
在研究函数y=Asin(ωx+φ)的过程中，有哪些思想方法值得借鉴？
从特殊到一般； 控制变量．
设计意图:梳理本节课的知识和研究过程，以及体现的数学思想方法，进一步体会研究数学对象的思路和方法，以及数学建模的过程与方法．