人教A版（2019）高一数学必修第一册函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)-教学设计

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第一册函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)-教学设计，共10页。
课例编号
2020QJ10SXRA061
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
函数的图象（2）
教科书
书名：高中数学人教A版必修一
出版社：人们教育出版社 出版日期：2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
郑洁
北京第五十中学分校
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1．掌握参数，对函数图象的影响，理解参数，在圆周运动中的实际意义．
2．能从正弦曲线出发，经过平移变换、横坐标的伸缩变换（周期变换）、纵坐标的伸缩变换（振幅变换）三种图象变换得到函数的图象，理解从正弦曲线到函数图象的变换过程．
3．在探究图象的变换过程中，体会从特殊到一般的研究方法，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．
教学重点：参数，对函数图象的影响．
教学难点：参数对函数图象的影响．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2分钟
（一）
回顾旧知
引导语：上一节课我们通过对筒车运动的研究，用三角函数模型刻画了现实世界中的匀速圆周运动．利用三角函数的知识建立了形如（其中，）的函数．以以往研究函数的一般思路，为了研究这个函数的图象与性质，就需要明确参数，，对函数图象的影响．请同学们回答以下问题：
问题1：研究参数，，对函数图象的影响是按怎样的思路展开研究的？
问题2：研究参数对函数图象的影响时，是怎样进行研究的？
师生总结：
对三个不同的参数控制变量：相对固定其中两个，仅一个变动； 从局部到整体，分别研究，，对函数图象的影响．
在研究参数对函数图象的影响时，研究过程是从取特殊值入手，观察了取特殊值时的函数图象，并猜想验证．在这个过程中，关键是分析清楚了与图象上点的关系，从而由特殊到一般，获得一般性结论．
17分钟
（二）
探究新知
引导语：这节课我们继续研究参数、对函数图象的影响．
1．探索参数对函数图象的影响．
问题3：类比参数对函数图象影响的研究过程，你计划怎样研究参数对函数图象的影响？
生：明确研究思路：仍然可以用从特殊到一般的研究方法探索参数对函数图象的影响．
师：引导学生明确研究思路后，提出以下追问．
追问：
（1）结合筒车模型，取不同值表示什么含义？
（2）若给赋特殊值，你认为给取哪个特殊值比较合适？
生：结合筒车模型，分析的实际意义．
师：引导学生理解的实际意义，明确接下来的研究对象：函数与的图象之间的变换关系．
师生分析：结合筒车模型，代表角速度，取不同值表示质点以不同的角速度做匀速圆周运动．前面我们研究了时的函数的图象，所以不妨设，固定的值，改变参数，研究函数与图象之间的变换关系．
设计意图：引导学生类比参数对函数图象影响的研究过程，明确参数对函数图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解的实际意义，为后面的探索做好准备．
下面我们继续借助信息技术进行实验探究．
师：结合信息技术动态演示时，动点的轨迹以及动点对应的函数解析式．
我们知道，动点在单位圆上以单位角速度（即）按逆时针方向运动，如果动点以为起点（此时），经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于，所以以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是．
问题4：若取，动点以为起点，在单位圆上以角速度按逆时针方向运动，经过后运动到点，那么点的纵坐标是什么？
生：点的纵坐标就等于．
追问：此时，以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是什么？
生：点的轨迹对应的函数解析式是．
师：结合信息技术动态演示时，动点的轨迹．
问题5：函数与的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
生：思考、交流．
师：引导学生分析，学生遇到困难时进行点拨．
师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在单位圆上，两个动点都以为起点，以和的不同角速度绕单位圆逆时针方向运动，到达同一位置时，时的运动时间始终是时运动时间的．对应地，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点．
问题6：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数的图象得到函数的图象？
生：思考，交流．
师：引导学生理解图象变换的本质是图象上点的变换．
总结：函数的图象是把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的．并且的周期为，是的周期的．
问题7：如果取，，时，对应的函数的图象与的图象之间存在怎样的变换关系？
生：仿照上面的研究过程分析、交流．
师：以为例，动点的转速是时的，以为起点，到达点的时间是时的倍，所以把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象．的周期是，是的周期的倍．
我们借助信息技术一起直观感受一下．
问题8：结合上面的研究过程，你能给出的变化对函数图象影响的一般化结论吗？
总结：一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象．
设计意图：通过本环节，让学生理解具体的匀速圆周运动规律与三角函数解析式及其图象之间的本质联系，突出参数的实际意义．在研究过程中，引导学生体会从特殊到一般，具体到抽象的过程，同时借助信息技术，动态演示，帮助学生更加直观地观察参数对函数图象的影响，并用数学的语言准确地描述数学对象，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．
2．探索参数对图象的影响．
师：类比参数，对函数图象影响的研究过程，我们可以用相同的方法来研究参数对函数的图象的影响．请同学们思考：
问题9：
（1）结合筒车模型，取不同值表示什么含义？
（2）若给赋特殊值，你认为给，取哪个特殊值比较合适？
生：结合筒车模型，分析的实际意义．
师：引导学生理解的实际意义，明确接下来的研究对象：函数与的图象之间的变换关系．
师生分析：结合筒车模型，代表质点做匀速圆周运动的运动半径，取不同值表示质点以不同的运动半径做匀速圆周运动．同样地，为了研究方便，不妨设，，固定，的值，改变参数，研究函数与的图象之间的变换关系．
设计意图：引导学生类比参数，对函数图象影响的研究过程，明确参数对函数图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解的实际意义，为后面的探索做好准备．
问题10：若取，设射线与以为圆心、为半径的圆交于点，如果单位圆上以为起点的动点，以的转速经过后到达圆周上的点，那么点的纵坐标是，相应地，动点在以为圆心、为半径的圆上，以为起点，的转速经过后到达圆周上的点，那么点的纵坐标是什么？

师：借助信息技术演示．
生：点的纵坐标就等于．
追问：此时，以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是什么？
生：点的轨迹对应的函数解析式是．
问题11：函数与的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
生：借助前面的研究过程，分析、交流．
师：在学生困难的地方进行点拨，借助信息技术动态演示，引导学生得出一般性的结论．
师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在以为圆心，半径分别为1和2的圆上，两个动点分别以和为起点，的转速经过后分别到达圆周上的点和点，易得点的纵坐标是点的纵坐标的2倍．对应地，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点．
问题12：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数的图象得到函数的图象？
生：思考，交流．
总结：函数的图象是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）得到的．
问题13：如果取，，时，对应的函数的图象与的图象之间存在怎样的变换关系？你能给出的变化对函数图象影响的一般化结论吗？
生：仿照上面的研究过程分析、交流．
师：借助信息技术动态演示，引导学生总结一般性的论．
师生总结：以为例，把函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），就得到的图象．
一般地，函数的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）为原来的倍（横坐标不变）而得到．从而，函数的值域是，最大值是，最小值是．
设计意图：通过探究参数的变化对函数的图象的影响，学生进一步体会由特殊到一般的思想方法，借助信息技术直观地观察图象的变换关系，最后得出一般性的结论，在研究过程中，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．
3．总结从正弦曲线出发，通过图象变换得到的图象．
问题14：我们分别研究了三个参数对函数图象的影响．并按照路线，你能总结一下这个变换过程吗？
生：总结变换过程：
步骤1：把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象；
步骤2：把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象；
步骤3：把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图象．
追问：更一般地，你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法吗？
生：填写教科书第236页中的图表．
师生总结：
步骤1：把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，得到的图象．
步骤2：把函数图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．
步骤3：把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）为原来的倍（横坐标不变），得到的图象．
师：以上变换过程，是按照前面的研究顺序：，总结了由从正弦曲线出发，通过图象变换得到图象的变化过程．事实上，一开始研究时，同学们也会提到不同的研究顺序，例如：先从入手进行研究，当然也可以有其他顺序，留给同学们课后研究、讨论．
设计意图：引导学生从局部的讨论过渡到整体的思考，从特殊的例子中归纳概括一般性的结论，得到从正弦函数的图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法.
2分钟
（三）
学以致用
引导语：下面我们应用本节课学习的知识完成一道练习．
练习：已知函数的图象为．
（1）为了得到函数的图象，只要把上所有的点
横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 （答案：B）
（2）为了得到函数的图象，只要把上所有的点
横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 （答案：C）
生：独立完成，巩固新知．
设计意图：考查学生对参数，对函数图象影响的掌握．
2分钟
（四）
归纳总结布置作业
回顾两节课的学习过程，我们以现实世界中的匀速圆周运动为背景，建立了函数，为了研究这个函数的性质，关键是研究参数，， 的变化对函数图象的影响（出示知识结构）．
函数
参数，，对函数图象的影响
现实世界中的匀速圆周运动
函数的性质
函数的简单应用
本节课重点研究了，对函数图象的影响，在研究过程中，进一步体会了从特殊到一般、数形结合的思想方法，发展了数学抽象、逻辑推理以及直观想象的学科素养．下节课我们将运用函数的图象与性质来解决一些问题．
布置作业：
1．教材240页习题5.6的第1题．
2．选择不同的变换过程，写出如何由正弦曲线通过图象变换得到函数的图象．