天津市第五十五中学2024-2025学年七年级上学期1月期末 数学试题（含解析）

这是一份天津市第五十五中学2024-2025学年七年级上学期1月期末 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的值是（ ）
A．5B．C．D．1
2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是2.1亿人一年的口粮，将2.1亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示的四棱台，它的俯视图是下面所示的图形的( )
A．B．C．D．
4．下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．是单项式B．的系数是
C．是二次二项式D．与是同类项
6．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，结论正确的是（ ）
①射线的方向是北偏西； ②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东；④和互为补角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（ ）
①作射线；
②在射线上截取；
③在线段上截取．
A．B．C．D．
10．已知： ，则代数式 的值为（ ）
A．6B．C．18D．
11．如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．现定义对于一个数a， 我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如，．下列说法， 其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当时，，则值为4
③方程的解为或
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共6小题）
13．如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是，②号路线是.小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是 ．
14．比较大小： ；若，， 则 ；若 ，，则 （填“”、“”或“”号）．
15．若关于x的多项式的次数与单项式 的次数相同， 则 ； ．
16．已知线段，点C是线段的中点， 点D 是线段的中点， 点E在线段上， 且 ，则的长是 ．
17．综合与实践
【主题】展开与折叠
【素材】无盖的长方体盒子、剪刀
【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面；
（1）写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示）
（2）请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）．
18．规定：lgab（a>0，a≠1，b>0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：=a，lgNM=（n>0，n≠1，N>0，N≠1，M>0）．
例如：lg223=3，lg25=，则= ．
三、解答题（本大题共7小题）
19．计算
(1)
(2)
20．解方程
(1)
(2)
21．已知：
(1)计算： ；
(2)若的值与y的取值无关，求x的值．
22．李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
(1)用含x的式子表示客厅的面积；
(2)用含x的式子表示地面总面积：
(3)若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？
23．如图，直线相交于点O，平分，．
(1)图中的余角是 （把符合条件的角都填上）；
(2)如果， 求和的度数．
解： ∵平分，
（ ），

=（ ）．
又∵，
∴，
∴ = °．
24．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元.
（1）甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为_____；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
25．（1）如图1， 点B， D在线段上．
①填空：．
②若D是线段中点， 则 ．
（2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周．
①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示）
②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值．
参考答案
1．【答案】B
【分析】先算绝对值，再根据加法法则计算即可．
【详解】解：．
故此题答案为B．
2．【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于2.1亿=210000000有9位，所以可以确定n=9-1=8．
【详解】解：2.1亿=210000000=2.1×108．
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可．
【详解】四棱台的俯视图是两个大小相套的正方形，全部为实线．
故此题答案为B．
4．【答案】B
【分析】利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果．
【详解】解：A、图中角只能表示为：∠1，∠AOB，故错误；
B、图中角可表示为：∠1，∠AOB，∠O，故正确；
C、图中角可表示为：∠1，∠AOB，故错误；
D、图中角可表示为：∠1，∠AOB，故错误．
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】根据单项式和多项式、同类项的定义进行判断．
【详解】解：A．是多项式，原说法错误，不符合题意；
B．的系数是，原说法错误，不符合题意；
C．是二次三项式，原说法错误，不符合题意；
D．与是同类项，原说法正确，符合题意．
故此题答案为D．
6．【答案】D
【分析】根据等式的性质即可求出答案，等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．
【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确；
B、若，则，故本选项变形正确；
C、若，则，故本选项变形正确；
D、若，则当时，故本选项变形错误；
故此题答案为D．
7．【答案】A
【分析】设绳索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
【详解】设绳索为尺，杆子为()尺，
根据题意得：()．
故此题答案为A．
8．【答案】B
【分析】根据方位角的确定方法依次判断．
【详解】解：①射线的方向是北偏西40°，故错误；
②射线的方向是东南方向，故正确；
③射线的方向是北偏东，故正确；
④，故错误；
正确的有2个，
故此题答案为B．
9．【答案】D
【分析】根据题意作出图形，根据线段的和差进行求解即可
【详解】解：如图，
根据作图可知，
故此题答案为D
10．【答案】B
【分析】用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故此题答案为B．
11．【答案】C
【分析】注意：与互补，得出，；的余角是．根据余角和补角的定义即可得到结论．
【详解】解：，
表示的余角，故①正确；
与互补，
，
，，
，
，
表示的余角，故②正确；
，
，故③错误；
，故④正确；
故此题答案为C．
12．【答案】C
【分析】直接根据新定义可判断①；由新定义得出，然后代入所给代数式计算可判断②；分类讨论可判断③．
【详解】解：①当时，，故不正确；
②当时，，
∴，
∴，
∴，故正确；
③当，即时，，
解得；
当，即时，，
∴方程的解为或，故正确；
故此题答案为C．
13．【答案】两点之间，线段最短
【分析】本注意两点之间，线段最短这一知识点的灵活运用．
【详解】解：小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是：两点之间，线段最短．
14．【答案】
【分析】根据“两个负数，绝对值大的反而小”可比较与的大小；统一单位后可比较与的大小；利用作差法可比较与的大小．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴
，
∴
15．【答案】 3
【分析】根据多项式的次数，单项式的次数求解即可．
【详解】解：∵多项式的次数与单项式 的次数相同，
∴，，
∴．
16．【答案】或
【分析】根据题意求出的长，再分情况讨论点E的位置列式求解即可得到本题答案．
【详解】解：如图所示：
∵线段，点C为中点，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴当点E在点C左边时，；
当点E在点C右边时，．
故的长是或．
17．【答案】 见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可；
（2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可．
【详解】解：（1）这个盒子底面相邻两边的长分别为
（2）在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示．
18．【答案】
【详解】===
19．【答案】(1)
(2)26
【分析】（1）先算括号，再算乘法，或算加法即可；
（2）先算乘方、绝对值，再算乘法，后算加减．
【详解】（1）解：
（2）解：
20．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号、再移项、合并同类项、化系数为即可；
（2）先去分母、再去括号、移项、合并同类项、化系数为即可．
【详解】（1）解：
（2）
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把化简，再把代入后去括号合并同类项；
（2）由的值与y的取值无关，则把x当作已知数，合并关于y的同类项令其系数等于0即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：
=，
∵的值与y的取值无关，
∴，
∴．
22．【答案】(1)平方米
(2)平方米
(3)3900元
【分析】（1）客厅地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可；
（2）地面的总面积=客厅的总面积+卧室的面积+厨房的面积+卫生间的面积，每个房间的地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可；
（3）将代入到，求出面积，再乘以单价即可．
【详解】（1）客厅的面积平方米；
（2）地面总面积
（平方米）；
（3）当时，
；
（元）；
答：铺地板砖的总费用是3900元．
23．【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）由垂线的定义得，从而，结合对顶角的性质得，可得结论；
（2）由角平分线的定义得，由补角的性质得，然后结合可求出．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的余角是，．
（2）解： ∵平分，
（角平分线的定义），

（同角的补角相等）．
又∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）40，60%；（2）40件；（3）13或14件
【分析】（1）根据等量关系：利润率=利润÷成本，即可求得结果；
（2）设能购进甲种商品x件，根据甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元即可列方程求解；
（3）先求得第一天只购乙种商品的数量，再设第二天只购甲种商品x件，根据第二天只购买甲种商品实际付款432元即可列方程求解.
【详解】（1）甲种商品每件进价为60÷1.5=40元，每件乙种商品利润率为（80-50）÷50=60%；
（2）设能购进甲种商品x件
依题意得40x+50(50-x)=2100，解得x=40
答：能购进甲种商品40件；
（3）第一天只购乙种商品，则：360÷80=4.5 件（不合题意，舍去）或360÷（80×0.9）=5件
设第二天只购甲种商品x件
依题意有：0.9×60x=432或0.8×60x=432
解得x=8或x=9
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件.
25．【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4
【分析】（1）①根据线段的和差解答即可；
② 设为，表示出长，再列出方程，计算即可；
（2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则；
②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可．
【详解】解：（1）①
②设，
，
，
是线段中点，
，
，
，
．
（2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，
∴时间为（秒），
∴，
故答案为：；
②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒），
当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，
当为中点，，即，
解得；
当为中点，，即，
解得，；
当绕点顺时针旋转时，时间为（秒），
为中点，，即，
解得．
综上，的值为1或4．
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