2023-2024学年天津市第十一中学九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市第十一中学九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共26页。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共12小题，共36分．）
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（ ）
A．1B．C．D．
4．如图，D，E分别是的边，上的点，且，交于点F．，则的值为（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
5．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
7．如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（ ）
A．2B．C．D．4
8．在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复以上步骤，下表为实验的一组统计数据：
请估算口袋中白球的个数约为（ ）
A．20B．25C．30D．35
9．已知，直角坐标系中，点，点，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A．或B．或
C．D．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56°B．62°C．68°D．78°
11．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
12．抛物线（）与轴交于、两点，它们的横坐标分别为、（其中），若，都有，下列说法一定正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为 ．
14．若点，在反比例函数的图象上，则m n(填“＞”、“＜”或“=”号）．
15．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，，PA，PC是⊙O的切线．∠P＝ °．
17．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，该圆锥的母线长，则扇形的圆心角度数为 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均在格点上，顶点在网格线上，．
(1)线段的长等于 ；
(2)是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．

三、计算题（本大题共7小题，共66分）
19．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且，．
（1）求证：．
（2）若，，的面积为20，求的面积．
20．在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.
(1)从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ；
(2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率(请用画树状图或列表等方法求解).
21．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m；
(3)当的长是多少m时，S取得最大值，最大值是多少？
22．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．
（1）求证：DF是的切线；
（2）求线段OF的长度．
23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
(1)求证：∠DAC＝∠DBA；
(2)求证：P是线段AF的中点；
(3)连接CD，若CD＝6，BD＝8，求⊙O的半径和DE的长．
24．将等边三角形如图放置在平面直角坐标系中，，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．

(1)如图1，求点E的坐标；
(2)在图1中，与交于点，连接，为的中点，连接，求线段的长．请你补全图形，并完成计算；
(3)如图2，将绕点逆时针旋转，为线段的中点，为线段的中点，连接，请直接写出在旋转过程中的取值范围．
25．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与轴的一个交点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是抛物线与轴的另一个交点，点的坐标为，其中，△的面积为．
①求的值；
②将抛物线向上平移个单位，得到抛物线．若当时，抛物线与轴只有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意
故选：D．
2．C
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．B
【分析】本题考查了概率公式求概率，根据概率公式即可求解．
【详解】解：硬币有两面，每次抛掷一次出现正面朝上的概率为，与次数无关，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，由，得，，进而得，可知与的相似比是，即可求解，掌握相似三角形的判定及性质定理是解决问题的关键．
【详解】解：∵，则，，
∴，，
∵，，
∴，
∴与的相似比是，
∴，
故选：A．
5．C
【详解】解：∵xy=2，
∴xy=4，
∴y=（x＞0，y＞0），
当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，
故选：C．
【点睛】考点：函数的图象.
6．A
【分析】根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．
【详解】证明：∵绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴∠ADC=∠DAC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∴∠DAC=50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故选A．
【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
7．B
【分析】根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=．
【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
8．C
【分析】根据频率估算出概率，进而即可求解．
【详解】由题意得：摸到白球的概率约为：，
口袋中白球的个数约为：，
故选C.
【点睛】本题主要考查由频率估算概率，掌握实验次数越多，频率越接近概率是解题的关键．
9．A
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】点，以为位似中心，按比例尺把缩小
点的对应点的坐标为或
即或
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
10．C
【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
11．C
【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
12．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对于任意的，都有，可知：，且，，进而可知：时，，或时，，或时，，逐一进行判断即可．根据对于任意的，都有，得到抛物线开口向下，且与轴的两个交点都在负半轴上，是解决本题的关键．
【详解】解：由对于任意的，都有，可知：，且，，
∴时，；或时，；或时，，
∵二次函数与x轴交于、两点，
∴二次函数的对称轴为：；
A、当时，当时，，当时，，选项不一定正确，不符合题意；
B、当时，
∵，
∴，选项错误，不符合题意；
C、当时，
∵，
∴，选项正确，不符合题意；
D、当时，
∵，
∴，选项错误，不符合题意．
故选：C．
13．
【分析】使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【详解】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：.
【点睛】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．
14．
【分析】比例系数小于0，两点在同一象限，根据反比例函数图象的性质作答即可．
【详解】解：∵，
∴函数的图象在二、四象限内，且在每一象限内，y随着x的增大而增大；
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
15．6.4
【分析】利用△EAB∽△DCB，可得，可求DC＝6.4即可
【详解】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴，
解得：DC＝6.4m，
故答案为：6.4．
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握性质三角形的判定与性质是解题关键．
16．40
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP=∠OCP=90°，从而得到∠P+∠AOC=180°，再由圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=140°，即可求解．
【详解】解：如图，连接OC，
∵PA，PC是⊙O的切线．
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴∠P+∠AOC=180°，
∵，
∴∠AOC=2∠ABC=140°，
∴∠P=40°．
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
17．150°
【分析】根据扇形的弧长公式解题．
【详解】圆锥的底面周长即是侧面展开图扇形的弧长，
，解得
故答案为：150°．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，涉及扇形的弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．(1)；
(2)见解析．
【分析】（）利用勾股定理可得答案；
()如图，取格点，连接并延长，与的外接圆相交于点，连接；取的外接圆与网格线的交点，，连接与相交于点；连接并延长，与的外接圆交于点，则点即为所求．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）取格点D，
由勾股定理得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，是的直径，
由方格知,则FG与BE相交于点，
∴是的直径，
∴为圆心，
∵,
∴，
∵，
∴．
如图，取格点D，连接AD并延长，与的外接圆相交于点E，连接BE；取的外接圆与网格线的交点F，G，连接FG与BE相交于点O；连接CO并延长，与的外接圆交于点P，则点P即为所求．

【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）125
【分析】（1）由，，即可得出；
（2）证明，得，从而可得结论．
【详解】解：（1），
，
即，
又，
（2）由（1）得：，
，
又，
，
又，，
，
，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质．
20．(1) ；(2).
【分析】（1）共4张卡片，奇数卡片有2张，利用概率公式直接进行计算即可；（2）画出表格，数出总情况数，数出抽取的2张卡片标有数字之和大于4的情况数，再利用概率公式进行计算即可
【详解】(1)共4张卡片，奇数卡片有2张，所以恰好抽到标有奇数卡片的概率是
(2)表格如下
一共有12种情况，其中2张卡片标有数字之和大于4的有8种情况，所以
答：从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是，抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为.
【点睛】本题主要考查利用画树状图或列表求概率问题，本题关键在于能够列出表格
21．(1)
(2)当为时，面积为
(3)当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米
【分析】本题考查了二次函数与几何综合：
（1）根据面积等于长乘宽，建立等式，注意结合墙的最大可利用长度为，得到，即可作答．
（2）令，得，解得或，结合，即可作答．
（3），结合开口方向，则当时，S最大，最大值．即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解： 宽，则长，
，
又，且，
，
关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，即，
整理得：，解得：或，
，
，
当为时，面积为；
（3）解：由（1）知：，
，对称轴，开口向下，
当时，S最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
22．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接OD
∵是等边三角形
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为的中位线
∴
∵，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)半径是2.5；DE=2.4
【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠CBD=∠DBA，根据∠DAC=∠CBD，得出∠DAC=∠DBA；
（2）利用圆周角定理推论得出∠ADB=90°，根据∠3的余角是∠1和∠5，得到∠1=∠5，根据∠2=∠5，得到∠1=∠2，推出PD=PA，根据∠2和∠4互余，∠3和∠5互余，∠2=∠5，推出∠3=∠4，推出PD=PF，即可得出答案；
（3）连接CD，根据∠DAC=∠DBA =∠DCA，推出CD=AD=3，根据∠ADB=90°，BD=4，利用勾股定理求得AB的长，再求出圆半径的长，最后利用△ABD面积求出DE的长即可．
【详解】（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°，
∴∠1=∠5=∠2，
∴PD=PA，
∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是线段AF的中点；
（3）连接CD，
∵∠DAC=∠DBA =∠DCA，
∴CD=AD=3，
∵∠ADB=90°，BD=4
∴AB==5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4．
即DE的长为2.4．
【点睛】本题主要考查了角平分线，圆周角定理，直角三角形，余角，等腰三角形，勾股定理，三角形面积公式，解决问题的关键是熟练掌握角平分线定义，圆周角定理及推论，直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等，等角对等边，用勾股定理解直角三角形，用三角形面积公式求线段长．
24．(1)
(2)补全图形见解析，
(3)
【分析】（1）由为等边三形，先求出，再利用勾股定理求出，最后利用中点的含义可得答案；
（2）如图1，连接，．先证明是等边三角形，再由为等边三角形，，，证明，并求出．再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案；
（3）连接，延长交于．记与交于，证明．从而最长，则最长，最短，则最短，再利用圆外一点到圆的最短距离与最长距离的含义可得答案．
【详解】（1）解：由为等边三形，，，
，，
．
为线段的中点，
，
；
（2）解：如图1，连接，．

，．
是等边三角形，
，，
为等边三角形，，．
，
，
，
．
又为的中点，，
；
（3）解：由（2）得：是等边三角形，且边长为．
，在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，延长交于．记与交于．

，分别为．的中点，
．
最长，则最长，最短，则最短，
由圆的性质可得：当旋转到与重合，最长，
此时，
当旋转到与重合，最短，
此时，
的取值范围是：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查的是坐标与图形，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，圆外一点与圆的最长距离与最短距离，灵活运用以上知识解题是解题的关键．
25．（1）；（2）①；②答案见解析.
【详解】试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c即可；（2）①过A作AF⊥x轴与点F，如图1，首先求出D的坐标，再根据△ADE的面积可求出DE的长度，接着可求出OE的长度即m的值；②利用抛物线的平移变换，可设抛物线C2的表达式为y=（x－1）2－4+n，接下去分类讨论：求出抛物线过点E和过原点时对应的n的值，并画出图像，利用图像可确定n的范围；当抛物线顶点再x轴上时，求出n的值.综上得到n的取值范围.
试题解析：
（1）∵抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A（2，－3），且与x轴的一个交点为B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线C1解析式为y=x2－2x－3；
（2）
①过A作AF⊥x轴与点F，如图1，
∵y=x2－2x－3=（x－1）2－4，
∴抛物线对称轴为：x=1，
∴D（－1，0），
∵E（m，0），m＞0，
∴S△ADE=DE·AF=DE×3=，
∴DE=，
∴m=OE=DE－OD=.
②
设抛物线C2的表达式为y=（x－1）2－4+n，
如图2，当抛物线C2经过E（，0）时，
（－1）2－4+n=0，解得n=；
当抛物线C2经过原点时，
（0－1）2－4+n=0，解得n=3；
∵0≤x≤时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，
∴结合图像可知，当≤n＜3时，符合题意.
令y=0，（x－1）2－4+n=0，
由题意得，b2－4ac=16－4n=0，解得n=4.
综上，≤n＜3或n=4.
点睛：抛物线与坐标轴有2个交点有两种情况，①抛物线顶点在x轴上；②抛物线经过原点.
摸球的次数n
1000
1500
2000
5000
8000
10000
摸到白球的次数m
582
960
1161
2954
4842
6010
摸到白球的频率
0.582
0.64
0.5805
0.5908
0.6053
0.601