2025北京东城区高二上学期期末考试数学含解析

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本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若直线l过，两点，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则实数k的值为（ ）
A. 6B. 2C. D.
3. 已知直线，，若，则实数a的值为（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知抛物线的准线方程为，则p的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
5. 在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况：
设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（ ）
A. B. 且
C. 且D. 且
6. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（ ）
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A. 5B. C. 1D.
7. 做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（ ）
A. B. C. D.
8. 设坐标原点为O，抛物线的焦点为F，M为线段的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若的周长为8，则p的值为（ ）
A 2B. 4C. 6D. 8
9. 已知点，，直线，记点A到直线l距离为，点B到直线l的距离为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则这样圆C的面积（ ）
A. 有最大值，有最小值B. 有最大值，无最小值
C. 无最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.
11. 等比数列满足：，，则数列前5项和是____________．
12. 双曲线的离心率为____________，渐近线方程为____________．
13. 已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量
中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为____________．
14. 某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为____________米；正四棱锥的侧面积为____________平方米．
15. 关于曲线，，给出下列四个结论：
①对任意，曲线与直线没有公共点；
②对任意，曲线上的点的横坐标的取值范围为R；
③对任意，曲线为轴对称图形；
④当为奇数时，曲线与轴、轴所围成区域的面积为，则．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据该频率分布直方图，求x的值；
（2）已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间内的户数；
（3）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费．
17. 已知圆与x轴相切．
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长．
18. 如图，长方体中，，．
（1）求证：平面；
（2）若点P是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 已知数列满足：，．
（1）若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和；
（2）若数列是等比数列，求的通项公式．
20. 已知椭圆的离心率为，并且经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点M是线段的中点，直线过点M，且与直线l垂直．记直线与y轴的交点为N．请问：是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21. 设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满
足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质．
（1）当时，若，，求，的值；
（2）已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”；
（3）给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值．