2022-2023学年北京市东城区高一（下）期末考试数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市东城区高一（下）期末考试数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=m,1,b=−1,2.若a//b，则m=( )
A. 2B. 1C. −1D. −12
2.若复数z满足i⋅z=1−2i，则z=( )
A. −2+iB. −2−iC. 1+2iD. −1+2i
3.某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
则该校高中学生的平均身高可估计为( )
A. 3.6x+3.4y+3.0zB. x+y+z2
C. 0.36x+0.34y+0.30zD. x+y+z3
4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为( )
A. 33πB. πC. 2πD. 2π
5.设a,b为实数，若a+ib−2i=1+i，则( )
A. a=1,b=−1B. a=5,b=3C. a=1,b=2D. a=1,b=3
6.将函数y=csx−sinx的图象向左平移π2个单位，所得图象的函数解析式为( )
A. y=− 2sinxB. y= 2csx
C. y=−sinx−csxD. y=csx+sinx
7.已知长方形墙ACFE把地面上B,D两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得AB=6米，BC=8米．现欲通过计算，能唯一求得B,D两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为( )
A. 点D到AC的距离B. CD长度和DF长度
C. ∠ACB和∠ADCD. CD长度和∠ACD
8.设a,b为非零向量，a=b，则“a,b夹角为钝角”是“|a+b|< 2|a|”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,AA1=AB,P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点．以下结论中正确的是( )
A. 存在点Q，使BQ//ACB. 不存在点Q，使BQ⊥B1C1
C. 对任意点Q，都有BQ⊥AB1D. 存在点Q，使BQ//平面PCC1
10.如图，质点P在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P的角速度大小为2rad/s，起点P0为射线y=−xx≥0与⊙O的交点．则当0≤t≤12时，动点P的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是( )
A. 0,π2B. 7π8,11π8C. 11π8,15π8D. 3π4,11π4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知tanα=12，tanβ=13，则tan(α+β)=__________.
12.在边长为1的正方形ABCD中，E为AB中点，则AD⋅CE=__________.
13.下表是某市6月1日至14日的空气质量指数统计表．由表判断，从6月__________日开始，连续三天的空气质量指数方差最大．
14.已知z为复数，且z−2i=1，写出满足上述条件的一个复数z=___________________；z的最大值为___________________.
15.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：

①AE//平面CDF；
②平面ABE⊥平面BCE；
③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等；
④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的 23.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c.C=23π，a=57c.
(1)求sinA；
(2)若c=7，求△ABC的面积．
17.(本小题14分)
某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：①60≤x<70，②70≤x<80，③80≤x<90，④90≤x≤100，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(2)某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前20%，估计该同学的成绩不低于多少分？
18.(本小题15分)
已知函数fx=asin2ωx+2cs2ωxa∈R,ω>0.
(1)若fx为偶函数，求a的值；
(2)从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数fx存在且唯一确定，并求fx在区间0,π2上的最大值与最小值．
条件①：fπ4= 3+1；
条件②：−π6为fx的一个零点；
条件③：fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题16分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是菱形，侧面PAB是正三角形，M是PD上一动点，N是CD中点．

(1)当M是PD中点时，求证：PC//平面BMN；
(2)若∠ABC=60∘，求证：PC⊥AB；
(3)在(2)的条件下，是否存在点M，使得PC⊥BM？若存在，求PMMD的值；若不存在，请说明理由．
20.(本小题16分)
对于三维向量ak=(xk,yk,zk)(xk,yk,zk∈N,k=0,1,2,⋯)，定义“F变换”：ak+1=Fak，其中，xk+1=xk−yk,yk+1=yk−zk,zk+1=zk−xk.记ak=xkykzk，ak=xk+yk+zk.
(1)若a0=3,1,2，求a2及a2；
(2)证明：对于任意a0，经过若干次F变换后，必存在K∈N*，使aK=0；
(3)已知a1=p,2,qq≥p,a1=2024，将a1再经过m次F变换后，am最小，求m的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.
由两向量共线直接列方程求解即可.
【解答】
解：因为a=(m,1),b=(−1,2) ，且a //b ，
所以m−1=12 ，解得m=−12 ，
故选：D
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算，属于基础题.
由复数的除法即可得出结果.
【解答】
解：由i⋅z=1−2i 可得，z=1i−2=−2−i .
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数据的平均数，属于基础题.
根据加权平均数的计算公式求解.
【解答】
解：由题意可知：抽取的总人数为100 ，各年级的频率依次为0.36,0.34,0.30 ，
所以该校高中学生的平均身高可估计为0.36x+0.34y+0.30z .
故选：C.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆锥的体积，属于中档题.
根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.
【解答】
解：由题知，如图，
△PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2 ，
则圆锥的高PO=2× 32= 3 ，
底面半径r=2×12=1 ，
故圆锥体积V=13πr2⋅PO=13π×12× 3= 33π .

故选：A
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数相等、复数的乘法运算，属于中档题.
先对已知等式化简，然后由复数相等的条件列方程组求解即可.
【解答】
解：由a+ib−2i=1+i ，得a+i=(b−2i)(1+i) ，
a+i=(b+2)+(b−2)i ，
因为a,b 为实数，所以a=b+2b−2=1 ，解得a=5,b=3 ，
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查余弦型函数的图象变换，两角和的正弦、余弦公式的应用，属于中档题.
利用图像平移运算，辅助角公式结合诱导公式，即可逐个选项判断.
【解答】
解：y=csx−sinx= 2 22csx− 22sinx
= 2csx+π4 ，
图象向左平移π2 个单位后，
得y= 2csx+3π4=− 2sinx+π4 ，排除AB；
由y=−sinx−csx=− 2 22sinx+ 22csx
=− 2sinx+π4 ，C正确；
由y=csx+sinx= 2sinx+π4 ，D错.
故选：C
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解决实际问题，属于综合题.
已知可知△ABC 中三边是已知的，所以三个角可求解出来，连接BD ，在△BCD 或△ABD 中求解BD ，然后逐个分析判断.
【解答】
解：连接BD ，在△ABC 中，AB=6 ，BC=8 ，AC=10 ，所以AB2+BC2=AC2 ，
所以AB⊥BC ，sin∠BAC=BCAC=45,sin∠BCA=ABAC=35 ，
对于A，若测量点D 到AC 的距离，则在△BCD 或△ABD 中只有一条边长度是已知，无法求解BD 的长，所以A错误，
对于B，若测量CD 长度和DF 长度，则在△BCD 中有两边长度是已知，或△ABD 中只有一条边长度是已知，无法求解BD 的长，所以B错误，
对于C，若测量∠ACB 和∠ADC ，则在△BCD 或△ABD 中只有一条边是已知，无法求解BD 的长，所以C错误，
对于D，若测量CD 长度和∠ACD ，则在△BCD 中，可求出cs∠BCD=cs∠BCA+∠ACD=cs∠BCA⋅cs∠ACD−sin∠BCA⋅sin∠ACD ，而BC=8 ，
所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs∠BCD ，从而可求出BD ，所以D正确，
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积解决向量的模、夹角，条件关系的判断，属于中档题.
将模的关系平方得到a⋅b<0 ，进而判断即可.
【解答】
解：由|a+b|< 2|a| ，
平方得，a2+2a⋅b+b2<2a2 ，
即2a⋅b+b2又因为a=b ，即a2=b2 ，
所以a⋅b<0 ，所以a,b 夹角为钝角或平角，
所以“a,b 夹角为钝角”是“|a+b|< 2|a| ”的充分不必要条件.
故选：A
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线、平面的位置关系，线面垂直的判定、性质，属于综合题.
A选项，根据异面直线的定义可以判断；
B选项，容易发现A1,Q 重合时符合题意；
C选项，利用线面垂直得到线面垂直；
D选项，先找出平面PCC1 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.
【解答】
解：A选项，由于BQ∩ 平面ABC=B ，B∉AC ，AC⊂ 平面ABC ，则BQ,AC 一定异面，A选项错误；
B选项，根据直三棱柱性质，BB1⊥ 平面ABC ，BC⊂ 平面ABC ，故BB1⊥BC ，
又AB⊥BC ，AB∩BB1=B ，AB,BB1⊂ 平面ABB1A1 ，故BC⊥ 平面ABB1A1 ，
又BA1⊂ 平面ABB1A1 ，故BC⊥BA1 ，显然BC//B1C1 ，即B1C1⊥BA1 ，故A1,Q 重合时，BQ⊥B1C1 ，B选项错误；
C选项，直棱柱的侧面ABB1A1 必是矩形，而AA1=AB ，故矩形ABB1A1 成为正方形，
则AB1⊥BA1 ，B选项已经分析过，BC⊥ 平面ABB1A1 ，由AB1⊂ 平面ABB1A1 ，故AB1⊥BC ，
又BC∩BA1=B ，BC,BA1⊂ 平面BCA1 ，故AB1⊥ 平面BCA1 ，又BQ⊂ 平面BCA1 ，
则BQ⊥AB1 必然成立，C选项正确；
D选项，取AB 中点M ，连接CM,PM ，根据棱柱性质可知，CM 和C1P 平行且相等，
故平面PCC1 可扩展成平面CMPC1 ，过B 作BN⊥CM ，垂足为N ，
根据BB1⊥ 平面ABC ，BN⊂ 平面ABC ，故BB1⊥BN ，显然BB1//CC1 ，故BN⊥CC1 ，
由BN⊥CM ，CC1∩CM=C ，CC1,CM⊂ 平面CMPC1 ，故BN⊥ 平面CMPC1 ，
若BQ// 平面PCC1 ，则BQ⊥BN ，过Q 作QO //BB1 ，交A1C1 于O ，连接B1O ，于是BQOB1 共面，
又BQ∩BB1=B ，BQ,BB1⊂ 平面BQOB1 ，故BN⊥ 平面BQOB1 ，由于B1O⊂ 平面BQOB1 ，
故BN⊥B1O ，延长OQ 交AC 于J ，易得B1O //BJ ，则BJ⊥BN ，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D选项错误.
故选：C
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查匀速圆周运动的数学模型，正弦型函数的单调区间，属于综合题.
根据题意求出y 关于t (单位：s )的函数y=sin2t−π4 ，然后结合正弦函数的单调性求解函数在[0,12] 上的增区间.
【解答】
解：因为P 在单位圆上的角速度大小为2rad/s ，起点P0 为射线y=−xx≥0 与⊙O 的交点，所以A=1 ，ω=2,φ=−π4 ，
所以动点P 的纵坐标y 关于t (单位：s )的函数y=sin2t−π4 ，
由−π2+2kπ≤2t−π4≤π2+2kπ,k∈Z ，得−π8+kπ≤t≤3π8+kπ,k∈Z ，
因为0≤t≤12 ，
所以0≤t≤3π8 ，7π8≤t≤11π8 ，15π8≤t≤19π8 ，23π8≤t≤27π8 .
所以动点P 的纵坐标y 关于t (单位：s )的函数的单调递增区间是0,3π8 ，7π8,11π8 ，15π8,19π8 ，23π8,27π8 .
故选：B
11.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查正切的和角公式，属于基础题.
利用正切的和角公式，即可容易求得结果.
【解答】
解：因为tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+131−12×13=1 .
故答案为：1 .
12.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，向量加法运算，属于基础题.
利用平面向量的线性运算以及向量的数量积求解即可.
【解答】
解：由题知，
AD⋅CE=AD⋅(CB+BE)=AD⋅CB+AD⋅BE
=1×1×cs180∘+1×12×cs90∘=−1 .

故答案为：−1
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查数据的方差，属于基础题.
找数据波动最大即为方差最大.
【解答】
解：由表可知，第3天开始，连续三天的数据波动最大，此时的方差最大，
故答案为：3.
14.【答案】i ； (答案不唯一) ； 3
【解析】【分析】
本题考查复数的模及其几何意义，向量的三角不等式，属于中档题.
由于±i=1 ，利用此可以得到答案；利用三角不等式解决.
【解答】
解：当z=i 时，z−2i=−i=1 符合题意；
复数在复平面上对应一条向量，满足向量的三角不等式，于是z−2=z−2i≤z−2i=1 ，
解得z≤3 .
故答案为：i (答案不唯一)；3
15.【答案】①④
【解析】【分析】
本题考查线面平行、面面垂直的判定，二面角，简单组合体的结构特征，属于综合题.
根据线面平行的判定定理判断①；
根据二面角相关知识判断②；
根据线面角相关知识并结合图形特点进而判断③；
根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断④.
【解答】
解：对于①，根据正八面体性质可知，AE//CF ，
又因为AE⊄ 平面CDF ，CF⊂ 平面CDF ，
所以AE// 平面CDF ，故①正确.
对于②，如下图所示，取BE 中点G ，连接AG,GC,AC ，
根据等边三角形性质可知AG⊥EB,CG⊥EB ，
所以∠AGC 是二面角A−BE−C 的平面角，
设该正八面体棱长为a ，
则AC= 2a ，2 ，
则在△AGC 中，AG2+GC2=32a2≠AC2 ，
所以∠AGC≠90∘ ，所以平面ABE 与平面BCE 不垂直，故②错误.
对于③，直线AC,BD 与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点E ，
则过点E 至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误.
对于④，如下图所示，取AB,BC 中点M,N ，△ABE,△BEC 的中心P,Q ，
连接AC,MN,EM,EN ，则PQ 是正方体的一条棱，
设该正八面体棱长为a ，
则AC= 2a ，2 ，
根据EPEM=EQEN=23 ，∠PEQ=∠MEN ，
得△PEQ∽△MEN ，
所以3 ，
所以以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的 23 ，故④正确.
故答案为：①④
16.【答案】解：(1)因为C=23π ，a=57c ，
在△ABC 中，由正弦定理得asinA=csinC ，
所以sinA=57sinC=57× 32=5 314 .
(2)因为c=7 ，a=57c ，所以a=5 ，
在△ABC 中，C=23π,a=5,c=7 ，
根据余弦定理c2=a2+b2−2abcsC 得49=25+b2−2×5b×−12 ，
整理得b2+5b−24=0 ，解得b=3 或b=−8 (舍).
所以S△ABC=12absinC=12×5×3× 32=15 34 .

【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题.
(1)利用正弦定理计算可得；
(2)首先求出a ，再利用余弦定理求出b ，最后由面积公式计算可得.
17.【答案】解：(1)因为x=65×0.05+75×0.3+85×0.4+95×0.25=83.5 ，
所以这2000名学生竞赛成绩的平均数可以估计为83.5.
(2)因为90,100 这组数据占总数的25% ，该同学的成绩进人本次竞赛成绩前20% ，
所以100−10×20%25%=92 .
所以可以估计该同学的成绩不低于92分．

【解析】本题考查由频率分布直方图求平均数，百分位数，属于基础题.
(1)由频率分布直方图求平均数，用每一组中点的横坐标乘以频率，再全部相加；
(2)求成绩前20% ，根据求第百分位数的方法求解即可.
18.【答案】解：(1)因为fx=asin2ωx+2cs2ωx(a∈R,ω>0) ，
所以fx 的定义域为R .
因为fx 为偶函数，
所以∀x∈R,f−x=fx .
即∀x∈R,asin−2ωx+2cs2−ωx=asin2ωx+2cs2ωx .
即∀x∈R,asin2ωx=0 .所以a=0 .
(2)fx=asin2ωx+2cs2ωx=asin2ωx+cs2ωx+1
若a=0 ，fx=cs2ωx+1 ，
若a≠0 ，f(x)= a2+1 sin (2ωx+φ)+1 ，其中tanφ=1a ，
选择条件①②：
当a=0 时，fx=cs2ωx+1 ，
此时fπ4=csωπ2+1≠ 3+1 ，故a≠0
当a≠0 时，
fπ4=asinωπ2+csωπ2+1= 3+1 ，
f(−π6)= a2+1 sin (−ωπ3+φ)+1=0 ，
得： a2+1 sin (ωπ2+φ)= 3 ， a2+1 sin (−ωπ3+φ)=−1 ，
设ω0>0 满足上面两式，
即 a2+1sinω0π2+φ= 3 ， a2+1sin−ω0π3+φ=−1 ，
则ωπ2+φ=ω0π2+φ+2mπ ，m∈Z ，
−ωπ3+φ=−ω0π3+φ+2nπ ，n∈Z ，
故ω=ω0+4m ，m∈Z，ω=ω0−6n ，n∈Z
故若ω0 是 a2+1sinω0π2+φ= 3 ， a2+1sin−ω0π3+φ=−1 的解，
则ω=ω0+12k ，k∈Z ，满足ω>0 时也必定是方程的解，
故函数不唯一，不符合题意
选择条件①③：
因为函数fx 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2 ，
所以T2=π2 ，即T=π .所以2π2ω=π ，即ω=1 .
当a=0 时，fx=cs2x+1 ，
此时fπ4=csπ2+1≠ 3+1 ，故a≠0
当a≠0 时，f(π4)=asin (2×π4)+2cs2π4=a+1= 3+1 ，
所以a= 3 .
所以fx=2sin2x+π6+1 .
因为0≤x≤π2 ，
所以π6≤2x+π6≤7π6 .
当2x+π6=π2 ，即x=π6 时，fx 取得最大值3；
当2x+π6=7π6 ，即x=π2 时，fx 取得最小值0.
选择条件②③：
因为函数fx 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2 ，
所以T2=π2 ，即T=π .所以2π2ω=π ，即ω=1 .
因为−π6 为fx 的一个零点，
所以f−π6=0 ，
当a=0 时，fx=cs2x+1 ，
此时f(−π6)=cs (−π3)+1≠0 ，故a≠0
当a≠0 时，即f−π6=asin−2×π6+2cs2−π6=− 32a+32=0 ，所以a= 3 .
所以fx=2sin2x+π6+1 .
因为0≤x≤π2 ，
所以π6≤2x+π6≤7π6 .
当2x+π6=π2 ，即x=π6 时，fx 取得最大值3；
当2x+π6=7π6 ，即x=π2 时，fx 取得最小值0.

【解析】本题考查正弦型函数的最值、周期、零点等基本性质，属于综合题.
(1)根据偶函数的定义可得.
(2)若选条件①②，明显函数fx 存在但不唯一，选条件①③或②③，可先根据③得到函数的周期，进而求得ω ，再代入①或②可求得a ，得到函数解析式后根据函数的性质求最大值、最小值即可.
19.【答案】(1)证明：因为点M 是PD 中点，点N 是CD 中点，所以MN //PC .
因为PC⊄ 平面BMN,MN⊂ 平面BMN ，
所以PC //平面BMN .
(2)证明：如图，取AB 中点F ，连接AC,PF,CF .
因为侧面PAB 是正三角形，所以PF⊥AB .
因为底面ABCD 是菱形，且∠ABC=60∘ ，
所以△ABC 是等边三角形．所以CF⊥AB .
因为PF⊥AB,CF⊥AB,PF∩CF=F,PF,CF⊂ 平面PFC ，
所以AB⊥ 平面PFC ，因为PC⊂ 平面PFC ，所以PC⊥AB .
(3)如图，取PC 中点E ，连接BE,AE .
因为四棱锥P−ABCD 的底面是菱形，侧面PAB 是正三角形，
所以PB=AB=BC ，所以BE⊥PC .
又PC⊥AB,AB∩BE=B ，AB、BE在面ABE内，
所以PC⊥ 平面ABE .
过E 作EM //CD 交PD 于点M .
因为EM //CD //AB ，所以点M∈ 平面ABEM .
所以PC⊥ 平面ABEM ，
因为BM⊂ 平面ABEM ，所以PC⊥BM ，
因为E 为PC 的中点，EM //CD ，
所以PM=MD .
所以PMMD=1 .

【解析】本题考查线面平行的判定、线面垂直的判定与性质，属于综合题.
(1)由三角形的中位线定理可得MN //PC ，再由线面平行的判定定理可证得结论；
(2)取AB 中点F ，连接AC,PF,CF ，由△PAB 是正三角形，可得PF⊥AB ，再由菱形的性质可得CF⊥AB ，然后由线面垂直的判定可得AB⊥ 平面PFC ，再利用线面垂直的性质可证得结论；
(3)取PC 中点E ，连接BE,AE ，可得PC⊥ 平面ABE ，然后过E 作EM //CD 交PD 于点M ，证得PC⊥ 平面BEM ，再利用平行线的性质可求得PMMD 的值.
20.【答案】解：(1)因为a0=3,1,2 ，a1=2,1,1 ，a2=1,0,1 ，
所以a2=1×0×1=0,a2=1+0+1=2 .
(2)设Mk=maxxk,yk,zkk=0,1,2⋯ ，
假设对∀k∈N,ak+1≠0 ，则xk+1,yk+1,zk+1 均不为0.
所以Mk+1>Mk+2 ，即M1>M2>M3>⋯ .
因为Mk∈N*k=1,2,⋯ ，
所以M1≥M2+1≥M3+2≥⋯≥M2+M1+1+M1 .
所以M2+M1≤−1 与M2+M1>0 矛盾，故假设不正确．
综上，对于任意a0 ，经过若干次F 变换后，必存在K∈N* ，使aK=0 .
(3)设a0=x0,y0,z0 ，因为a1=p,2,qq≥p ，
所以有x0≤y0≤z0 或x0≥y0≥z0 .
当x0≥y0≥z0 时，可得p=x0−y0,2=y0−z0,−q=z0−x0. 三式相加得q−p=2 .
又a1=2024 ，可得p=1010,q=1012 .
当x0≤y0≤z0 时，也可得p=1010,q=1012 ，于是a1=1010,2,1012 .
设ak 的三个分量为2,t,t+2t∈N* 这三个数，
当t>2 时，ak+1 的三个分量为t−2,2,t 这三个数，
所以ak+1=ak−4 .
当t=2 时，ak 的三个分量为2,2,4 ，
则ak+1 的三个分量为0,2,2,ak+2 的三个分量为2,0,2 ，
所以ak+1=ak+2=⋯=4 .
所以，由a1=2024 ，可得a505=8,a506=4 .
因为a1=1010,2,1012 ，所以任意ak 的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2.
所以a505 的三个分量只能是2,2,4 三个数，
a506 的三个分量只能是0,2,2 三个数．
所以当m<505 时，am+1≥8 ；当m≥505 时，am+1=4 .
所以m 的最小值为505.

【解析】本题考查平面向量的新定义问题，属于综合题.
(1)根据定义找出a1=2,1,1 ，a2=1,0,1 ，从而得到a2 ，a2 ；
(2)利用反证法，假设对∀k∈N,ak+1≠0 ，然后导出矛盾，命题得证；
(3)先求出a1=1010,2,1012 ，再通过F 变换，找到am 最小的时的情况.
年级
高一
高二
高三
抽样人数
36
34
30
平均身高
x
y
z
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
空气质量指数
60
79
90
50
38
26
32
49
48
62
52
38
30
37