2023-2024学年山东省青岛市胶州市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年山东省青岛市胶州市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意得：该物体的主视图为
故选：B
2. 已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（4，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】过点B作BM⊥x轴于点M，如图所示．
∵A点的坐标为（10，0），
∴OA＝10．
∵四边形OABC为菱形，且OB•AC＝160，
∴S△OAB＝OA•BM＝OB•AC＝40，AB＝OA＝10，
∴BM＝8．
在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝8，
∴AM＝＝6，
∴OM＝OA+AM＝16，
∴B（16，8），D（8，4）．
∵点D（8，4）在双曲线y＝（x＞0）上，
∴4＝，k＝32，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0），
∴①不正确；
∵点E在双曲线y＝上，且E的纵坐标为8，
∴E（，8），即（4，8），∴②正确；
∵四边形OABC为菱形，∴AB∥OC，
∴∠COA＝∠BAM，sin∠COA＝sin∠BAM＝＝，∴③正确；
在Rt△OBM中，BM＝8，OM＝16，∴OB＝＝8，
∵OB•AC＝160，∴AC＝4，OB+AC＝12，∴④正确．
故选：C．
3. 人在灯光下走动，当人远离灯光时，其影子的长度将（ ）
A. 逐渐变短B. 逐渐变长
C. 不变D. 以上都不对
【答案】B
【解析】人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会变短；当人远离灯光时，其影子的长度就会变长．
故选B．
4. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】当时，，解得：；
当时，，解得：．．
故选：A．
5. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（ ）
A. B. C. 3D. 或
【答案】D
【解析】∵∠A是公共角，
∴当 , 即时，△AED∽△ABC,
解得：AE= ,
当 , 即时，△ADE∽△ABC，
解得：AE= ,
∴AE的长为：或32.
故选D．
6. 已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：
①抛物线的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当时，x的取值范围是或以上结论中其中的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ②③D. ③④
【答案】D
【解析】抛物线的解析式为，
将、、代入得：，解得：，
抛物线的解析式为，
由知抛物线的开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，故②错误；
当时，，解得或，
方程的根为0和2，故③正确；
当时，，由函数图象解得或，故④正确；
故选：D．
7. 疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意得：5（1+x）（1+1.5x）=7.8，
故选：C．
8. 已知二次函数y=﹣x2﹣2bx+c，当x＜2时，y的值随x的增大而增大，则实数b的取值范围是（ ）
A. b≥﹣1B. b≤﹣1C. b≥﹣2D. b≤﹣2
【答案】D
【解析】∵二次函数y=﹣x2﹣2bx+c中，a=-1，
∴二次函数开口向下，对称轴直线x=-b
又∵当x＜2时，y的值随x的增大而增大，
∴2≤-b，即b≤﹣2，故选D.
二、填空题
9. 如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y=在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是______．
【答案】
【解析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，设点C的坐标为（a，b）（a＞0），
∵点C在双曲线 上，
∴ab=，
又∵△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
在Rt△OCE中，tan60°= = =，∴b=a，∴a=1，b= ，
∵点C是OB的中点，∴点B的坐标是（2，2）．
10. 已知当时，代数式的值是2020，则当时，代数式的值是_______．
【答案】
【解析】把代入代数式可得：，即，
∴当时，代数式的值为：
．
11. 如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是______．
【答案】、、
【解析】以为共同的斜边时，，得坐标为，
过点作的垂线，当时，，得，
过点作的垂线，当时，，得．
故答案为：、、
12. 如图，已知抛物线：和：都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N．如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线和为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线和，使四边形恰好是矩形．你所写的一对抛物线解析式是________和________．
【答案】 。
【解析】设抛物线的解析式为的解析式为，根据四边形恰好是矩形可得：，
∵，
∴等边三角形，
设，则点A的坐标是，则，
解得：，则抛物线的解析式为，抛物线的解析式为．
故答案为：；．
13. 如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么构成这个立体图形的小正方体有________个．
【答案】5.
【解析】由左视图可得此图形有3行，由俯视图可得此图形有2列，
由主视图可得此图形可得最高的有两个立方体组成，
故构成这个立体图形的小正方体有5个．
14. 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，连接AE，若BC=DE=2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转，在旋转过程中，当AE为最大值时，则AF的值_____________．
【答案】
【解析】如图1，连接AD，BG，
∵在Rt△BAC中，AB＝AC，D为斜边BC中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，∵BD＝AD，∠BDG＝∠ADE，GD＝ED，
∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE，∴当BG取得最大值时，AE取得最大值，
如图2，当旋转角为270°时，此时BG最大，BG=AE，
∵BC=DE=2，∴BG=1+4=3．∴AE=3，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF=.
三、解答题
15. 如图，将一个长为8，宽为6的大矩形分割成如图所示24个全等的小长方形，它们的顶点称为格点．请按下列要求分别作出格点三角形和格点四边形．
（1）在图1中画出一个等腰，使点，在内部（不包括在边上）．
（2）在图2中画出一个矩形，使点，在矩形内部（不包括在矩形边上）
解：（1）如图，△PCD即为所求作（答案不唯一）；
（2）如图，矩形QEFG即为所求作（答案不唯一）．
．
16. （1）解方程：；
（2）求抛物线的顶点坐标．
解：（1），
，；
（2）， ，
该抛物线的顶点为．
17. 某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②．

（1）本次抽样调查的学生人数共_______人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，滑冰挑选了甲，乙，丙，丁四名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率．
解：（1）由题意知，调查的总人数为人．
（2）由图可得，滑冰的人数为人，
∴补图如下：
（3）由题意知，列表如下：
由表格可知，随机抽取2名共有12种等可能的结果，其中抽中两名学生分别是甲和乙共有2种等可能的结果，
∴抽中两名学生分别是甲和乙的概率为．
18. 如图1，圆规两脚形成的角称为圆规的张角．一个圆规两脚均为，最大张角，你能否画出一个半径为的圆？请借助图2说明理由．（参考数据：，，，，，）
解：过点A做交于点D．
，
，
在直角三角形中，
，．
∴能够画出一个半径为的圆．
19. 同学们，今天我们来学习一个新知识．形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 =ad﹣bc，利用此法则解决以下问题：
（1）仿照上面的解释，表示出 的结果；
（2）依此法则计算 的结果；
（3）如果 =4，那么x的值为多少？
解：（1）根据题意得：原式=mq﹣np；
（2）原式=8+3=11；
（3）由法则得：5x﹣3（x+1）=4，
解得：x=3.5．
20. 如图，矩形的一条对角线长，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长和面积．
解：∵，四边形为矩形，
∴且，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴矩形的周长为：，．
21. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，它在y轴上的截距是-2．
（1）求点A的坐标；
（2）若直线AB上有一点C，且，求点C的坐标．
解：（1）直线在y轴上的截距是，
，
将代入上式，解得，
点A的坐标是．
（2）设中边上的高等于h，
；
将代入，得；
将代入，得，
点的坐标为或
22. 如图：
（1）如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：；
（2）如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线AD上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；
（3）如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．
（1）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴（）；
（2）证明：∵，，
∴，
同理：，
在和中，，
∴（）；
（3）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由（）知，，
∴，
∴，
即：与的面积之和等于．
23. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线的解析式为，交轴于点，直线的解析式为，交轴于点，点的横坐标为．
（1）如图1，求的值；
（2）如图2，连接，点为上一点，过点作交于点，交轴于点，求的值；
（3）如图3，在（2）条件下，过点的直线分别交、于点、，，，点是第二象限内一点，连接、，点在上，连接并延长交于点，，，求点的坐标．
解：（1）把代入到得，
∴，
把，代入到得，
∴，
∴；
（2）过点作轴于点，轴于点，
则，
∴四边形为矩形，
当时，，解得，
∴，
∴，
当时，，解得，
∴，
∴，
∵点的横坐标为，点C在上，
∴，
∴C（-3，），
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴∠COF=90°-∠COA=30°，
∵OB=OA=OC=6，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，，，
∴．
（3）过点作轴交于，交于点，延长交轴于点，过作轴于点，过作于点．
∵轴，
∴，，，
∴，
∵，∴，
在△QHD和△POD中，
∴，
∴，，
∴，
∴，在（2）在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，，，
由（2）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，∴，
∵，
在△QDK和△PDD′中，
∴，∴，，
在和中，，
∴，∴，∴，
∵，，
∴，∴，
∴，即，∴，
∴，∴．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
3
0
0
3
…
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）