2024-2025学年黑龙江省佳木斯市富锦市高一上学期期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省佳木斯市富锦市高一上学期期中考试数学检测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断．
【详解】因为全集，所以，
根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确．
故选：C．
2. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3. 下列命题中正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【正确答案】D
【分析】根据不等性质分别判断各选项.
【详解】A选项：当时，，A选项错误；
B选项：当，时，成立，，B选项错误；
C选项：，，，所以，C选项错误；
D选项：，则，又，所以，D选项正确；
故选：D.
4. 已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为．
当时，的值域为，但不是正偶数．
故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．
故选：A
5. 已知是定义在上的奇函数，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数的性质，进而求出.
【详解】由是定义在上的奇函数，得，
即，令，则，而，
所以.
故选：C
6. 若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解.
【详解】至少存在一组使得成立，即，
又由两个正实数满足，可得
，
当且仅当，即时，等号成立，，
故有，解得，故，所以实数的取值范围是
故选：C.
7. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且
又因，所以，
又因在为增函数，在上，
在上，
又因在为减函数，所以上，
综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，
综上所述可知当时，.
故选：D
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 表示同一个函数
C. 函数值域为
D. 函数满足，则
【正确答案】ACD
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法判断D.
【详解】解：对于A，因为的定义域为，
对于函数，则，解得，
即的定义域为，故A正确；
对于B，定义域为，定义域为，不是同一函数，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，
，化简得，
两式相加得，解得，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 点在第二象限
C. 的最小值为2
D. 关于的不等式的解集为
【正确答案】ACD
【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C.
【详解】原不等式等价于，因为其解集为，所以且
，，故A正确；
因为，则点在第一象限，故B错误；
由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确；
由可得，不等式即为，化简可得
，则其解集为，故D正确；
故选：ACD
11. 已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，的实根个数分别为，则（ ）
A B. C. D.
【正确答案】AB
【分析】根据图象，确定，，的值，代入验证即可．
【详解】由图，方程，，此时对应4个解，故；
方程，得或者，此时有2个解，故；
方程，取到4个值，如图所示：
即或或或，则对应的的解，有6个，故.
根据选项，可得A，B成立.
故选：AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为__________．
【正确答案】
【分析】根据分式、根式以及零次方的意义列式求解即可.
【详解】令，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为.
13. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___．
【正确答案】
【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根据充分不必要性，列出不等式，则问题得解.
【详解】由，解得；
由，即，解得x>2或；
又“”是“”的充分不必要条件，
故可得，解得.
故答案为.
本题考查由命题之间的充分性和必要性求参数范围，属基础题.
14. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.
【正确答案】15
【分析】
由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解.
【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现，
当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个；
当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个.
当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个.
则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个.
故15.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求集合；
（2）求，．
【正确答案】（1）
（2）或，或
【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合即可；
（2）由集合的交集与补集的运算求解即可.
【小问1详解】
因为，所以解不等式可得：
，故集合
【小问2详解】
由（1）可知：，又，
所以，所以或.
或，或.
16. 已知命题：“，使等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解.
【小问1详解】
由题意，方程在−1,1上有解，
令，只需在的值域内，
当时，，当时，，
所以值域为，
的取值集合为；
【小问2详解】
由题意，，显然不为空集.
①当，即时，，
， ；
②当，即时，，不合题意舍去；
③当，即时，.
， ；
综上可得或.
17. 某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）.
（1）试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？
（2）该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：
①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；
②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.
试问哪一种方案较为划算？请说明理由.
【正确答案】（1）从第三年开始盈利.
（2）两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.
【分析】（1）列出纯收入的函数表达式，解纯收入大于0的不等式即可.
（2）分别计算两种方案盈利和时间，比较后得结论.
【小问1详解】
由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，
，解得，
由，所以从第三年开始盈利.
【小问2详解】
方案①：
纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，
以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；
方案②：
年均盈利，
由，，当且仅当，即时等号成立，
，
当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，
共盈利万元.
两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.
18. 已知函数经过，两点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解.
【小问1详解】
，，
，解得，
.
【小问2详解】
在0,1上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
所以函数在0,1上单调递减.
【小问3详解】
由对任意恒成立得，
由（2）知在0,1上单调递减，
函数在上的最大值为，
，
所求实数的取值范围为.
19. 若函数y=fx与y=gx满足：对任意，，都有，则称函数y=fx是函数y=gx在集合上的“约束函数”.已知函数y=fx是函数y=gx在集合D上的“约束函数”.
（1）若，，判断函数y=gx的奇偶性，并说明理由；
（2）若，，，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）偶函数，理由见解析
（2）
【分析】对于（1），先分析得到，然后根据得到，的关系，由此完成证明；对于（2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果；
【小问1详解】
因为，所以对有，
令，，且，，
因为，所以，
所以，所以，且定义域为R关于原点对称，
所以y=gx是偶函数；
【小问2详解】
当时，对称轴且开口向上，
对称轴且开口向上，
所以在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递增，
不妨假设，
所以，
即，
设，
当时，，在0,+∞上单调递增，显然满足要求，
当时，ℎx为二次函数，对称轴，开口向上，
故只需即可，解得，
当时，ℎx为二次函数，对称轴x=−2−a2a−1>0，开口向下，此时不满足要求，
综上可知，a的取值范围是1,2.