2025年九年级中考数学一轮专题复习 直角三角形的边角关系 课件

这是一份2025年九年级中考数学一轮专题复习 直角三角形的边角关系 课件，共34页。PPT课件主要包含了直角三角形的边角关系，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，解直角三角形，a2＋b2＝c2等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
(1) ∠A的正弦：sinA＝　　　　　　　　＝　　　； (2)∠A的余弦：csA＝　　　　　　　　＝　　　；(3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　　　＝　　　　.
2. 梯子的倾斜程度与 tanA、sinA 和csA 的关系：
tanA 的值越大，梯子越陡;sinA 的值越大，梯子越陡;csA 的值越小，梯子越陡.
3. 锐角三角函数的增减性：当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ；余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
30°，45°，60°角的三角函数值
1. 解直角三角形的依据(1) 在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
三边关系：　 　；三角关系：　 ；边角关系：sinA＝csB＝　　　，csA＝sinB＝ ，tanA＝　　　　　　，tanB＝　　　　　　.
(2) 直角三角形可解的条件和解法条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
解法：① 一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；② 知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③ 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
1. 利用计算器求三角函数值．
（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
四、锐角三角函数的计算
2. 利用计算器求锐角的度数．
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：然后输入函数值
屏幕显示答案（按实际需要进行精确）
　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角,叫做方向角.如图所示：
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 1∶6.
（3）坡度与坡角的关系
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
(2) 量出测点 A 到物体底部N的水平距离 AN = l；
(1) 在测点 A 安置测倾器，测得M的仰角∠MCE = α；
(3) 量出测倾器的高度 AC = a， 可求出 MN 的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a
1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
(1) 在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α；
(2) 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
(3) 量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b.根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
例1 在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA＝ ，则 tanB ＝ (　　) A.　　 B.　 　 C.　 D.
【解析】 根据 sinA ＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以 tanB ＝
1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 ∠ABC 的正弦值是________.
2. 用计算器求下列各式的值：（1）cs63°17′ ≈ ______；（2）tan27.35° ≈ ______；（3）sin39°57′6″ ≈ ______．
3. 已知 sinα = 0.2，csβ = 0.8，则 α+β =________（精确到1′）．
【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．
(1) tan30°＋cs45°＋tan60°
(2) tan30°· tan60°＋ cs230°
例3 如图，在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，点 D 在 BC 上，BD ＝ 4，AD ＝ BC，cs∠ADC = ，求：(1) DC 的长；(2) sinB 的值．
解: (1) 设 CD ＝ x，在 Rt△ACD 中，cs∠ADC= ,
又 BC－CD ＝ BD，
(2) BC =BD+CD = 4+6 = 10 = AD
例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼 AB 的高度．小刚在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为30°，然后向教学楼前进 40 m 到达 EF，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°.求这幢教学楼 AB 的高度．
【分析】 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示出 FG，在Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝ 40，可求 AG.
解：设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，tan∠AFG ＝ ，∴FG ＝在 Rt△ACG 中，tan∠ACG ＝ ，又 CG－FG＝40，∴AG＝ ，∴AB ＝答：这幢教学楼 AB 的高度为
5.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 AB ，已知观测点 C 到旗杆的距离（即 CE 的长）为 8 米，测得旗杆顶的仰角 ∠ECA 为 30°，旗杆底部的俯角 ∠ECB 为 45 °，则旗杆 AB 的高度是多少米?
解：如图在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中∠ACE = 30°，EC = 8米，∴tan∠ACE = ,tan∠ECB =即：AE = 8tan30°= （米） ，EB = 8tan45° = 8（米）.∴AB = AE+EB = (8+ )米.
例1、 如图,Rt△ABC中,∠C=90°.①求sinA、csB、tanA、tanB的值;②仔细观察,你能发现这几个三角函数的关系吗？
解:①由三角函数的定义有：
②观察①中的计算结果,可得下列结论：
sinA=csB=cs(90°-∠A)
结论:一个锐角的正弦等于它的余角的余弦
tanA·tanB=1或tanA·tan(90°-∠A)=1
结论:互余两角的正切值互为倒数
请同学们自己证明：sin2A+cs2A=1
例2、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.计算:①sin30°、cs30°、tan30°的值; ②sin60°、cs60°、tan60°的值.
二、特殊角的三角关系值
例4、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为100m,则山的坡度为_________.
练一练:学校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为8米，那么旗杆AC的高度为       米．
例5、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1,延长CB到D,使BD=AB,连结AD.(1)求∠D的度数；(2)求tan∠D.