中考数学全程复习方略 第23讲 直角三角形的边角关系 课件

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考点一　三角函数的定义【主干必备】　锐角三角函数的概念　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c.
1.正弦:sin A=          =___. 2.余弦:cs A=          =___. 3.正切:tan A=          =___. 锐角A的正弦、余弦、正切统称∠A的锐角三角函数.
【微点警示】(1)注意自变量:锐角三角函数的自变量是角度,其取值范围是:0°<α<90°. (2)注意锐角三角函数的值:当∠A为锐角时,00.
【核心突破】例1(2019·甘肃中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A= ,则cs B=___. 
【明·技法】根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.
(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.(5)求一个角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.
【题组过关】1.(概念应用题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB⊥CD于点D,下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的是(　 　)
2.(2019·宜昌中考)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为(　 　)
3.(2019·眉山中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,则tan∠ECD的值为___. 
4.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则tan α的值是 ___. 
考点二　特殊角的三角函数值【主干必备】特殊角的三角函数值
【微点警示】(1)互余两角三角函数之间的关系:由上表可得,当两角互余时,一角的正弦值等于另一个角的余弦值,即当∠A+∠B=90°时,则sin A=cs B,cs A=sin B.(2)锐角三角函数值的变化规律:在锐角范围内,sin α、tan α的值随α的增大而增大,cs α的值随α的增大而减小.
【核心突破】 例2【原型题】(2018·青海中考)在△ABC中,若 =0,则∠C的度数是___________. 
【变形题1】(变换条件)在△ABC中,若 =0,则∠C的度数是___________. 【变形题2】(变换结论)在△ABC中,若 =0,则 的值为________. 
【明·技法】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1, , ,余弦的分子分别是 , ,1,正切分别是 ,1, .
(2)特殊值法:①在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1, ,2;②在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1, .
【题组过关】1.(2019·天津中考)2sin 60°的值等于(　 　)A.1B. C. D.2
2.当∠A为锐角,且 3.(2019·杭州模拟)在△ABC中,已知∠A,∠B都是锐角, +(1-tan B)2=0,那么∠C的度数为_____. 
4.(1)(2019·巴中中考)计算: +(3-π)0+| -2|+2sin 60°- .(2)(2019·遂宁中考)计算:(-1)2 019+(-2)-2+(3.14-π)0-4cs 30°+|2- |.略
考点三　解直角三角形【主干必备】一、解直角三角形:由直角三角形中的_______________,求出其余_______________的过程,叫做解直角三角形. 
二、直角三角形中的边角关系
三、解直角三角形的类型及解法
【微点警示】解直角三角形的必要条件:解直角三角形有多种类型,但无论哪种类型都至少已知一条边长.
【核心突破】例3(2018·自贡中考)如图,在△ABC中,BC=12,tan A= ,∠B=30°,求AC和AB的长.
【思路点拨】作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中求出CH,BH,在Rt△ACH中求出AH,AC即可解决问题.【自主解答】略
【明·技法】解直角三角形的规律解直角三角形的方法可概括为:“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中”,即当已知斜边时,就用正弦(或余弦),无斜边时,就用正切;
当求值时可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;当可用已知数据又可用中间数据求解时,则用原始数据,尽量避免用中间数据.
【题组过关】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= ,AC= ,则∠A= (　 　)A.90°　　　B.60°　　　C.45°　　　D.30°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,由下列条件解直角三角形:(1)已知c=20,∠A=60°,则a=______. (2)已知b=35,∠A=45°,则a=_________. 
3.(2019·绵阳中考)在△ABC中,若∠B=45°,AB=10 ,AC=5 ,则△ABC的面积是_____________. 
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,BC= ,解这个直角三角形.
【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,BC= ,∴AB= tan A= ∴∠A=60°,∴∠B=30°,即AB=2 ,∠A=60°,∠B=30°.
考点四　解直角三角形的应用【主干必备】1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线___________的叫做仰角,在水平线___________的叫做俯角. 
2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和________________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母______表示,即i=___;坡面与_____________的夹角叫做坡角,记作α.所以i= ___=tan α. 
3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角.
【微点警示】(1)注意仰角、俯角的区别:仰角的视线在水平线上,俯角的视线在水平线下.(2)注意坡度的实际含义:坡度不是坡角的度数,而是坡角的正切值.
(3)注意方位角的基准线:方位角的基准线是南北方向线,先说“南或北”,再说偏东或偏西多少度.
【核心突破】例4(2019·随州中考)在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离.(2)若救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.【自主解答】略
【明·技法】应用解直角三角形解决实际问题的方法与步骤(1)构造直角三角形:根据实际问题情境画出直角三角形,若无现成的直角三角形,则需要作垂线等构造出直角三角形.
(2)解直角三角形:得到直角三角形后,将题干中的已知量和三角形的边角对应起来,看能否直接求解,若不能则需要设某一线段长为x,列方程求解.
【题组过关】1.(2019·北部湾中考)小菁同学在数学实践活动中测量路灯的高度,如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35° ,再往前走3米站
在C处,看路灯顶端O的仰角为65° ,则路灯顶端O到地面的距离约为(结果精确到0.1米.已知sin35°≈0.6,cs35°≈0.8,tan35°≈0.7, sin65°≈0.9, cs65°≈0.4, tan65°≈2.1) (　 　)A. 3.2米　　B.3.9米　　C.4.7米　　D.5.4米
2.(2019·长沙中考)如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是世纪金榜导学号(　 　)
A.30 n mile　　　　B.60 n mileC.120 n mileD.(30+30 ) n mile
3.(2019·潍坊中考)自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1∶ ;将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.(结果保留根号)