河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
3．已知正项等比数列的前n项和为，，，，则( )
A.5B.6C.7D.8
4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
5．在三棱锥中，点E，F分别是，的中点，点M为线段上靠近F的三等分点，若记，，，则( )
A.B.C.D.
6．数列满足，，其前n项的积为，则( )
A.2B.C.D.1
7．已知P是直线上一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为( )
A.B.C.D.8
8．在边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，P，Q分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度最小值为( )
A.B.2C.D.
二、多项选择题
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是( )
A.与a，b共面B.
C.a在b上的投影向量为D.a与b夹角的余弦值为
10．已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是
A.B.数列的最小项为
C.D.能使时n的最大值为15
11．椭圆的两个焦点分别为，，则下列说法正确的是( )
A.若，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为16
B.若直线与C恒有公共点，则m的取值范围为
C.若C上存在点P，使得，则m的取值范围为
D.若，P为C上一点，，为左焦点，则的最小值为
三、填空题
12．已知，，且，则_________.
13．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在的直线方程_________.
14．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前n项和，若，，则_________.（结果用p，q表示）
四、解答题
15．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上.
（I）求圆C的标准方程；
（II）过点的直线被圆C截得的弦长为8，求直线的方程.
16．已知抛物线上的点与抛物线焦点F的距离为3，点A到x轴的距离为.
（I）求抛物线的方程；
（II）若点A在第一象限，则经过抛物线焦点F和点A的直线交抛物线于点B，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线平行于抛物线的对称轴.
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，侧棱底面，点E在线段上运动.
（I）证明：平面；
（II）若平面与平面的夹角为，试确定点E的位置.
18．已知数列的前n项和为，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）在与之间插人n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.
（i）记，求数列的通项公式；
（ii）求数列的前n项和.
19．在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
（I）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆；
（II）已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换得到的曲线是，且与x轴有A，B两个交点（A在B的左侧），过点且斜率为k的直线l与在y轴右侧有H，K两个交点.
（I）求k的取值范围；
（II）若直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：直线，即的斜率为，
直线的倾斜角为，故选：B.
2．答案：D
解析：抛物线的标准方程是，所以其准线方程为.故选D.
3．答案：C
解析：设正项等比数列的公比为，
，，，
解得，，
解得.
故选：C.
4．答案：D
解析：双曲线方程为，
双曲线的焦点在x轴上，
双曲线的标准方程为，
双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
，，，
双曲线的离心率为
故选：D.
5．答案：C
解析：
，
故选D.
6．答案：A
解析：由题意得，，，，，所以数列是周期为4的周期数列，且，所以，故选A.
7．答案：B
解析：
8．答案：A
解析：以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
，
由得，
即，
即，
，
故当时，取得最小值，
故本题答案为A.
9．答案：AD
解析：选项A：向量c可表示为a和b的线性组合，因此c与a，b共面，该选项正确.
选项B：计算的模长，结果为，该选项错误.
选项C：a在b上的投影向量为，计算结果为，该选项错误.
选项D：a与b夹角的余弦值为，计算结果为，该选项正确.
答案：AD
10．答案：BC
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：5
解析：，，解得，故答案为：5.
13．答案：
解析：由题意可得反射光线所在直线经过点，斜率为，
反射光线所在直线的方程为，化为一般式可得.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意知
，所以
，…
，
所以，即，
又
，即，
所以，所以.
15．答案：（I）；
（II）或
解析：（I）设圆C的标准方程为，
由此可以圆心C的坐标为.
因为圆心C在直线上，所以①
因为A，B是圆上两点，所以，根据两点间的距离公式，
有，即②
由①②可得，，
故圆C的方程为
（II）由（I）知，圆心为，半径为，
设圆心C到直线的距离为d，则.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时，圆心C到直线的距离为3，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
16．答案：（I）；
（II）证明见解析
解析：（I）抛物线的准线方程为：，由题意可得.
整理可得，，.所以抛物线为：；
说明：由，得出
由，得出
所以抛物线为：；
（II）由题意可知，
则直线的方程为：①
抛物线的准线方程是②
联立①②，可得点D的纵坐标为.
因为焦点F的坐标为，故直线的方程为③
把③式和抛物线联立，即消去x得.
又因为A点的纵坐标为，故可得B点的纵坐标为.
点B和点D的纵坐标相等，于是可得平行于x轴.
17．答案：（I）证明见解析；
（II）点E为线段的中点
解析：（I）证明：底面，底面，
.
在中，，即，
又，所以平面
（II）以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
依题意得：，，，，.
由（I）可知，平面，所以平面的一个法向量，
设，设点E的坐标为，
则，，
即，
可得点E的坐标为，
所以，.
设是平面的法向量，则，，
即，取，则，，
所以是平面的一个法向量.
因为平面与平面的夹角为，
所以，
解得，所以点E为线段的中点.
18．答案：（I）；
（II）（i）；（ii）
解析：（I）当时，，
当时，，即.
又，所以数列是1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（II）（i）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，为新数列的第1项，为新数列的第项，
，即，
即
（ii）①
②
①-②得，
所以
19．答案：（I）；
（II）（i）；（ii）证明见解析
解析：（I）将伸缩变换代入，
得到，则.
，，
故所求的伸缩变换为.
（II）因为经过平面直角坐标系的伸缩变换得到的曲线为，故可得的方程为，即.
（i）与x轴的两个交点A，B的坐标分别是，，
因为直线l过点，斜率为k，所以直线l的方程为，
代入，消去y并整理得，
设，，
则，，
故，，
因为l与在y轴的右侧有两个交点，所以，
且，解得或，
所以k的取值范围是.
（ii）证明：由（i）知或，所以，
，
，
所以，为定值.