河南省郑州市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间两点,,下列选项中的与共线的是( )
A.B.C.D.
2．已知空间向量,,且,则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
3．直线的方向向量,直线的方向向量,则不重合直线与的位置关系是( )
A.相交B.平行C.垂直D.不能确定
4．已如向量,,且与互相垂直,则( ).
A.B.C.D.
5．已知向量为平面法向量,点在内,则点到平面的距离为( )
A.B.C.D.
6．在空间四边形OABC中,,,,点M在OB上,且,N为AC的中点,则( )
A.B.C.D.
7．在正方体中,直线与平面所成的角为( ).
A.B.C.D.
8．如图,在正方体中,M､N分别为AC,的中点,则下列说法错误的是( )
A.平面
B.
C.直线MN与平面ABCD所成角为45°
D.异面直线MN与所成角为60°
二、多项选择题
9．已知直线，的方向向量分别是，，若且，则的值可以是( )
A.B.C.1D.3
10．已知空间三点,,,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
11．如图,平面ABCD,,,,,,,则( )
A.
B.平面ADE
C.平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为
D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
三、填空题
12．已知直线过点,且为其一个方向向量,则点到直线l的距离为________.
13．已知,,,,则直线AB和CD所成角的余弦值为________.
14．四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,则PG与平面PAD所成角的正弦值为________.
四、解答题
15．已知向量,,,向量,
（1）求向量,,的坐标;
（2）求与所成角的余弦值.
16．已知空间三点,,.
（1）求
（2）求的面积;
17．如图，在三棱锥中，，D是BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知，，，.
（1）求证：.
（2）若点M是线段AP上一点，且，试证明平面平面BMC.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.
（1）求；
（2）求二面角的正弦值.
19．如图，四棱锥中，底面，，，.
（1）若，证明：平面PBC；
（2）若，且二面角的正弦值为，求AD.
参考答案
1．答案：D
解析：由点,,
所以,
对于A,,不满足,所以与不共线;
对于B,,不满足,所以与不共线;
对于C,,不满足,所以与不共线;
对于D,,满足,所以与共线.
故选:D
2．答案：A
解析：,解得,则,
,,
设向量与的夹角为,则,
,,即与的夹角为.
故选:A.
3．答案：B
解析：因为,所以,
所以直线与平行.
故选:B
4．答案：B
解析：,,则,
与互相垂直,则,.
故选:B.
5．答案：B
解析：因为,
所以,
因为平面的法向量,
所以点P到平面的距离.
故选:B
6．答案：A
解析：.
故选:A
7．答案：B
解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
直线与平面所成的角为,
则,令,,即,
所以,
所以.
故选:B
8．答案：D
解析：如图,连结BD,,
由M,N分别为AC,的中点,知,
而平面,平面,
平面,故A正确;
在正方体中,平面,则,
,,故B正确;
直线MN与平面ABCD所成角等于与平面ABCD所成角等于45°,故C正确;
而为异面直线MN与所成角,应为45°,故D错误.
故选:D
9．答案：AC
解析：直线、的方向向量分别是，
，且，
，解得，
或，
或.
10．答案：AC
解析：因为,,,
所以,,,
所以,,
所以,不共线.
故选:AC
11．答案：BCD
解析：根据题意可知AE,AB,AD两两垂直,不妨以A为原点建立空间直角坐标系,如图所示,
可得,,,,,
则,,,
所以,所以BD,EC不垂直,故A错误;
依题意,是平面ADE的法向量,
又,可得,则,
又因为直线平面ADE,所以平面ADE,故B正确;
设为平面BDE的一个法向量,则,
令,,可得,
而即底面ABCD的一个法向量,设平面EBD与平面ABCD夹角,
则,故C正确;
设直线CE与平面BDE所成角为,,
则,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：
解析：因为点,点,
所以,
所以点到直线l的距离为:
,
故答案为:
13．答案：
解析：由题意知,,
则,
故答案为:.
14．答案：
解析：因为底面ABCD,底面ABCD是正方形,
所以DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,则重心,
因而,,,
设平面PAD的一个法向量为,
则,令则,
则,
故答案为:.
15．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）因为向量,所以,解得:,,
则,,
又因为,则,解得,
所以
（2）由（1）知,,,
所以,,
则,,,
即与所成角的余弦值
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
（2）设向量,的夹角为,
由,
,,
,
又三角形中,
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为，D是BC的中点，所以.
如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）因为平面ABC，平面ABC，所以.
因为，，所以.
因为M为AP上一点，且，所以.
由（1）得，所以.
又，所以.
所以，.
设平面BMC的法向量为，
则即
令，则，，所以.
设平面AMC的法向量为，
则即
令，则，，所以.
所以，
所以，所以平面平面BMC.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为平面，所以，.
在矩形中，，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，，
所以，.
因为，所以，得，
所以.
（2）易知，由（1）可得，，，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即
得，令，则，所以平面的一个法向量为.
，
二面角的正弦值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由于底面，底面，，
又，，平面，平面PAB，
又平面，.
，，，
平面，平面，平面PBC.
（2）由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，
则，，，，，.
设平面CPD的法向量为，
则，即，可取.
设平面ACP的法向量为，
则，即，可取.
二面角的正弦值为，
余弦值的绝对值为，
故，
又，，即.